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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《空間直角坐標(biāo)系》教案18 新人教A版必修2 1.右手直角坐標(biāo)系 ①右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：軸、軸、軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指； ②已知點(diǎn)的坐標(biāo)作點(diǎn)的方法與步驟（路徑法）： 沿軸正方向（時(shí)）或負(fù)方向（時(shí)）移動(dòng)個(gè)單位，再沿軸正方向（時(shí)）或負(fù)方向（時(shí)）移動(dòng)個(gè)單位，最后沿軸正方向（時(shí)）或負(fù)方向（時(shí)）移動(dòng)個(gè)單位，即可作出點(diǎn) ③已知點(diǎn)的位置求坐標(biāo)的方法： 過作三個(gè)平面分別與軸、軸、軸垂直于，點(diǎn)在軸、軸、軸的坐標(biāo)分別是，則就是點(diǎn)的坐標(biāo) 2、在軸上的點(diǎn)分別可以表示為， 在坐標(biāo)平面，，內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為; 3、點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為； 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為； 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為； 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為； 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為； 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。 4. 已知空間兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 5．空間兩點(diǎn)間的距離公式 已知空間兩點(diǎn)， 則兩點(diǎn)的距離為 ， 特殊地,點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為; 5．以為球心,為半徑的球面方程為 特殊地,以原點(diǎn)為球心,為半徑的球面方程為 ★重難點(diǎn)突破★ 重點(diǎn):了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)和使用空間兩點(diǎn)間的距離公式 難點(diǎn):借助空間想象和通過與平面直角坐標(biāo)系的類比，認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)的對(duì)稱及坐標(biāo)間的關(guān)系 重難點(diǎn): 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置關(guān)系及空間兩點(diǎn)間的距離公式的使用 1．借助空間幾何模型進(jìn)行想象，理解空間點(diǎn)的位置關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系 問題1：點(diǎn)到軸的距離為 [解析]借助長(zhǎng)方體來思考，以點(diǎn)為長(zhǎng)方體對(duì)角線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為長(zhǎng)方體一條面對(duì)角線的長(zhǎng)度，其值為 2．將平面直角坐標(biāo)系類比到空間直角坐標(biāo)系 問題2：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，求的最小值 [解析]在空間直角坐標(biāo)系中，表示空間點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和，它的最小值就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)，所以的最小值為。 3．利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以解決的幾類問題 (1)判斷兩條相交直線是否垂直 (2)判斷空間三點(diǎn)是否共線 (3)得到一些簡(jiǎn)單的空間軌跡方程 ★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★ 考點(diǎn)1: 空間直角坐標(biāo)系 題型1: 認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系 [例1 ]（1）在空間直角坐標(biāo)系中，表示 （ ） A．軸上的點(diǎn) B．過軸的平面 C．垂直于軸的平面 D．平行于軸的直線 （2）在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示 A．在坐標(biāo)平面中，1，3象限的平分線 B．平行于軸的一條直線 C．經(jīng)過軸的一個(gè)平面 D．平行于軸的一個(gè)平面 【解題思路】認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系,可以類比平面直角坐標(biāo)系,如在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系中, 方程表示所有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的集合 [解析]（1）表示所有在軸上的投影是點(diǎn)的點(diǎn)的集合，所以表示經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的平面 （2）方程表示在任何一個(gè)垂直于軸的一個(gè)平面內(nèi)，1，3象限的平分線組成的集合 【名師指引】(1)類比平面直角坐標(biāo)系,可以幫助我們認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系 (2)要從滿足某些特殊條件的點(diǎn)的坐標(biāo)特征去思考問題。如： 經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的平面上的點(diǎn)都可表示為 題型2: 空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式與點(diǎn)的對(duì)稱問題 [例2 ] 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為 【解題思路】類比平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱關(guān)系，得到空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱關(guān)系 [解析]因點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱, 所以點(diǎn)和的豎坐標(biāo)相同,且在平面的射影關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故點(diǎn)的坐標(biāo)為, 又因點(diǎn)和關(guān)于平面對(duì)稱, 所以點(diǎn)坐標(biāo)為 【名師指引】解決空間點(diǎn)的對(duì)稱問題,一要借助空間想象,二要從它們?cè)谧鴺?biāo)平面的射影找關(guān)系,如借助空間想象,在例2中可以直接得出點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),故坐標(biāo)為 【新題導(dǎo)練】 1．已知正四棱柱的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則的坐標(biāo)為 。 [解析]正四棱柱過點(diǎn)A的三條棱恰好是坐標(biāo)軸， 的坐標(biāo)為（2，2，5） 2．平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的的坐標(biāo)為，對(duì)角線的交點(diǎn)為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 , 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 [解析]由已知得線段的中點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)也是,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得 ， 3．已知，記到軸的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為，則（ ） A． B． C． D． [解析]借助長(zhǎng)方體來思考, 、、分別是三條面對(duì)角線的長(zhǎng)度。，選C 考點(diǎn)2：空間兩點(diǎn)間的距離公式 題型：利用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題 X A Y B O Z P [例3 ] 如圖：已知點(diǎn)，對(duì)于軸正半軸上任意一點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 【解題思路】轉(zhuǎn)化為距離問題，即證明 [解析]設(shè) ， 對(duì)于軸正半軸上任意一點(diǎn)，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒成立， 則 即，解得： 所以存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，恒成立 【名師指引】在空間直角坐標(biāo)系中，利用距離可以證明垂直問題。此外，用距離還可以解決空間三點(diǎn)共線問題和求簡(jiǎn)單的點(diǎn)的軌跡。 【新題導(dǎo)練】 4．已知，當(dāng)兩點(diǎn)間距離取得最小值時(shí)，的值為 （ ） A．19 B． C． D． [解析] 當(dāng)時(shí)，取得最小值 5．已知球面，與點(diǎn)，則球面上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值與最小值分別是 。 [解析]球心，球面上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最大值與最小值分別是9和3 6．已知三點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使A、B、C共線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。 [解析] ， ， ， 因?yàn)椋?，若三點(diǎn)共線，有或， 若，整理得：，此方程無解； 若，整理得：，此方程也無解。 所以不存在實(shí)數(shù)，使A、B、C共線。 ★搶分頻道★ 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1．將空間直角坐標(biāo)系(右手系)畫在紙上時(shí)，我們通常將軸與軸，軸與軸所成的角畫成（ ） A． B． C． D． 解析：選B 2. 點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ） A． B． C． D． 解析：兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，選B 3. 三棱錐中，此三棱錐的體積為（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6 [解析] 兩兩垂直， 4．（xx山東濟(jì)寧模擬）設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則|AB|等于( ) A．10 B． C． D．38 [解析] A 點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為, 5．（xx年湛江模擬）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為， 關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則= [解析] ，， 6．正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），則正方體的體積是 [解析] 不共面，為正方體的一條對(duì)角線，，正方體的棱長(zhǎng)為4，體積為64 綜合提高訓(xùn)練 7．空間直角坐標(biāo)系中，到坐標(biāo)平面，，的距離分別為2，2，3的點(diǎn)有 A.1個(gè) B.2個(gè) C.4個(gè) D.8個(gè) 解析：8個(gè)。分別為（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2） 8．（xx山東昌樂模擬）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的形狀為（ ） A．正三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 [解析] C 9．(xx年佛岡一中模擬)已知空間直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的直線上的動(dòng)點(diǎn)，則兩點(diǎn)的最短距離是（ ） A． B． C．3 D． [解析]因?yàn)辄c(diǎn)B在平面內(nèi)的直線上，故可設(shè)點(diǎn)B為， 所以， 所以當(dāng)時(shí)，AB取得最小值，此時(shí)點(diǎn)B為。 B X A C Y D Z O Q P 10．如圖，以棱長(zhǎng)為的正方體的三條棱為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，點(diǎn)在正方體的棱上。 （1）當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 探究的最小值； （2）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)， 探究的最小值； [解析]由已知， （1）當(dāng)點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，取到最小值為，此時(shí)為的中點(diǎn)。 （2）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則， ，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，取到最小值。