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2019-2020年高中數學第二章函數2.2一次函數和二次函數2.2.3待定系數法同步訓練新人教B版必修 5分鐘訓練 1.已知一次函數y=kx+b的圖象如圖所示,則k、b的符號是( ) A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 答案：D 解析：觀察圖象可知k<0,b<0. 2.彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質量x(kg)的關系是一次函數,圖象如右圖所示,則彈簧不掛物體時的長度是( ) A.9 cm B.10 cm C.10.5 cm D.11 cm 答案：B 解析：設一次函數解析式為y=kx+b, 則 解得 所以y=0.5x+10. 當x=0時,y=10. 3.f(x)是正比例函數,且f(-2)=-1,則f(x)=______________;g(x)是反比例函數,且g(-2)=-1,則g(x)=______________. 答案：x 解析：設f(x)=k1x(k1≠0),g(x)=(k2≠0), 由題意可得-1=k1(-2),-1=. 所以k1=,k2=2. 故f(x)=x,g(x)=. 4.用待定系數法求二次函數的解析式時,解析式的設法有三種形式,即(1)一般式: ____________; (2)零點式: ____________;(3)頂點式:____________. 答案：(1)y=ax2+bx+c(a≠0) (2)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (3)y=a(x+k)2+h(a≠0) 10分鐘訓練 1.已知一次函數y=kx+b,當x增加3時,y減小2,則k的值是( ) A. B. C. D. 答案：A 2.已知二次函數y=ax2+bx+c,如圖所示,若a<0,c>0,那么它的圖象大致是( ) 答案：D 解析：∵a<0, ∴二次函數的圖象開口向下,排除A、B. 又∵c>0,圖象不過原點,∴排除C. 3.如圖所示,二次函數y=x2-4x+3的圖象交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,則△ABC的面積為( ) A.6 B.4 C.3 D.1 答案：C 解析：由函數圖象可知C點坐標為(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3. 所以A、B兩點之間的距離為2,那么△ABC的面積為3. 4.二次函數y=x2+bx+c的圖象頂點是(-1,-3),則b=____________,c=____________. 答案：2 -2 解析：頂點橫坐標x==-1,得b=2. 縱坐標=-3,得c=-2. 5.已知f(x)是一次函數,若f［f(x)］=9x+3,則f(x)= ____________. 答案：3x+或-3x 解析：設f(x)=ax+b. f［f(x)］=a2x+ab+b=9x+3, 比較系數a2=9,ab+b=3. 解得 所以f(x)=3x+或f(x)=-3x. 6.二次函數圖象經過A(0,2)和B(5,7)兩點,且它的頂點在直線y=-x上.求該二次函數的解析式. 解：設二次函數的解析式為y=a(x-k)2+h(a≠0). 因函數的頂點在直線y=-x上, 所以h=-k. ① 又圖象經過A、B兩點, 所以 ② 由①②,解得k1=,k2=2. 當k1=時,h=,a=,y=(x+)2+; 當k2=2時,h=-2,a=1,y=(x-2)2-2. 所以二次函數的解析式為y=(x+)2+或y=(x-2)2-2. 30分鐘訓練 1.若(2,5),(4,5)是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點,那么它的對稱軸為直線( ) A.x= B.x=1 C.x=2 D.x=3 答案：D 解析：(2,5)與(4,5)兩點關于直線x=3對稱. 2.若拋物線y=x2-(m-2)x+m+3的頂點在y軸上,則m的值為( ) A.-3 B.3 C.-2 D.2 答案：D 解析：由=0,得m=2. 3.(探究題)已知反比例函數y=的圖象如圖所示,則二次函數y=2kx2-x+k2的圖象大致為( ) 答案：D 解析：由反比例函數圖象,可知k<0. 所以二次函數的圖象開口向下,對稱軸為x=<0,故選D. 4.已知f(x)=則下列函數的圖象錯誤的是( ) 答案：C 解析：函數f(x)的圖象如圖所示. 借助函數圖象的平移、對稱、翻折等知識求解. 5.二次函數y=x2+bx+c的圖象如圖所示,則對稱軸是_____________,當函數值y<0時,對應x的取值范圍是_____________. 答案：x=-1 -31時,y>0; 當-3y2成立的x的取值范圍是_____________. 答案：x<-2或x>8 解析：由條件可知,當x<-2或x>8時,y1的圖象在y2的圖象的上方,則使y1>y2成立的x的取值范圍是x<-2或x>8. 7.(1)f(x)是一次函數,且其圖象通過A(-2,0)、B(0,-4)兩點,則f(x)= _____________. (2)f(x)是二次函數,方程f(x)=0的兩根是x1=-2,x2=3,且f(0)=-3,則f(x)= _____________. 答案：(1)-2x-4 (2)(x+2)(x-3) 解析：(1)設f(x)=kx+b(k≠0), 由題意得 解得 所以f(x)=-2x-4. (2)設f(x)=a(x+2)(x-3)(a≠0), 由f(0)=-3=a(0+2)(0-3),得a=. 所以f(x)=(x+2)(x-3). 8.已知二次函數滿足f(3x+1)=9x2-6x+5,則f(x)= _____________. 答案：x2-4x+8 解析：設f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 則f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5. 比較系數,得 ∴f(x)=x2-4x+8. 9.分解因式:3x2+5xy-2y2+x+9y-4. 解：∵3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y), ∴原式分解后的因式應為(3x-y+m)(x+2y+n), 即3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+m)(x+2y+n)=3x2+5xy-2y2+(m+3n)x+(2m-n)y+mn. 比較系數,得 ∴3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-1). 10.已知二次函數當x=4時有最小值-3,且它的圖象與x軸兩交點間的距離為6,求這個二次函數的解析式. 解法一：設二次函數解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),由條件,可得拋物線的頂點為(4,-3),且過點(1,0)與(7,0)兩點, 將三個點的坐標代入,得 ∴所求二次函數解析式為y=. 解法二：∵拋物線與x軸的兩個交點坐標是(1,0)與(7,0), ∴設二次函數的解析式為y=a(x-1)(x-7),把頂點(4,-3)代入,得-3=a(4-1)(4-7). 解得a=. ∴二次函數解析式為y=(x-1)(x-7), 即y=. 解法三：∵拋物線的頂點為(4,-3),且過點(1,0). ∴設二次函數解析式為y=a(x-4)2-3. 將(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3, 解得a=. ∴二次函數的解析式為y=(x-4)2-3,即y=.