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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6講二次曲線與二次曲線教案 一、考情分析 高考說(shuō)明中明確指出：“對(duì)于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個(gè)二次曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題（兩圓的交點(diǎn)除外）”， 但是，在解答某些問(wèn)題時(shí)，難免會(huì)遇到兩個(gè)二次曲線相切或相交的問(wèn)題，因此，解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里． 應(yīng)該讓學(xué)生明白：雙二次曲線消元后，得到的方程的判別式與交點(diǎn)個(gè)數(shù)不等價(jià)．其次，有些問(wèn)題涉及兩個(gè)二次曲線，但所討論和研究的并不是交點(diǎn)，而是它們的某些參量之間的關(guān)系，由于涉及到的參量較多，問(wèn)題往往顯得較為復(fù)雜，這類問(wèn)題要特別加以注意，理清思路，順藤摸瓜，設(shè)計(jì)好解題步驟．本講主要是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，注意交代知識(shí)的來(lái)龍去脈，教給學(xué)生解決問(wèn)題的思路，幫助考生培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，進(jìn)一步提高學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的水平． 二、精典例析 例1：拋物線的焦點(diǎn)為，以為圓心，以為半徑，在軸的上方作一個(gè)半圓，設(shè)半圓與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)． （1）求的值； （2）是否存在，使得成等差數(shù)列？ 解析：（1）顯然，半圓的方程為，設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則： ， ∴，且， ∵， ∴； （2）若存在，使得成等差數(shù)列，則： ， ∴，即點(diǎn)在拋物線上，矛． 故不存在，使得成等差數(shù)列． 例2：討論圓與拋物線的位置關(guān)系． 解析：圓是以為圓心，1為半徑的圓，從草圖不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相切；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交；而當(dāng)時(shí)，圓與拋物線的關(guān)系則很難從圖形上加以判斷． 為此，我們需借助方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)加以說(shuō)明． ，（＊） ， 顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，的確有圓與拋物線相切；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線無(wú)公共點(diǎn)．而當(dāng)時(shí)，雖然有，但圓與拋物線卻并不總有公共點(diǎn)，也即判別式與方程組解的個(gè)數(shù)不等價(jià)． 原因是：在方程組轉(zhuǎn)化為方程（＊）的過(guò)程中，忽略了條件．事實(shí)上，方程組解的個(gè)數(shù)等于方程（＊）的非負(fù)解的個(gè)數(shù)． 綜上，圓與拋物線的位置關(guān)系如下： 當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相切（只有一個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交（兩個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交（三個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相交（四個(gè)公共點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，圓與拋物線相切（兩個(gè)公共點(diǎn)）． 點(diǎn)評(píng)：雙二次曲線的問(wèn)題，要注意判別式的符號(hào)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)并不完全等價(jià)． 例3：(05重慶卷) 已知橢圓，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)． （1）求雙曲線的方程； （2）若直線l：與橢圓及雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(O為原點(diǎn))，求k的取值范圍． 解析：（1）設(shè)雙曲線，則：，， 故雙曲線的方程為． （2）， ∵直線l：與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴； 同理，， ∵直線l：與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴； 設(shè)，則： ， ∵ ，∴， ∵ ． ∴； ∴或， 故k的取值范圍為． 例4：已知橢圓，它的離心率為．直線，它與以原點(diǎn)為圓心，以的短半軸為半徑的圓相切． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線為．動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．試點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離． 解析：（Ⅰ）∵直線與以原點(diǎn)為圓心，以b為半徑的圓相切，∴； 又∵ 橢圓的離心率為，∴； ∴ 橢圓的方程為． （Ⅱ）橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，左準(zhǔn)線的方程為：． 連接，則．由拋物線的定義可知：點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：． ∴點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，實(shí)際上就是拋物線與圓上的點(diǎn)的最短距離．下面我們分別從幾何和代數(shù)的角度來(lái)考慮這個(gè)問(wèn)題： 法一：首先，如果拋物線上點(diǎn)與圓上點(diǎn)之間距離最小，則必過(guò)圓心．（否則，連接，設(shè)交圓于點(diǎn)，則：，與最小矛盾．） 在拋物線上任取一點(diǎn)M（x,y），則： ， ∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）． 故點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離為． 法二：用純代數(shù)的方法去思考．設(shè)為拋物線上任意點(diǎn)，為圓上任意點(diǎn)，則： ， 當(dāng)且僅當(dāng)拋物線和圓上的兩點(diǎn)分別為和時(shí)取得等號(hào)． 點(diǎn)評(píng)：方法二需要較強(qiáng)的代數(shù)變形的能力，充分運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)可以使得問(wèn)題簡(jiǎn)化． 例5：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)和，兩曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為．橢圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，且三點(diǎn)共線，分向量的比為，又直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若． （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）求雙曲線和橢圓的方程． 解析：（Ⅰ）若設(shè)橢圓的方程為：，則： ∵三點(diǎn)共線，且分有向線段的比為， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程，得橢圓的離心率． （Ⅱ）橢圓的方程為：，，直線的方程為：， 設(shè)雙曲線的方程為：，則：， ∵ 在雙曲線上，∴ ， ∵， ∴． ∴，∴． ∴ 橢圓方程為，雙曲線方程為． 點(diǎn)評(píng)：解答本題，最大的問(wèn)題在于：所給條件雜亂無(wú)序，不知從何入手，為此，應(yīng)該理清頭緒，層層遞進(jìn)，分步解答． 例6：設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)，且以直線為準(zhǔn)線． （Ⅰ）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）若直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍． 解析：（Ⅰ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為，則： ∵． ∴．故拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程為：． （Ⅱ）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定．因此，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手． 顯然，直線與坐標(biāo)軸不可能平行，設(shè)直線的方程為，則： ， ∵直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)， ∴， ∵線段恰被直線平分，∴， ∴． ∴． 下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點(diǎn)． B B/ Ｍ Ｎ Ｐ 在中，令，可解得：， 將點(diǎn)代入，可得：； 故故的取值范圍是． 從以上解題過(guò)程來(lái)看，求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式．從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法： 法二：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：， 兩式相減得：，∴； ∵點(diǎn)在弦MN的垂直平分線上，∴； ∵點(diǎn)在線段上（為直線與橢圓的交點(diǎn)）， ∴， 故的取值范圍是． 點(diǎn)評(píng)：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，對(duì)于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便．涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法． 從構(gòu)造不等式的角度來(lái)說(shuō)，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價(jià)的． 例7：(04年北京東城)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，其右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線分別是拋物線的頂點(diǎn)和準(zhǔn)線． （1）求橢圓的方程； （2）若點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的半徑為，求點(diǎn)到軸的距離； （3）若點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí)求點(diǎn)的取值范圍． 解析：（1）拋物線的頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)橢圓的方程為，則：， ∵，∴， 故橢圓的方程為． （2）設(shè)橢圓內(nèi)切圓的圓心為Q，則： ， 設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則： ∴． （3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則： ∵為鈍角，∴， ∴即為所求． 例8：（05年山東卷）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切． （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程； （2）設(shè)是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析：（1）設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則： ，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等， ∴點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，方程為． （2）設(shè)，則： ∵，∴，且， ∴直線的斜率存在，設(shè)其方程為，則：， ， ∴， ①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，， ∴， ∴， 故直線的方程可表示為，即直線恒過(guò)定點(diǎn)． ②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則：， ∴， 故直線的方程可表示為，即直線恒過(guò)定點(diǎn)． 綜上，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)．三、課后反思 ．