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2019-2020年高中數(shù)學 1.1.1集合的含義與表示教案 新人教A版必修1 （一）教學目標 1．知識與技能 （1）初步理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法． （2）初步了解“屬于”關系的意義．理解集合相等的含義. （3）初步了解有限集、無限集的意義，并能恰當?shù)貞昧信e法或描述法表示集合. 2．過程與方法 （1）通過實例，初步體會元素與集合的“屬于”關系，從觀察分析集合的元素入手，正確地理解集合． （2）觀察關于集合的幾組實例，并通過自己動手舉出各種集合的例子，初步感受集合語言在描述客觀現(xiàn)實和數(shù)學對象中的意義． （3）學會借助實例分析、探究數(shù)學問題（如集合中元素的確定性、互異性）． （4）通過實例體會有限集與無限集，理解列舉法和描述法的含義，學會用恰當?shù)男问奖硎窘o定集合掌握集合表示的方法. 3．情感、態(tài)度與價值觀 （1）了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系． （2）在學習運用集合語言的過程中，增強學生認識事物的能力．初步培養(yǎng)學生實事求是、扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度． （二）教學重點、難點 重點是集合的概念及集合的表示．難點是集合的特征性質和概念以及運用特征性質描述法正確地表示一些簡單集合. （三）教學方法 嘗試指導與合作交流相結合．通過提出問題、觀察實例，引導學生理解集合的概念，分析、討論、探究集合中元素表達的基本要求，并能依照要求舉出符合條件的例子，加深對概念的理解、性質的掌握．通過命題表示集合，培養(yǎng)運用數(shù)學符合的意識. 教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 提出 問題 一個百貨商店，第一批進貨是帽子、皮鞋、熱水瓶、鬧鐘共計4個品種，第二批進貨是收音機、皮鞋、尼龍襪、茶杯、鬧鐘共計5個品種，問一共進了多少品種的貨?能否回答一共進了4 + 5 = 9種呢？ 學生回答（不能，應為7種），然后教師和學生共同分析原因：由于兩次進貨共同的品種有兩種，故應為4 +5 – 2 = 7種．從而指出： ……這好像涉及了另一種新的運算．…… 設疑激趣， 導入課題． 復習 引入 ①初中代數(shù)中涉及“集合”的提法． ②初中幾何中涉及“集合”的提法． 引導學生回顧，初中代數(shù)中不等式的解法一節(jié)中提到的有關知識： 一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合，簡稱為這個不等式的解集． 幾何中，圓的概念是用集合描述的． 通過復習回顧，引出集合的概念． 概念 形成 第一組實例（幻燈片一）： （1）“小于l0”的自然數(shù)0，1，2，3，……，9． （2）滿足3x – 2 ＞x + 3的全體實數(shù)． （3）所有直角三角形． （4）到兩定點距離的和等于兩定點間的距離的點． （5）高一（1）班全體同學． （6）參與中國加入WTO談判的中方成員． 1．集合： 一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合（或集）． 2．集合的元素（或成員）： 即構成集合的每個對象（或成員）， 教師提問：①以上各例（構成集合）有什么特點?請大家討論． 學生討論交流，得出集合概念的要點，然后教師肯定或補充． ②我們能否給出集合一個大體描述?……學生思考后回答，然后教師總結． ③上述六個例子中集合的元素各是什么? ④請同學們自己舉一些集合的例子． 通過實例，引導學生經(jīng)歷并體會集合（描 述性）概念 形成的過程，引導學 生進一步明確集合及集合元素的概念，會用自然語言描述集合． 概念 深化 第二組實例（幻燈片二）： （1）參加亞特蘭大奧運會的所有中國代表團的成員構成的集合． （2）方程x2 = 1的解的全體構成的集合． （3）平行四邊形的全體構成的集合． （4）平面上與一定點O的距離等于r的點的全體構成的集合． 3．元素與集合的關系： 教師要求學生看第二組實例，并提問：①你能指出各個集合的元素嗎？②各個集合的元素與集合之間是什么關系？③例（2）中數(shù)0，–2是這個集合的元素嗎? 學生討論交流，弄清元素與集合之間是從屬關系，即“屬于”或“不屬于”關系． 引入集合語言描述集合． 教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 念 深化 集合通常用英語大寫字母A、B、C…表示，它們的元素通常用英語小寫字母a、b、c…表示． 如果a是集合A的元素，就說a屬于A， 記作a∈A，讀作“a屬于A”． 如果a不是集合A的元素，就說a不屬于 A，記作aA，讀作“a不屬于A”． 4．集合的元素的基本性質； （1）確定性：集合的元素必須是確定的．不能確定的對象不能構成集合． （2）互異性：集合的元素一定是互異的．相同的幾個對象歸于同一個集合時只能算作一個元素． 第三組實例（幻燈片三）： （1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三個式子構成的集合． （2）平面上與一個定點O的距離等于1的點的全體構成的集合． （3）方程x2 = – 1的全體實數(shù)解構成的集合． 5．空集：不含任何元素的集合，記作． 6．集合的分類：按所含元素的個數(shù)分為有限集和無限集． 7．常用的數(shù)集及其記號（幻燈片四）． N：非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）． N*或N+：正整數(shù)集（或自然數(shù)集去掉0）． Z：整數(shù)集． Q：有理數(shù)集． R：實數(shù)集． 教師提問：“我們班中高個子的同學”、“年輕人”、“接近數(shù)0的數(shù)”能否分別組成一個集合，為什么？ 學生分組討論、交流，并在教師的引導下明確： 給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了．另外，集合的元素一定是互異的．相同的對象歸于同一個集合時只能算作集合的一個元素． 教師要求學生觀察第三組實例，并提問：它們各有元素多少個? 學生通過觀察思考并回答問題． 然后，依據(jù)元素個數(shù)的多少將集合分類． 讓學生指出第三組實例中，哪些是有限集？哪些是無限集？…… 請同學們熟記上述符號及其意義． 通過討論，使學生明確集合元素所具有的性質，從而進一步準確理解集合的概念． 通過觀察實例，發(fā)現(xiàn)集合的元素個數(shù)具有不同的類別，從而使學生感受到有限集、無限集、空集存在的客觀意義． 教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 應用 舉例 列舉法： 定義：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法. 例1 用列舉法表示下列集合： （1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合； （2）方程x2 = x的所有實數(shù)根組成的集合； （3）由1～20以內的所有質數(shù)組成的集合. 描述法： 定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法. 具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征. 例2 試分別用列舉法和描述法表示下列集合： （1）方程x2 –2 = 0的所有實數(shù)根組成的集合； （2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合. 師生合作應用定義表示集合. 例1 解答：（1）設小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么 A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. 由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關，因此集合A可以有不同的列舉法. 例如： A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}. （2）設方程x2 = x 的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么B = {0，1}. （3）設由1～20以內的所有質數(shù)組成的集合為C，那么 C = {2，3，5，7，11，13，17，19}. 例2 解答：（1）設方程x2 – 2 = 0的實數(shù)根為 x，并且滿足條件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示為 A = {x∈R| x2 –2 = 0}. 方程x2 –2 = 0有兩個實數(shù)根，，因此，用列舉法表示為 A = {，}. （2）設大于10小于20的整數(shù)為 x，它滿足條件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示為 B = {x∈Z | 10＜x＜20}. 大于10小于20的整數(shù)有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列舉法表示為 B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.  教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 應用 舉例 例3 已知由l，x，x2，三個實數(shù)構成一個集合，求x應滿足的條件． 解：根據(jù)集合元素的互異性， 得 所以x∈R且x≠1，x≠0． 課堂練習：教材第5頁練習A1、2、3． 例2 用∈、填空． ① Q；② Z； ③ R；④0 N； ⑤0 N*；⑥0 Z． 學生分析求解，教師板書． 幻燈片五（練習答案），反饋矯正． 通過應 用，進一步 理解集合的 有關概念、 性質． 例4 試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? （1）由方程x2 – 9 = 0的所有實數(shù)根組成的集合； （2）由小于8的所有素數(shù)組成的集合； （3）一次函數(shù)y = x + 3與 y = –2x + 6的圖象的交點組成的集合； （4）不等式4x – 5＜3的解集. 生：獨立完成；題：點評說明. 例4 解答：（1）{3，–3}； （2）{2，3，5，7}； （3）{(1，4)}； （4）{x| x＜2}. 歸納 總結 ①請同學們回顧總結，本節(jié)課學過的集合的概念等有關知識； ②通過回顧本節(jié)課的探索學習過程，請同學們體會集合等有關知識是怎樣形成、發(fā)展和完善的． ③通過回顧學習過程比較列舉法和描述法. 歸納適用題型. 師生共同總結——交流——完善． 引導學生學會自己總結；讓學 生進一步（回顧）體 會知識的形成、發(fā)展、完善的過程． 課后 作業(yè) 1.1 第一課時習案 由學生獨立完成． 鞏固深化；預習下一節(jié)內容，培養(yǎng)自學能力． 備選例題 例1（1）利用列舉法表法下列集合：①{15的正約數(shù)}；②不大于10的非負偶數(shù)集. （2）用描述法表示下列集合：①正偶數(shù)集； ②{1，–3，5，–7，…，–39，41}. 【分析】考查集合的兩種表示方法的概念及其應用. 【解析】（1）①{1，3，5，15} ②{0，2，4，6，8，10} （2）①{x | x = 2n，n∈N*} ②{x | x = (–1) n–1(2n –1)，n∈N*且n≤21}. 【評析】（1）題需把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合，多用于集合中的元素有有限個的情況. （2）題是將元素的公共屬性描述出來，多用于集合中的元素有無限多個的無限集或元素個數(shù)較多的有限集. 例2 用列舉法把下列集合表示出來： （1）A = {x∈N |∈N}； （2）B = {∈N | x∈N }； （3）C = { y = y = – x2 + 6，x∈N ，y∈N }； （4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }； （5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}. 【分析】先看五個集合各自的特點：集合A的元素是自然數(shù)x，它必須滿足條件也是自然數(shù)；集合B中的元素是自然數(shù)，它必須滿足條件x也是自然數(shù)；集合C中的元素是自然數(shù)y，它實際上是二次函數(shù)y = – x2 + 6 (x∈N )的函數(shù)值；集合D中的元素是點，這些點必須在二次函數(shù)y = – x2 + 6 (x∈N )的圖象上；集合E中的元素是x，它必須滿足的條件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*. 【解析】（1）當x = 0，6，8這三個自然數(shù)時，=1，3，9也是自然數(shù). ∴ A = {0，6，9} （2）由（1）知，B = {1，3，9}. （3）由y = – x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6. ∴ x = 0，1，2時，y = 6，5，2 符合題意. ∴ C = {2，5，6}. （4）點 {x，y}滿足條件y = – x2 + 6，x∈N，y∈N，則有： ∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) } （5）依題意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，則 x 要滿足條件x =， ∴E = {0，，，，4}. 【評析】用描述法表示的集合，要特別注意這個集合中的元素是什么，它應該符合什么條件，從而準確理解集合的意義. 例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及對應的集合A. –3∈A，可知–3是集合的一個元素，則可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A. 【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，當a –3 = –3，即a = 0時，A = {–3，–1，1} 當2a – 1 = –3，即a = –1時，A = {– 4，–3，2}. 【評析】元素與集合的關系是確定的，–3∈A，則必有一個式子的值為 –3，以此展開討論，便可求得a.