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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第18講 隨機抽樣教案 新人教版 一．課標要求： 1．能從現(xiàn)實生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題； 2．結(jié)合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性； 3．在參與解決統(tǒng)計問題的過程中，學(xué)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法； 4．能通過試驗、查閱資料、設(shè)計調(diào)查問卷等方法收集數(shù)據(jù)。 二．命題走向 統(tǒng)計是在初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計初步的深化和擴展，本講的主要內(nèi)容是隨機抽樣的方法在總體中抽取樣本。 預(yù)測xx年高考對本講的考察是： （1）以基本題（中、低檔題為主），多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實際問題為背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實際問題的能力； （2）熱點是隨機抽樣方法中的分層抽樣、系統(tǒng)抽樣方法。 三．要點精講 三種常用抽樣方法： 1．簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N。如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。實現(xiàn)簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法。 （1）抽簽法 制簽：先將總體中的所有個體編號（號碼可以從1到N），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上，號簽可以用小球、卡片、紙條等制作，然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌； 抽簽：抽簽時，每次從中抽出1個號簽，連續(xù)抽取次； 成樣：對應(yīng)號簽就得到一個容量為的樣本。 抽簽法簡便易行，當(dāng)總體的個體數(shù)不多時，適宜采用這種方法。 （2）隨機數(shù)表法 編號：對總體進行編號，保證位數(shù)一致； 數(shù)數(shù)：當(dāng)隨機地選定開始讀數(shù)的數(shù)后，讀數(shù)的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在讀數(shù)過程中，得到一串?dāng)?shù)字號碼，在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號碼后，其中依次出現(xiàn)的號碼可以看成是依次從總體中抽取的各個個體的號碼。 成樣：對應(yīng)號簽就得到一個容量為的樣本。 結(jié)論： ① 用簡單隨機抽樣，從含有N個個體的總體中抽取一個容量為的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為； ② 基于此，簡單隨機抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性； ③ 簡單隨機抽樣的特點：它是不放回抽樣；它是逐個地進行抽??；它是一種等概率抽樣。 2．系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）。 系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為： （1）將總體中的個體編號。采用隨機的方式將總體中的個體編號； （2）將整個的編號進行分段。為將整個的編號進行分段，要確定分段的間隔.當(dāng)是整數(shù)時，；當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體數(shù)N能被整除，這時； （3）確定起始的個體編號。在第1段用簡單隨機抽樣確定起始的個體邊號； （4）抽取樣本。按照先確定的規(guī)則（常將加上間隔）抽取樣本：。 3．分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。 結(jié)論： （1）分層抽樣是等概率抽樣，它也是公平的。用分層抽樣從個體數(shù)為N的總體中抽取一個容量為的樣本時，在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，都等于； （2）分層抽樣是建立在簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的基礎(chǔ)上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表性，在實踐的應(yīng)用更為廣泛。 四．典例解析 題型1：統(tǒng)計概念及簡單隨機抽樣 例1．為調(diào)查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是（ ） A．1000名運動員是總體 B．每個運動員是個體 C．抽取的100名運動員是樣本 D．樣本容量是100 解析：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況，因此應(yīng)選D。 答案：D 點評：該題屬于易錯題，一定要區(qū)分開總體與總體容量、樣本與樣本容量等概念。 例2．今用簡單隨機抽樣從含有6個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本。問：① 總體中的某一個體在第一次抽取時被抽到的概率是多少?② 個體不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整個抽樣過程中，個體被抽到的概率是多少? 解析：（1），（2），（3）。 點評：由問題(1)的解答，出示簡單隨機抽樣的定義，問題( 2 )是本講難點?；诖?，簡單隨機抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性。 題型2：系統(tǒng)抽樣 例3．為了了解參加某種知識競賽的1003名學(xué)生的成績，請用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量為50的樣本。 解析：（1）隨機地將這1003個個體編號為1，2，3，…，1003． （2）利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除3個個體(可利用隨機數(shù)表)，剩下的個體數(shù)1000能被樣本容量50整除，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法進行． 點評：總體中的每個個體被剔除的概率相等，也就是每個個體不被剔除的概率相等.采用系統(tǒng)抽樣時每個個體被抽取的概率都是，所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的概率仍然相等，都是。 例4．（xx年福建，15）一個總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號碼是___________. 剖析：此問題總體中個體的個數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可. ∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小組中抽取的號碼是63. 答案：63 點評：當(dāng)總體中個體個數(shù)較多而差異又不大時可采用系統(tǒng)抽樣。采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時應(yīng)按規(guī)則進行。 題型3：分層抽樣 例5．（xx湖北文，19）某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。試確定 （Ⅰ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例； （Ⅱ）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。 解析：（Ⅰ）設(shè)登山組人數(shù)為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%. 故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40％、 50％、10％。 （Ⅱ）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為（人）； 抽取的中年人數(shù)為50％＝75（人）； 抽取的老年人數(shù)為10％＝15（人）。 點評：本小題主要考查分層抽樣的概念和運算，以及運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。 例6．（xx四川文，5）甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（ ） A．30人，30人，30人　　 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人　 D．30人，50人，10人 解析：B； 點評：根據(jù)樣本容量和總體容量確定抽樣比，最終得到每層中學(xué)生人數(shù)。 題型4：綜合問題 例7．（1）（xx年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 分析：此題為抽樣方法的選取問題.當(dāng)總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個體較少時，宜采用隨機抽樣. 依據(jù)題意，第①項調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第②項調(diào)查應(yīng)采用簡單隨機抽樣法.故選B. 答案：B （2）（xx湖北卷理第11題，文第12題）某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 （ ） A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣 C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．①、③都可能為分層抽樣 解析：D。 點評：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個體情況來定。 五．思維總結(jié) 常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別： 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的 從總體中逐個抽取 總體中的個數(shù)比較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾個部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個數(shù)比較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進行抽取 各層抽樣時采用簡單抽樣或者相同抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 不放回抽樣和放回抽樣：在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣。 隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣。