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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》教案2 北師大版必修5 ●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)；對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的個(gè)通項(xiàng)公式。 過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力． 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。 ●教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用 ●教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 三角形數(shù)：1，3，6，10，… 正方形數(shù)：1，4，9，16，25，… Ⅱ.講授新課 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第n 項(xiàng)，…. 例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），“9”是這個(gè)數(shù)列中的第6項(xiàng). ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡(jiǎn)記為，其中是數(shù)列的第n項(xiàng) 結(jié)合上述例子，幫助學(xué)生理解數(shù)列及項(xiàng)的定義. ②中，這是一個(gè)數(shù)列，它的首項(xiàng)是“1”，“”是這個(gè)數(shù)列的第“3”項(xiàng)，等等 下面我們?cè)賮?lái)看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)是否有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式）對(duì)于上面的數(shù)列②，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 項(xiàng) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序號(hào) 1 2 3 4 5 這個(gè)數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)可用一個(gè)公式：來(lái)表示其對(duì)應(yīng)關(guān)系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng) 結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對(duì)應(yīng)關(guān)系 ⒋ 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列④； ⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是. ⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng). 數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)． 5.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。 反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．?dāng)?shù)列的分類： 1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分： 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列 無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6…是無(wú)窮數(shù)列 2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分： 遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。 常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。 擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 觀察：課本P33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列？ [范例講解] 課本P34-35例1 Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P36[練習(xí)]3、4、5 [補(bǔ)充練習(xí)]：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. 解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝； (4) 將數(shù)列變形為1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴＝n＋； (5) 將數(shù)列變形為12, －23, 34, －45, 56,……， ∴ ＝(－1)n(n＋1) Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：數(shù)列及有關(guān)定義，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)求一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式。 Ⅴ.課后作業(yè) 課本P38習(xí)題2.1A組的第1題 ●板書設(shè)計(jì) ●授后記 課題: 2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 授課類型：新授課 （第２課時(shí)） ●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與的關(guān)系 過(guò)程與方法：經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過(guò)程。 情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。 ●教學(xué)重點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng) ●教學(xué)難點(diǎn) 理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系 ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [復(fù)習(xí)引入] 數(shù)列及有關(guān)定義 Ⅱ.講授新課 數(shù)列的表示方法 1、 通項(xiàng)公式法 如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。 如數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ； 　　 的通項(xiàng)公式為 ； 　　 的通項(xiàng)公式為 ； 2、 圖象法 啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項(xiàng)數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng) 為縱坐標(biāo)，即以 為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)． 3、 遞推公式法 知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活用其來(lái)解決一些實(shí)際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7） 運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便。 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。 即；； 依此類推：（2≤n≤7） 對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要。 定義： 遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式 遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。 如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用 表示第一項(xiàng)，用 表示第一項(xiàng)，……，用 表示第 項(xiàng)，依次寫出成為 4、列表法 ．簡(jiǎn)記為 ． [范例講解] 例3 設(shè)數(shù)列滿足寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。 解：分析：題中已給出的第1項(xiàng)即，遞推公式： 解：據(jù)題意可知：， [補(bǔ)充例題] 例4已知， 寫出前5項(xiàng)，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P36練習(xí)2 [補(bǔ)充練習(xí)] 1．根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或n項(xiàng)）之間的關(guān)系. Ⅴ.課后作業(yè) 習(xí)題2。1A組的第4、6題 ●板書設(shè)計(jì) ●授后記