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2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 圓錐曲線（一）教案 舊人教版
一、基礎(chǔ)知識
1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).
第二定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0
b>0)，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
若焦點在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a>b>0)。
3．橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓
，
a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標(biāo)分別為(a, 0), (0, b), (c, 0)；與左焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點。若P(x, y)是橢圓上的任意一點，則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
5．幾個常用結(jié)論：1）過橢圓上一點P(x0, y0)的切線方程為
；
2）斜率為k的切線方程為；
3）過焦點F2(c, 0)傾斜角為θ的弦的長為
。
6．雙曲線的定義，第一定義：
滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的點P的軌跡；
第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點的軌跡。
7．雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線方程為
，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線
(a, b>0),
a稱半實軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實軸的兩個端點為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點為F1(-c,0), F2(c, 0)，對應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e>1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦點在同一個圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。
9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）, F2(c, 0)是它的兩個焦點。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點，若P在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2) 過焦點的傾斜角為θ的弦長是。
10．拋物線：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，離心率e=1.
11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點，
1）焦半徑|PF|=；
2）過點P的切線方程為y0y=p(x+x0)；
3）過焦點傾斜角為θ的弦長為。
12．極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個定點為極點記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對于平面內(nèi)任意一點P，記|OP|=ρ,∠xOP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標(biāo)。
13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點P，若01，則點P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。
二、方法與例題
1．與定義有關(guān)的問題。
例1 已知定點A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點，點P為橢圓上的動點，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時，求點P的坐標(biāo)。
[解] 見圖11-1，由題設(shè)a=5, b=4, c==3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因為，所以點A在橢圓內(nèi)部，又點F坐標(biāo)為（-3，0），過P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。
所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點時，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x<0，所以點P坐標(biāo)為
例2 已知P，為雙曲線C：右支上兩點，延長線交右準(zhǔn)線于K，PF1延長線交雙曲線于Q，（F1為右焦點）。求證：∠F1K=∠KF1Q.
[證明] 記右準(zhǔn)線為l，作PDl于D，于E，因為//PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。
2．求軌跡問題。
例3 已知一橢圓及焦點F，點A為橢圓上一動點，求線段FA中點P的軌跡方程。
[解法一] 利用定義，以橢圓的中心為原點O，焦點所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（a>b>0）.F坐標(biāo)為(-c, 0).設(shè)另一焦點為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以點P的軌跡是以F，O為兩焦點的橢圓（因為a>|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為
[解法二] 相關(guān)點法。設(shè)點P(x,y), A(x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因為點A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點P的方程為。它表示中心為，焦點分別為F和O的橢圓。
例4 長為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點共圓，求此動圓圓心P的軌跡。
[解] 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點，由圓冪定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐標(biāo)表示為，即
當(dāng)a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；
當(dāng)a>b時，軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線；
當(dāng)a0, b>0)的右焦點F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點，B2與左焦點F1連線交雙曲線于B點，連結(jié)B1B交x軸于H點。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。
[證明] 設(shè)點B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c, 0), (c, ), (c, )，因為F1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即 （定值）。
注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。
例7 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點。
[證明] 設(shè)，則，焦點為，所以，，，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因為，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點。
例8 橢圓上有兩點A，B，滿足OAOB，O為原點，求證：為定值。
[證明] 設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，則點A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有
即 ①
②
①+②得（定值）。
4．最值問題。
例9 設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點，且OAOB（O為原點），求|AB|的最大值與最小值。
[解] 由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,
因為，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時，|AB|取最小值1；當(dāng)或時，|AB|取最大值。
例10 設(shè)一橢圓中心為原點，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點與這橢圓上點的最大距離為，試求這個橢圓的方程。
[解] 設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動點。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因為|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為
因為；所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，則當(dāng)sinθ=-1時，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。
若t>,則當(dāng)sinθ=時，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為。
5．直線與二次曲線。
例11 若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求a的取值范圍。
[解] 拋物線y=ax2-1的頂點為(0,-1)，對稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對稱兩點的條件是存在一對點P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因為P不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等實根，所以，求得，即為所求。
例12 若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長最大時，求b的值。
[解] 二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0，得0)，則動點的軌跡是________.
3．橢圓上有一點P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點的距離是________.
4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________.
5．橢圓，焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點P滿足∠F1PF2=600，則ΔF1PF2的面積是________.
6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點A（3，-1）平分，則l的方程為________.
7．ΔABC的三個頂點都在拋物線y2=32x上，點A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點重合，則直線BC的斜率為________.
8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為________.
9．已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點（1，1）對稱的曲線有兩個不同的交點，如果過這兩個交點的直線的傾斜角為450，那么a=________.
10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點，的取值范圍是________.
11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個焦點，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。
12．已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a<)；（iii）半圓上有相異兩點M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。
13．給定雙曲線過點A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點P1和P2，求線段P1P2的中點的軌跡方程。
四、高考水平測試題
1．雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.
2．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則∠A1FB1=_________.
3．雙曲線的一個焦點為F1，頂點為A1，A2，P是雙曲線上任一點，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_________.
4．橢圓的中心在原點，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11，橢圓上有一點M橫坐標(biāo)為-1，M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點F1的距離為_________.
5．4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個公共點的_________條件.
6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點總在一條定直線上，這條直線的方程是_________.
7．如果直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則m的范圍是_________.
8．過雙曲線的左焦點，且被雙曲線截得線段長為6的直線有_________條.
9．過坐標(biāo)原點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的右焦點F，則直線l的傾斜角為_________.
10．以橢圓x2+a2y2=a2(a>1)的一個頂點C（0，1）為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個.
11．求橢圓上任一點的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。
12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點和中心，對于過點F的橢圓的任意弦AB，點O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。
13．已知雙曲線C1：(a>0)，拋物線C2的頂點在原點O，C2的焦點是C1的左焦點F1。
（1）求證：C1，C2總有兩個不同的交點。
（2）問：是否存在過C2的焦點F1的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SΔAOB的最值，若不存在，說明理由。
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