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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2 章末整合 蘇教版必修3 　某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本，最適合抽取樣本的方法是________． 解析：總體人數(shù)為28＋54＋81＝163(人)，樣本容量為36.若按36∶163取樣，無(wú)法得到整數(shù)解．故考慮先剔除1人，抽樣比變?yōu)?6∶162＝2∶9，則中年人取54＝12(人)；青年人取81＝18(人)；先從老年人中剔除1人，老年人取27＝6(人)．這樣組成容量為36的樣本． 答案：先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣 規(guī)律總結(jié)：根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種抽樣方法的共同點(diǎn)、適用范圍和各自特點(diǎn)，恰當(dāng)選取抽樣方法．在抽取樣本時(shí)，要按照各種抽樣方法的步驟進(jìn)行．三種抽樣方法的比較見(jiàn)下表： 類別 共同點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 各自特點(diǎn) 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 (1)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等(2)抽樣過(guò)程都是不放回抽樣 總體中的個(gè)數(shù)較少 從總體中逐個(gè)抽取 系統(tǒng)抽樣 在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)數(shù)較多 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 分層抽樣 每層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 變式訓(xùn)練 1．為調(diào)查小區(qū)平均每戶居民的月用水量，下面是3名學(xué)生設(shè)計(jì)的方案： 學(xué)生甲：我把這個(gè)用水量調(diào)查表放在互聯(lián)網(wǎng)上，只要登錄網(wǎng)站的人就可以看到這張表，他們填的表可以很快地反饋到我的電腦中，這樣就可以很快估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生乙：我給我們小區(qū)居民的每一個(gè)住戶發(fā)一張用水調(diào)查表，只要一兩天就可以統(tǒng)計(jì)出小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生丙：我在小區(qū)的電話號(hào)碼本上隨機(jī)地選出一定數(shù)量的電話號(hào)碼，然后逐個(gè)給這些住戶打電話，問(wèn)一下他們的月用水量，然后就可以估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量． 請(qǐng)你分析上述3名學(xué)生設(shè)計(jì)的調(diào)查方案能夠準(zhǔn)確地獲得小區(qū)平均每戶居民的月用水量嗎？為什么？你有何建議？ 解析：學(xué)生甲的方案得到的樣本不能夠反映不上網(wǎng)的居民的月用水量情況，其所得到的樣本代表性差，不能很準(zhǔn)確地獲得小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生乙的方案實(shí)際上是普查，花費(fèi)的人力、物力、時(shí)間更多一些，但是如果統(tǒng)計(jì)過(guò)程不出錯(cuò)，可以準(zhǔn)確地得到小區(qū)平均每戶居民的月用水量； 學(xué)生丙的方案是一種隨機(jī)抽樣法，在所在小區(qū)的每戶居民都裝有電話的前提下，建議采用隨機(jī)抽樣法獲得數(shù)據(jù)，即用學(xué)生丙的方案，既節(jié)省人力、物力、時(shí)間，又可以得到比較精確的結(jié)果． 　有1個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [12.5，15.5)6，[15.5，18.5)16，[18.5，21.5)18，[21.5，24.5)22，[24.5，27.5)20，[27.5，30.5)10，[30.5，33.5]8. (1)列出樣本的頻率分布表(含累計(jì)頻率)； (2)畫(huà)出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖； (3)根據(jù)累積頻率分布估計(jì)小于30的數(shù)據(jù)約占多大百分比． 分析：按照畫(huà)頻率分布直方圖的要求操作． 解析：(1)樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 累計(jì)頻率 12.5～15.5 6 0.06 0.06 15.5～18.5 16 0.16 0.22 18.5～21.5 18 0.18 0.40 21.5～24.5 22 0.22 0.62 24.5～27.5 20 0.20 0.82 27.5～30.5 10 0.10 0.92 30.5～33.5 8 0.08 1.00 合計(jì) 100 1.00 (2)頻率分布直方圖如圖(1)所示，累積頻率分布圖如圖(2)所示． (3)在累積頻率分布圖中找到橫坐標(biāo)為30的點(diǎn)，然后量出這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)約為0.90，這說(shuō)明小于30的數(shù)據(jù)約占90%. 規(guī)律總結(jié)：(1)頻率分布表列出的是各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率； (2)頻率分布直方圖是用矩形的面積的大小來(lái)表示各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的機(jī)會(huì)的，可直觀地看出在各個(gè)區(qū)間內(nèi)機(jī)會(huì)的差異． 用樣本估計(jì)總體一般分兩種：一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差等)估計(jì)總體的數(shù)字特征． 用樣本頻率分布估計(jì)總體的分布就是利用樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖對(duì)總體情況做出估計(jì)，有時(shí)也利用頻率分布折線圖和莖葉圖對(duì)總體估計(jì)．直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，這樣根據(jù)樣本的頻率分布我們可以大致估計(jì)出總體的分布，但是，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，所需抽樣的樣本容量也不能太小，隨著樣本容量的增加，頻率分布折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條曲線為總體密度曲線，它能給我們提供更加精細(xì)的信息．在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示；數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，這給數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來(lái)方便． 變式訓(xùn)練 2．李老師為了分析期中數(shù)學(xué)考試情況，從全級(jí)1 500人中抽了50人，將分?jǐn)?shù)分為5組，第一組到第三組的頻數(shù)分別是10，23，11，第四組的頻率是0.08，那么落在第五組90～100分的頻數(shù)是多少？頻率是多少？全級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)在90～100分的大約有多少人？ 解析：第四組的頻數(shù)為0.0850＝4，則第五組的頻數(shù)為50－10－23－11－4＝2，頻率為＝0.04，故全級(jí)分?jǐn)?shù)在90～100的約有0.041 500＝60(人)． 　甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)： 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種小麥品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定． 分析：與樣本的穩(wěn)定和波動(dòng)有關(guān)的數(shù)字特征是方差．只需計(jì)算方差即可． 解析：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為 [(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]5＝0.02， 乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為 [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]5＝0.24>0.02. 所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種小麥的產(chǎn)量比較穩(wěn)定． 規(guī)律總結(jié)：用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征就是為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還可以通過(guò)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對(duì)總體的數(shù)字特征做出估計(jì)．眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的那個(gè)值；中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)分成相同數(shù)目的兩部分，其中一部分比這個(gè)數(shù)小，另一部分比這個(gè)數(shù)大的那個(gè)數(shù)；平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式如下： s＝. 有時(shí)也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差，實(shí)質(zhì)一樣．  變式訓(xùn)練 3．在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7.現(xiàn)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_(kāi)_______，________． 解析：最高分是9.9，最低分是8.4，去掉后的數(shù)據(jù)為9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，它們的平均數(shù)是：x＝＝9.5， 方差為：s2＝＋ ＝0.016. 　在10年期間，一城市居民的年收入與某種商品的銷售額之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)： 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 城市居民年收入x/億元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 某商品銷售額y/萬(wàn)元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的回歸直線方程． 分析：兩個(gè)隨機(jī)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系有兩種方法判斷：一是從散點(diǎn)圖中直觀地看；二是看相關(guān)系數(shù)r＝，目前以第一種方法進(jìn)行判斷． 解析：(1)散點(diǎn)圖如下圖： (2)由(1)知城市居民的年收入與該商品的銷售額之間存在著顯著的線性相關(guān)關(guān)系．列表： I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 32.3 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 yi 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 xiyi 805 933 1 118.6 1 324.6 1 446.9 1 558 1 638 1 892 2 140.8 2 346 x＝37.97，y＝39.1， x＝14 663.67，xiyi＝15 202.9 通過(guò)計(jì)算得： b＝＝ ＝≈1.447， a＝y(tǒng)－bx＝39.1－1.44737.97≈－15.843， 因此所求的回歸直線方程是 y^＝1.447x－15.843. 規(guī)律總結(jié)：(1)分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖確定兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，還可利用最小二乘法求出回歸直線方程．把樣本數(shù)據(jù)表示的點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中作出，構(gòu)成的圖叫散點(diǎn)圖．從散點(diǎn)圖上，我們可以分析出兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．如果這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，直線方程叫做回歸直線方程． (2)求回歸直線方程的方法及步驟． ①“表格”法的步驟： a．先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出,; b．計(jì)算回歸系數(shù)a，b.公式為： c.寫(xiě)出回歸直線方程y^=bx＋a. ②利用工作表軟件求法的步驟：調(diào)狀態(tài)→輸入數(shù)據(jù)→按鍵得結(jié)果→寫(xiě)出所得方程． (3)畫(huà)樣本頻率分布直方圖的步驟：求極差→決定組距與組數(shù)→分組→列頻率分布表→畫(huà)頻率分布直方圖． 變式訓(xùn)練 4．為了研究重量x(單位：克)對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(單位：厘米)的影響，對(duì)不同重量的6根彈簧進(jìn)行測(cè)量，得如下數(shù)據(jù)： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的線性回歸方程． 解析：(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖如下： (2)從散點(diǎn)圖可知，兩個(gè)變量之間有線性相關(guān)關(guān)系． 此題中，n＝6，計(jì)算可得 xi＝105，xi2＝2 275，yi＝56.92， xiyi＝1 076.2，從而得x＝17.5，y＝9.487， 計(jì)算得b＝0.183，a＝6.285. 于是得到線性回歸方程y^＝6.285＋0.183x. 5．一臺(tái)機(jī)器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)零件的多少，隨機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果： 轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒) 16 14 12 8 每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件) 11 9 8 5 (1)畫(huà)散點(diǎn)圖； (2)如果y對(duì)x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸方程； (3)若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺點(diǎn)的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)(保留1位小數(shù))? 解析：(1)散點(diǎn)圖如下圖所示： (2)由散點(diǎn)圖可知，兩變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，列表，計(jì)算： i 1 2 3 4 xi 16 14 12 8 yi 11 9 8 5 xiyi 176 126 96 40 xi2 256 196 144 64 ＝12.5，＝8.25，=660，xiyi＝438 設(shè)所求回歸方程為＝bx＋a，則由上表可得 b＝＝＝＝，a＝－b＝8.25－12.5＝－， ∴回歸方程為＝x－. (3)由y≤10得x－≤10，解得x≤14.9，所以機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在14.9轉(zhuǎn)/秒內(nèi)．