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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)模型的應(yīng)用實例》教案4 新人教A版必修1 一、 教學(xué)目標(biāo)： 1. 知識與技能 能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題. 2．過程與方法 感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù)模型在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性. 3．情感、態(tài)度、價值觀 體會運用函數(shù)思想處理現(xiàn)實生活中和社會中的一些簡單問題的實用價值. 二、 教學(xué)重點與難點： 1．教學(xué)重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決一些實際問題. 2. 教學(xué)難點：將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型. 三、 學(xué)法與教學(xué)用具 1. 學(xué)法：學(xué)生自主閱讀教材，采用嘗試、討論方式進行探究. 2. 教學(xué)用具：多媒體 四、 教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 引例：大約在一千五百年前，大數(shù)學(xué)家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔？你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎？你有什么更好的方法？老師介紹孫子的大膽解法：他假設(shè)砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”. 這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數(shù)量與它們頭的數(shù)量之差，就是兔子數(shù)，即：47－35＝12；雞數(shù)就是：35－12＝23. 比例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強其求知欲望. 可引導(dǎo)學(xué)生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題. （二）結(jié)合實例，探求新知 例1. 某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛. 試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系式，并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程. 探索： 1）本例所涉及的變量有哪些？它們的取值范圍怎樣； 2）所涉及的變量的關(guān)系如何？ 3）寫出本例的解答過程. 老師提示：路程S和自變量t的取值范圍（即函數(shù)的定義域），注意t的實際意義. 學(xué)生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析. 例2．某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店制定了兩種優(yōu)惠辦法： 1）本例所涉及的變量之間的關(guān)系可用何種函數(shù)模型來描述？ 2）本例涉及到幾個函數(shù)模型？ 3）如何理解“更省錢？”； 4）寫出具體的解答過程. 在學(xué)生自主思考，相互討論完成本例題解答之后，老師小結(jié)：通過以上兩例，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實的一種模型，它把實際問題中某些事物的主要特征和關(guān)系抽象出來，并用數(shù)學(xué)語言來表達，這一過程稱為建模，是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)模型可采用各種形式，如方程（組），函數(shù)解析式，圖形與網(wǎng)絡(luò)等 . 課堂練習(xí)1 某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿. 公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數(shù)就會減少10間. 若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？ 引導(dǎo)學(xué)生探索過程如下： 1）本例涉及到哪些數(shù)量關(guān)系？ 2）應(yīng)如何選取變量，其取值范圍又如何？ 3）應(yīng)當(dāng)選取何種函數(shù)模型來描述變量的關(guān)系？ 4）“總收入最高”的數(shù)學(xué)含義如何理解？ 根據(jù)老師的引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生自主，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，進行解答，然后交流、進行評析. [略解：] 設(shè)客房日租金每間提高2元，則每天客房出租數(shù)為300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30 設(shè)客房租金總上收入元，則有： =（20+2）(300－10) =－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30） 由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)=10時，=8000. 所以當(dāng)每間客房日租金提高到20＋102=40元時，客戶租金總收入最高，為每天8000元. 課堂練習(xí)2 要建一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，試求應(yīng)當(dāng)怎樣設(shè)計，才能使水池總造價最低？并求此最低造價. （三）歸納整理，發(fā)展思維. 引導(dǎo)學(xué)生共同小結(jié)，歸納一般的應(yīng)用題的求解方法步驟： 1） 合理迭取變量，建立實際問題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為 函數(shù)模型問題： 2）運用所學(xué)知識研究函數(shù)問題得到函數(shù)問題的解答； 3）將函數(shù)問題的解翻譯或解釋成實際問題的解； 4）在將實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，能畫圖的要畫圖，可借助于圖形的直觀 性，研究兩變量間的聯(lián)系. 抽象出數(shù)學(xué)模型時，注意實際問題對變量范圍的限制. （四）布置作業(yè) 作業(yè)：教材P120習(xí)題3.2（A組）第3 、4題： 3 .2 .2 函數(shù)模型的應(yīng)用實例（Ⅱ） 一、 教學(xué)目標(biāo) 1. 知識與技能 能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實際問題. 2. 過程與方法 進一步感受運用函數(shù)概念建立函數(shù)模型的過程和方法，對給定的函數(shù)模型進行簡單的分析評價. 二、 教學(xué)重點 重點 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性質(zhì)函數(shù)模型解決實際問題. 難點 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并對給定的函數(shù)模型進行簡單的分析評價. 三、 學(xué)法與教學(xué)用具 1. 學(xué)法：自主學(xué)習(xí)和嘗試，互動式討論. 2. 教學(xué)用具：多媒體 四、 教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題. 現(xiàn)實生活中有些實際問題所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，但需我們利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關(guān)系來建立. 對于已給定數(shù)學(xué)模型的問題，我們要對所確定的數(shù)學(xué)模型進行分析評價，驗證數(shù)學(xué)模型的與所提供的數(shù)據(jù)的吻合程度. （二）實例嘗試，探求新知 例1. 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示. 1）寫出速度關(guān)于時間的函數(shù)解析式； 2）寫出汽車行駛路程關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式，并作圖象； 3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義； 4）假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為xxkm，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)與時間的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象. 本例所涉及的數(shù)學(xué)模型是確定的，需要利用問題中的數(shù)據(jù)及其蘊含的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，此例分段函數(shù)模型刻畫實際問題. 教師要引導(dǎo)學(xué)生從條塊圖象的獨立性思考問題，把握函數(shù)模型的特征. 注意培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，讓學(xué)生懂得圖象是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種重要表現(xiàn)形式. 例2. 人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù). 早在1798，英國經(jīng)濟家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型： 其中表示經(jīng)過的時間，表示時的人口數(shù)，表示人口的年均增長率. 下表是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：（單位：萬人） 年份 1950 1951 1952 1953 1954 人數(shù) 55196 56300 57482 58796 60266 年份 1955 1956 1957 1958 1959 人數(shù) 1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符； 2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到13億？ 探索以下問題： 1）本例中所涉及的數(shù)量有哪些？ 2）描述所涉及數(shù)量之間關(guān)系的函數(shù)模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？ 3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)如何確定函數(shù)模型？ 4）對于所確定的函數(shù)模型怎樣進行檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)做出如何評價？ 如何根據(jù)確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個時間的人口數(shù)，用的是何種計算方法？ 本例的題型是利用給定的指數(shù)函數(shù)模型解決實際問題的一類問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到確定具體函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定兩個參數(shù)與. 完成數(shù)學(xué)模型的確定之后，因為計算較繁，可以借助計算器. 在驗證問題中的數(shù)據(jù)與所確定的數(shù)學(xué)模型是否吻合時，可引導(dǎo)學(xué)生利用計算器或計算機作出所確定函數(shù)的圖象，并由表中數(shù)據(jù)作出散點圖，通過比較來確定函數(shù)模型與人口數(shù)據(jù)的吻合程度，并使學(xué)生認(rèn)識到表格也是描述函數(shù)關(guān)系的一種形式. 引導(dǎo)學(xué)生明確利用指數(shù)函數(shù)模型對人口增長情況的預(yù)測，實質(zhì)上是通過求一個對數(shù)值來確定的近似值. 課堂練習(xí)：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由. 探索以下問題： 1）本例給出兩種函數(shù)模型，如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定它們？ 2）如何對所確定的函數(shù)模型進行評價？ 本例是不同函數(shù)的比較問題，要引導(dǎo)學(xué)生利用待定系數(shù)法確定具體的函數(shù)模型. 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到比較函數(shù)模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是4月份產(chǎn)量的吻合程度，這也是對函數(shù)模評價的依據(jù). 本例滲透了數(shù)學(xué)思想方法，要培養(yǎng)學(xué)生有意識地運用. 三. 歸納小結(jié)，發(fā)展思維. 利用給定函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題的方法； 1）根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系； 2）利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型； 3）對所確定的函數(shù)模型進行適當(dāng)?shù)脑u價； 4）根據(jù)實際問題對模型進行適當(dāng)?shù)男拚? 從以上各例體會到：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，然后通過觀察圖象，判斷問題適用的函數(shù)模型，借助計算器或計算機數(shù)據(jù)處理功能，利用待定系數(shù)法得出具體的函數(shù)解析式，再利用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問題，這是函數(shù)應(yīng)用的一個基本過程. 圖象、表格和解析式都可能是函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式. 在實際應(yīng)用時，經(jīng)常需要將函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種形式向另一種轉(zhuǎn)化. （四）布置作業(yè)：教材P120習(xí)題32（A組）第6~9題. 3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例（Ⅲ） 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能 能夠收集圖表數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實際問題。 2、過程與方法 體驗收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)的過程與方法，體會函數(shù)擬合的思想方法。 3、情感、態(tài)度、價值觀 深入體會數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活及各個領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用及其重要價值。 二、教學(xué)重點、難點： 重點：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實際問題。 難點：對數(shù)據(jù)信息進行擬合，建立起函數(shù)模型，并進行模型修正。 三、學(xué)學(xué)與教學(xué)用具 1、學(xué)法：學(xué)生自查閱讀教材，嘗試實踐，合作交流，共同探索。 2、教學(xué)用具：多媒體 四、教學(xué)設(shè)想 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 2003年5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動“建立非典流行趨勢預(yù)測與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專家晝夜攻關(guān)，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門參考的應(yīng)用軟件。 這一數(shù)學(xué)模型利用實際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算仿真，結(jié)果指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關(guān)重要、分析報告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達60萬人。 這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢預(yù)測動力學(xué)模型和優(yōu)化控制模型，并對非典未來的流行趨勢做了分析預(yù)測。 本例建立教學(xué)模型的過程，實際上就是對收集來的數(shù)據(jù)信息進行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數(shù)。 （二）嘗試實踐 探求新知 例1．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表 （身高：cm；體重：kg） 身高 60 70 80 90 100 110 體重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高 120 130 140 150 160 170 體重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 1） 根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。 2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm ，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？ 探索以下問題： 1）借助計算器或計算機，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，畫出它們相應(yīng)的散點圖； 2）觀察所作散點圖，你認(rèn)為它與以前所學(xué)過的何種函數(shù)的圖象較為接近？ 3）你認(rèn)為選擇何種函數(shù)來描述這個地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關(guān)系比較合適？ 4）確定函數(shù)模型，并對所確定模型進行適當(dāng)?shù)臋z驗和評價. 5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？ 本例給出了通過測量得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的，要引導(dǎo)學(xué)生借助計算器或計算機畫圖，幫助判斷. 根據(jù)散點圖，利用待定系數(shù)法確定幾種可能的函數(shù)模型，然后進行優(yōu)劣比較，選定擬合度較好的函數(shù)模型.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對模型進行適當(dāng)修正，并做出一定的預(yù)測. 此外，注意引導(dǎo)學(xué)生體會本例所用的數(shù)學(xué)思想方法. 例2. 將沸騰的水倒入一個杯中，然后測得不同時刻溫度的數(shù)據(jù)如下表： 時間（S） 60 120 180 240 300 溫度（℃） 86.86 81.37 76.44 66.11 61.32 時間（S） 360 420 480 540 600 溫度（℃） 53.03 52.20 49.97 45.96 42.36 1）描點畫出水溫隨時間變化的圖象； 2）建立一個能基本反映該變化過程的水溫（℃）關(guān)于時間的函數(shù)模型，并作出其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何. 3）水杯所在的室內(nèi)溫度為18℃，根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過幾分鐘水溫才會降到室溫？再經(jīng)過幾分鐘會降到10℃？對此結(jié)果，你如何評價？ 本例意圖是引導(dǎo)學(xué)生進一步體會，利用擬合函數(shù)解決實際問題的思想方法，可依照例1的過程，自主完成或合作交流討論. 課堂練習(xí)：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件. 由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產(chǎn)品銷售情況良好. 為了在推銷產(chǎn)品時，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量，你能解決這一問題嗎？ 探索過程如下： 1）首先建立直角坐標(biāo)系，畫出散點圖； 2）根據(jù)散點圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型： 一次函數(shù)模型： 二次函數(shù)模型： 冪函數(shù)模型： 指數(shù)函數(shù)模型：（＞0，） 利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對各模型進行分析評價，選出合適的函數(shù)模型；由于嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學(xué)分工合作，最后再一起討論確定. （三）歸納小結(jié)，鞏固提高. 通過以上三題的練習(xí)，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實際問題的一般方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的重要思想方法. 利用函數(shù)思想解決實際問題的基本過程如下： 用函數(shù)模型解決實際問題在于 求函數(shù)模型 選擇函數(shù)模型 畫散點圖 檢驗 收集數(shù)據(jù) 符合 實際 不符合實際 （四）布置作業(yè)： 作業(yè)：教材P120習(xí)題32（B組）第2、3題：