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2019-2020年高考數(shù)學異構異模復習第五章平面向量課時撬分練5.2平面向量的數(shù)量積及應用文 1.[xx武邑中學仿真]已知平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠DAB＝60，則等于(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案　C 解析　∵＝＋， ∴＝(＋)＝|A|2＋＝1＋||||cos60＝2. 2．[xx衡水中學模擬]已知點P(3,3)，Q(3，－3)，O為坐標原點，動點M(x，y)滿足則點M所構成的平面區(qū)域的面積是(　　) A．12 B．16 C．32 D．64 答案　C 解析　∵＝(3,3)，＝(x，y)，＝(3，－3)， ∴＝3x＋3y，＝3x－3y， ∴即 畫出平面區(qū)域可得，面積為32. 3．[xx冀州中學期中]若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由|a＋b|＝|a－b|兩邊平方，得ab＝0，由|a－b|＝2|a|兩邊平方，得3a2＋2ab－b2＝0，故b2＝3a2，則(a＋b)a＝a2＋ab＝a2，|a＋b|＝＝2|a|，設向量a＋b與a的夾角為θ，則有cosθ＝＝＝，故θ＝. 4．[xx衡水中學仿真]向量與向量a＝(－3,4)的夾角為π，||＝10，若點A的坐標是(1,2)，則點B的坐標為(　　) A．(－7,8) B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6) 答案　D 解析　設點B的坐標為(m，n)，由題意，cos〈，a〉＝－1＝＝， 化簡，得(－3m＋4n－5)2＝25[(m－1)2＋(n－2)2]，①　又||＝10，即 ＝10，② 聯(lián)立①②，得m＝7，n＝－6. 5．[xx棗強中學預測]設x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D．10 答案　B 解析　由a⊥c，得ac＝2x－4＝0，解得x＝2. 由b∥c，得＝，解得y＝－2， 所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，故選B. 6．[xx冀州中學一輪檢測]已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)k＝(　　) A．－ B．0 C．3 D. 答案　C 解析　由已知(2a－3b)⊥c，可得(2a－3b)c＝0，即(2k－3，－6)(2,1)＝0，展開化簡得4k－12＝0，所以k＝3，故選C. 7．[xx武邑中學一輪檢測]已知向量a，b滿足|a|＝1，(a＋b)(a－2b)＝0，則|b|的取值范圍為(　　) A．[1,2] B．[2,4] C. D. 答案　D 解析　由題意知b≠0，設向量a，b的夾角為θ， ∵(a＋b)(a－2b)＝a2－ab－2b2，又|a|＝1， ∴1－|b|cosθ－2|b|2＝0，∴|b|cosθ＝1－2|b|2， ∵－1≤cosθ≤1，∴－|b|≤1－2|b|2≤|b|， ∴≤|b|≤1. 8．[xx武邑中學月考]已知平面向量a，b的夾角為120，且ab＝－1，則|a－b|的最小值為(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　由題意可知－1＝ab＝|a||b|cos120，所以2＝|a||b|≤，即|a|2＋|b|2≥4，|a－b|2＝a2－2ab＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥，選A. 9. [xx冀州中學期末]設M是△ABC內一點，且＝2，∠BAC＝30，定義f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)＝，則＋的最小值是(　　) A．8 B．9 C．16 D．18 答案　D 解析　∵＝2，∠BAC＝30， ∴||||cos∠BAC＝2，解得||||＝4， ∴S△ABC＝||||sin∠BAC＝4＝1. ∵f(M)＝，∴＋x＋y＝S△ABC＝1， ∴x＋y＝，∴1＝2(x＋y)＝2≥2＝18(當且僅當x＝，y＝時取等號)，故選D. 10．[xx衡水中學熱身]關于平面向量a，b，c有下列三個命題： ①若ab＝ac，則b＝c. ②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3. ③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60. 其中真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)． 答案　② 解析　命題①明顯錯誤．由兩向量平行的充要條件得16＋2k＝0，∴k＝－3，故命題②正確． 由|a|＝|b|＝|a－b|，再結合平行四邊形法則可得a與a＋b的夾角為30，命題③錯誤． 11. [xx衡水中學預測]非零向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|∈(2，2]，則a，b的夾角θ的取值范圍是________． 答案　 解析　∵|a－2b|∈(2，2]，∴(a－2b)2∈(4,12]，即a2＋4b2－4ab＝4＋4－8cosθ∈(4,12]， ∴cosθ∈，故θ∈. 12．[xx棗強中學熱身]已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，a⊥b，求： (1)|a＋b|； (2)cos的值． 解　(1)因為a⊥b，所以ab＝43＋5cosα(－4tanα)＝0，解得sinα＝. 又因為α∈， 所以cosα＝，tanα＝＝， 所以a＋b＝(7,1)， 因此|a＋b|＝＝5. (2)cos＝cosαcos－sinαsin＝－＝. 能力組13. [xx衡水中學猜題]在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則＝(　　) 點擊觀看解答視頻 A．2 B．4 C．5 D．10 答案　D 解析　解法一：以C為原點，CA，CB所在直線為x，y軸建立直角坐標系．設A(a,0)，B(0，b)，則D，P.從而|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2，故選D. 解法二：因為－＝，且＋＝2，兩式平方相加得22＋22＝2＋42＝42＋42＝202，故選D. 14．[xx冀州中學模擬]已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為________；的最大值為________． 答案　1　1 解析　解法一：＝＝||||cosθ， 由圖可知，||cosθ＝||，因此＝||2＝1. ＝||||cosα＝||cosα. 而||cosα就是向量在上的射影，要想使最大，即射影最大即可，此時E點與B點重合，射影為||，故長度為1. 解法二：將問題中的向量向已知模與夾角的向量上轉化，可求出相關結論． ＝(＋)＝(＋)＝||2＋.因為⊥，所以＝0.所以＝12＋0＝1. ＝(＋)＝＋＝λ||2(0≤λ≤1)，所以的最大值為1. 15．[xx棗強中學仿真]如圖，A是半徑為5的圓C上的一個定點，單位向量在A點處與圓C相切，點P是圓C上的一個動點，且點P與點A不重合，則的取值范圍是________． 答案　[－5,5] 解析　如圖所示，以AB所在直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系． 設點P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)， 則＝(1,0)，＝(x，y)，所以＝(x，y)(1,0)＝x. 因為點P在圓x2＋(y－5)2＝25上， 所以－5≤x≤5，即－5≤≤5. 所以應填[－5,5]． 16．[xx武邑中學熱身]直線x＝1與拋物線C：y2＝4x交于M，N兩點，點P是拋物線C準線上的一點，記＝a＋b(a，b∈R)，其中O為拋物線C的頂點． (1)當與平行時，b＝________； (2)給出下列命題： ①?a，b∈R，△PMN不是等邊三角形； ②?a<0且b<0，使得與垂直； ③無論點P在準線上如何運動，a＋b＝－1總成立． 其中，所有正確命題的序號是________． 答案?。??、佗冖? 解析　(1)當與平行時，根據(jù)圖形的對稱知原點O為線段PN的中點，則＝－，所以b＝－1. (2)若△PMN為等邊三角形，則P點為準線x＝－1與x軸的交點，由題意P(－1,0)，可取M(1,2)，N(1，－2)，|MN|＝4，則|PM|＝|PN|＝2≠|MN|，故①正確；設P(－1，y)，令⊥，則(－1，y)(1，－2)＝0，即y＝－，則，解得a＝－，b＝－，故②正確；根據(jù)圖形的對稱性知點P關于原點的對稱點Q必在直線MN上，則＝－＝－a－b，由于點M，N，Q三點共線，則(－a)＋(－b)＝1，即a＋b＝－1，故③正確．綜上可知①②③正確．