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2019-2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 解析幾何教學(xué)案 第1課時(shí) 直線(xiàn)與圓 考綱指要： 直線(xiàn)方程考察的重點(diǎn)是直線(xiàn)方程的特征值（主要是直線(xiàn)的斜率、截距）有關(guān)問(wèn)題，以及直線(xiàn)間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問(wèn)題。 圓的方程，從軌跡角度講，尤其是參數(shù)問(wèn)題，在對(duì)參數(shù)的討論中確定圓的方程。能借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，特別是弦長(zhǎng)問(wèn)題。 考點(diǎn)掃描： 1．直線(xiàn)方程：(1)傾斜角；(2) 斜率；（3）直線(xiàn)方程的五種形式。 2．圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓的一般方程。 3.兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離。 4. 根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系。 考題先知： 例1．某校一年級(jí)為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫(huà)成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，他們利用課桌作為展臺(tái)，將裝畫(huà)的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為 (90≤＜180)鏡框中，畫(huà)的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(a＞b) 問(wèn)學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫(huà)的效果最佳？ 分析 欲使看畫(huà)的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個(gè)三角函數(shù)值 解 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫(huà)的寬度，O為下邊緣上的一點(diǎn)，在x軸的正半軸上找一點(diǎn)C(x,0)(x＞0),欲使看畫(huà)的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取得最大值 由三角函數(shù)的定義知 A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(acos,asin)、 (bcos,bsin),于是直線(xiàn)AC、BC的斜率分別為 kAC=tanXCA=, 于是 tanACB= 由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤, 當(dāng)且僅當(dāng)=x，即x=時(shí)，等號(hào)成立， 此時(shí)∠ACB取最大值，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C(,0), 因此，學(xué)生距離鏡框下緣 cm處時(shí)，視角最大，即看畫(huà)效果最佳 點(diǎn)評(píng)：解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題求解；二是把問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值 如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求sinACB的最大值 都將使問(wèn)題變得復(fù)雜起來(lái) 例2．設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線(xiàn) y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn) 分析： 將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系 解法一 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0) 直線(xiàn)AB的方程為x=my+a 由OM⊥AB，得m=－ 由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0 所以y1y2=－4pa, x1x2= 所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2 所以 故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0) 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn) 解法二 設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 ∴AB的方程為，過(guò)定點(diǎn)， 由OM⊥AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外） 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn) 解法三 設(shè)M(x,y) (x≠0)，OA的方程為， 代入y2=4px得 則OB的方程為，代入y2=4px得 由OM⊥AB，得 M既在以O(shè)A為直徑的圓 ……①上， 又在以O(shè)B為直徑的圓 ……②上（O點(diǎn)除外）， ①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0) 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線(xiàn)的軌跡方程 當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)“x1=x2”的討論 復(fù)習(xí)智略： 例3拋物線(xiàn)有光學(xué)性質(zhì) 由其焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)折射后，沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出，今有拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0) 一光源在點(diǎn)M(,4)處，由其發(fā)出的光線(xiàn)沿平行于拋物線(xiàn)的軸的方向射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線(xiàn)的軸的方向射出，途中遇到直線(xiàn)l 2x－4y－17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M(如下圖所示) (1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明 y1y2=－p2； (2)求拋物線(xiàn)的方程； (3)試判斷在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 分析：本題考查學(xué)生對(duì)韋達(dá)定理、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)、直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程等知識(shí)的掌握程度 解： (1)證明 由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及題意知 光線(xiàn)PQ必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(，0)， 設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=k(x－) ① 由①式得x=y+,將其代入拋物線(xiàn)方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韋達(dá)定理，y1y2=－p2 當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率角為90時(shí)，將x=代入拋物線(xiàn)方程，得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=－p2 (2)解 因?yàn)楣饩€(xiàn)QN經(jīng)直線(xiàn)l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線(xiàn)MN與直線(xiàn)QN關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)M(，4)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′(x′,y′)，則 解得 直線(xiàn)QN的方程為y=－1,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y2=－1， 由題設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=4，且由(1)知 y1y2=－p2,則4(－1)=－p2, 得p=2,故所求拋物線(xiàn)方程為y2=4x (3)解 將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4) 將y=－1代入直線(xiàn)l的方程為2x－4y－17=0,得x=, 故N點(diǎn)坐標(biāo)為(，－1) 由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線(xiàn)PN的方程為2x+y－12=0, 設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)NP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1(x1,y1) 又M1(,－1)的坐標(biāo)是拋物線(xiàn)方程y2=4x的解，故拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)(，－1)與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)PN對(duì)稱(chēng) 。 點(diǎn)評(píng)：在證明第(1)問(wèn)題，注意討論直線(xiàn)PQ的斜率不存在時(shí) 點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)是解決第(2)、第(3)問(wèn)的關(guān)鍵。 檢測(cè)評(píng)估： 1. 若直線(xiàn)按向量平移后與圓相切，則的值為( ) A．或 B．或 C．或 D．或 2.如右圖,定圓半徑為，圓心為 (), 則直線(xiàn) 與直線(xiàn)的交點(diǎn)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB三邊所在直線(xiàn)的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ） A．95 B．91 C．88 D．75 4. 若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的方程為（ ） A． B． C． D． 5. 直線(xiàn)x+y－2=0截圓x2＋y2＝4得的劣弧所對(duì)的圓心角為（ ） A． B． C． D． 6.若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線(xiàn):的距離為,則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是 . 7．過(guò)點(diǎn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB 最小時(shí)，直線(xiàn)l的方程為 . 8． 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀(guān)測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________ 9、在等差數(shù)列中，為首項(xiàng)，是其前項(xiàng)的和，將整理為 后可知：點(diǎn)（是正整數(shù)） 都在直線(xiàn)上，類(lèi)似地，若是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 則點(diǎn)（是正整數(shù)）在直線(xiàn)________上 10. 實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，，那么的最小值為　　　 ; 11 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常數(shù)且b≠0 (1)證明 {an}是等差數(shù)列 (2)證明 以(an,－1)為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn(n=1,2,…)都落在同一條直線(xiàn)上，并寫(xiě)出此直線(xiàn)的方程 (3)設(shè)a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r＞0)，求使得點(diǎn)P1、P2、P3都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍 12．某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？ 點(diǎn)撥與全解： 1.因平移后的直線(xiàn)，即，由圓心到直線(xiàn)之距公式得得，選A。 2．從圖知，且，兩直線(xiàn)交點(diǎn)為，選C。 3.解：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）轉(zhuǎn)化為求滿(mǎn)足不等式y(tǒng)≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個(gè)整數(shù)，x=1，y有10個(gè)，x=2或x=3時(shí)，y分別有9個(gè)，x=4時(shí)，y有8個(gè)，x=5或6時(shí)，y分別有7個(gè)，類(lèi)推：x=13時(shí)y有2個(gè)，x=14或15時(shí)，y分別有1個(gè)，共91個(gè)整點(diǎn).故選B。 4.解:與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線(xiàn)為，故選A。 5.解析：如圖所示： 圖 由 消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。 ∴A（2，0），B（1，） ∴|AB|==2 又|OB|＝|OA|=2， ∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=，故選C。 6.解：圓方程化為，所以由得 所以直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是。 7．解：可證當(dāng)CM⊥AB時(shí)，∠ACB最小，從而直線(xiàn)方程，即 8 解析 設(shè)P(x,y)，依題意有,化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y2－85x+100=0 9．由等比數(shù)列的求和公式得，所以在直線(xiàn)上。 10.解：M表示定點(diǎn)（-1，-3）與圓周上的點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，設(shè)連線(xiàn)方程為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)有最小值。 11 (1)證明 由條件，得a1=S1=a,當(dāng)n≥2時(shí)， 有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b 因此，當(dāng)n≥2時(shí)，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b 所以{an}是以a為首項(xiàng)，2b為公差的等差數(shù)列 (2)證明 ∵b≠0,對(duì)于n≥2,有 ∴所有的點(diǎn)Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通過(guò)P1(a,a－1)且以為斜率的直線(xiàn)上 此直線(xiàn)方程為y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0 (3)解 當(dāng)a=1,b=時(shí)，Pn的坐標(biāo)為(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圓C外的條件是 由不等式①,得r≠1 由不等式②，得r＜－或r＞+ 由不等式③，得r＜4－或r＞4+ 再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+ 故使P1、P2、P3都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍是 (0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞) 12.解 設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切 建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=(1+r)+(1 5－r)=2 5 ∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2 5的橢圓上，其方程為 =1 ① 同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，其方程為 (x－)2+y2=1 ② 由①、②可解得， ∴r= 故所求圓柱的直徑為 cm 第2課時(shí) 圓錐曲線(xiàn) 考綱指要： 圓錐曲線(xiàn)在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，主要考察圓錐曲線(xiàn)的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和處理有關(guān)問(wèn)題的基本技能、基本方法。 考點(diǎn)掃描： 1．了解圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景，感受圓錐曲線(xiàn)在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用； 2．經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線(xiàn)模型的過(guò)程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)； 3．了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)。 4．通過(guò)圓錐曲線(xiàn)與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想； 5．掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問(wèn)題。 考題先知： 例1．在雙曲線(xiàn)上有一個(gè)點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2為該雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠F1PF2=90，且△F1PF2的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則此雙曲線(xiàn)的離心率是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 分析：根據(jù)題中條件，列出關(guān)于之間的等量關(guān)系，再求離心率。 解：由題意知：，，從而，故選D。 點(diǎn)評(píng)：上述題型在高考中常出現(xiàn)于選擇與填空題中，考查學(xué)生對(duì)基本概念的掌握程度。 例2．已知拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)M（2，2）對(duì)稱(chēng)。 （1） 求的取值范圍； （2） 當(dāng)時(shí)，該拋物線(xiàn)上是否存在兩點(diǎn)C、D，且A、B、C、D四點(diǎn)共圓？若存在， 求出此圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 分析：在回答“是否存在”這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，?？梢韵燃僭O(shè)存在，然后從假設(shè)出發(fā)，只需找到一個(gè)符合條件的情況，即可說(shuō)明其存在，“找”的過(guò)程，常從特殊情形入手。 解：（1）設(shè)、是拋物線(xiàn)上關(guān)于點(diǎn)M（2，2）對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，則 ，所以，從而可設(shè) 是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，由， 得. （2）解法一：∵，∴拋物線(xiàn)上存在兩點(diǎn)、關(guān)于M（2，2）對(duì)稱(chēng)，∴∴?！邟佄锞€(xiàn)的方程為，則A（0，0），B（4，4），∴直線(xiàn)AB的方程為,∴線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)方程為即，代入，整理得，即。由，可知線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)定與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，不妨設(shè)此兩點(diǎn)為，∴,∴，∴CD的中點(diǎn)N坐標(biāo)為（6，-2），滿(mǎn)足,∴A、B兩點(diǎn)在以CD為直徑的圓上?！啻嬖贏(yíng)、B、C、D四點(diǎn)共圓，且圓的方程為。y x N O A B C D 解法二：∵，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)方程為，∴可設(shè)圓心，，∴圓的方程為，將代入圓的方程，整理得∴∴或∴應(yīng)有除以外的兩根，∴, ,∴，且。所以存在，且的無(wú)數(shù)個(gè)圓滿(mǎn)足條件。 解法三：∵點(diǎn)為圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，由解法2知，、是方程的兩根，，∴∴，，∴直線(xiàn)CD為一組斜率為的平行線(xiàn)（圖2）， y x N O A B C D D C 設(shè)直線(xiàn)CD在軸上的截距為，則直線(xiàn)CD的方程為：，代入拋物線(xiàn)中，得,∵，∴，此時(shí)線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為,∴線(xiàn)段CD的中垂線(xiàn)為與線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心，當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足橫坐標(biāo)，由，，得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C或點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合，∴直線(xiàn)CD可為斜率為的一組的平行線(xiàn)，其在軸上的截距大于，不等于0或8，弦CD的中點(diǎn)在直線(xiàn)上。 點(diǎn)評(píng)：解法1 是通過(guò)尋找問(wèn)題的特殊情況求解，表面看來(lái)，此題也已答完，通過(guò)解法2，使我們找到了求解問(wèn)題的一般方法，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的飛躍。解法3對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步挖掘、深化，使得直線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓三者的相對(duì)位置更加清晰、明朗。 復(fù)習(xí)智略： 例3．給定橢圓，是軸上的一個(gè)定點(diǎn)，直線(xiàn)：，過(guò)M任意引一條直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，A、B在上的射影分別為A‘，B’，在軸上的射影分別為A“、B”，則 證明 根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，只需證情形. (1)若,如圖1,設(shè),不妨設(shè),則,又設(shè)直線(xiàn)AB的方程為,代入橢圓方程消去整理得 于是,, 所以 又因?yàn)? ,所以 (2)若,如圖2,設(shè),不妨設(shè),則,以下證明同(1) 綜上所述,命題得證. 類(lèi)比一： 給定雙曲線(xiàn)，其余條件及結(jié)論，同上。 類(lèi)比二： 給定拋物線(xiàn) ，是軸上的一定點(diǎn)，直線(xiàn)：，過(guò)M任意引一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，其余條件及結(jié)論同上。 推論一：給定橢圓，是軸上的一個(gè)定點(diǎn)，直線(xiàn)：，過(guò)M任意引一條直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，A、B在上的射影分別為A‘，B’，則 證明 如圖形1,由Rt△AA”M∽△Rt△BB”M得 ,于是由例1得證. 推論二：設(shè)A、B是橢圓，長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)）、外部的兩點(diǎn)，且A、B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足， （1） 若過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)， 則∠PBA=∠QBA； （2）若過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則∠PBA+∠QBA=1800； 證明：（1）如圖形3，設(shè)，則，又設(shè)P、Q在在軸上的射影分別為P，，Q，，則由例1可得Rt△PP‘B∽△Rt△QQ‘B，于是∠PBA=∠QBA。同理可證結(jié)論（2）成立。 推論三： 給定橢圓，是軸上的一個(gè)定點(diǎn)，N是直線(xiàn)：與軸的交點(diǎn)，過(guò)M任意引一條直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，BC∥MN,點(diǎn)C在直線(xiàn)上 ,則直線(xiàn)AC平分線(xiàn)段MN. 證明:如圖4,設(shè)A在直線(xiàn)上的射影為D,因?yàn)锳D∥BC∥MN,則有,又, (由推論1),所以, 即直線(xiàn)AC平分線(xiàn)段MN. 又由推論3不難推出如下結(jié)論: 推論四：給定橢圓，是軸上的一個(gè)定點(diǎn)，N是直線(xiàn)：與軸的交點(diǎn)，過(guò)M任意引一條直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，A,B在直線(xiàn)上的射影分別為A’,B’,則直線(xiàn)A B’ ,B A’, MN相交于一點(diǎn). 檢測(cè)評(píng)估： 1．已知雙曲線(xiàn)(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（ ） A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 3.設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，若過(guò)且垂直于軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為( ) A．2 B。 C。 D。 4．已知A、B、C三點(diǎn)在曲線(xiàn)y=上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1＜m＜4)，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，m等于( ) A 3 B C D 5 已知拋物線(xiàn)y=x2－1上一定點(diǎn)B(－1，0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP⊥PQ，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是（ ） A．(－∞,－3∪3,+∞) B．(－∞,－1∪3,+∞) C．(－∞,－3∪1,+∞) D．(－∞,－1∪1,+∞) 6．設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線(xiàn)為l1，若過(guò)F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是 。 7.已知是圓為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 . 8．對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上； ②焦點(diǎn)在x軸上； ③拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6； ④拋物線(xiàn)的通徑的長(zhǎng)為5； ⑤由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足坐標(biāo)為（2，1）。 能使這拋物線(xiàn)方程為y2＝10x的條件是 ．（要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào)） 9.已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，M是雙曲線(xiàn)右支上一動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最大值為　　 ; 10． 設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則到直線(xiàn)的距離的最大值是　 ； 11．如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在A(yíng)M上，點(diǎn)N在CM上，且滿(mǎn)足的軌跡為 曲線(xiàn)E. （I）求曲線(xiàn)E的方程； （II）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線(xiàn)交曲線(xiàn)E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間）， 且滿(mǎn)足，求的取值范圍. 12、在等差數(shù)列中，，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)之和，曲線(xiàn)的方程是，直線(xiàn)的方程是. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)，時(shí)，令，求的最小值； （3）對(duì)于直線(xiàn)和直線(xiàn)外的一點(diǎn)P，用“上的點(diǎn)與點(diǎn)P距離的最小值”定義點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離與原有的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的概念是等價(jià)的，若曲線(xiàn)與直線(xiàn)不相交，試以類(lèi)似的方式給出一條曲線(xiàn)與直線(xiàn)間“距離”的定義，并依照給出的定義，在中自行選定一個(gè)橢圓，求出該橢圓與直線(xiàn)的“距離”. 點(diǎn)撥與全解： 1.解：雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線(xiàn)的斜率， ∴ ≥，離心率e2=，∴ e≥2，選C。 2．解：原式化簡(jiǎn)為，則y看作點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率。 因?yàn)辄c(diǎn)B的軌跡是 即 過(guò)A作直線(xiàn)，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。 3．解：由條件得，所以，故選A。 4 解析 由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2) 直線(xiàn)AC所在方程為x－3y+2=0, 點(diǎn)B到該直線(xiàn)的距離為d= ∵m∈(1,4),∴當(dāng)時(shí)，S△ABC有最大值，此時(shí)m= 故選 B 5 解析 設(shè)P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)，∵BP⊥PQ,∴=－1, 即t2+(s－1)t－s+1=0 ∵t∈R,∴必須有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0 即s2+2s－3≥0, 解得s≤－3或s≥1 故選D。 6．解：由題意知過(guò)F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為，∴，∴， ∴，即e=。 7.解：由條件知，根據(jù)橢圓定義得，從而所求軌跡方程為 8.解：從拋物線(xiàn)方程易得②，分別按條件③、④、⑤計(jì)算求拋物線(xiàn)方程，從而確定⑤。答案：②，⑤ 9．解：因右準(zhǔn)線(xiàn)方程是，記點(diǎn)M到右準(zhǔn)線(xiàn)距離為，則，所以 ，當(dāng)點(diǎn)M與A的連線(xiàn)垂直于準(zhǔn)線(xiàn)時(shí)，所求值最大，為。 10．解：設(shè)，則到直線(xiàn)的距離為 ，即最大值是。 11．解：（I） ∴NP為AM的垂直平分線(xiàn)，∴|NA|=|NM|. 又 ∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓. 且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2. ∴曲線(xiàn)E的方程為 （II）當(dāng)直線(xiàn)GH斜率存在時(shí)， 設(shè)直線(xiàn)GH方程為 得 設(shè) ， 又當(dāng)直線(xiàn)GH斜率不存在，方程為 12．解：（1）∵，∴，又∵，∴， ∵，∴，，∴. （2），由題意，知，即， ∴或，即或，即或時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn). ，∴時(shí)，的最小值為. （3）若曲線(xiàn)與直線(xiàn)不相交，曲線(xiàn)與直線(xiàn)間“距離”是：曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值. 曲線(xiàn)與直線(xiàn)不相交時(shí)，，即，即，∴， ∵時(shí)，曲線(xiàn)為圓，∴時(shí)，曲線(xiàn)為橢圓. 選，橢圓方程為，設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，它到直線(xiàn)的距離 ， ∴橢圓到直線(xiàn)的距離為. （橢圓到直線(xiàn)的距離為）