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2019-2020年高三上學(xué)期第四次同步考試 理科數(shù)學(xué) 含答案 一．選擇題：本大題共10題，每小題5分，共50分． 1. 已知集合，，則為（ ） A． B. C. D. 2. 等差數(shù)列中，如果，，則數(shù)列前9項(xiàng)的和為等 ( ) A. 297 B. 144 C. 99 D. 66 3. 已知,滿足約束條件,若的最小值為,則 （　?。? A． B． C． D． 4. 下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是 ( ) A．命題“若則”的逆否命題為真命題. B．函數(shù)的定義域?yàn)? C．命題“使得”的否定是：“均有” . D．“”是“直線與垂直”的必要不充分條件. 5. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)公比，則( ) A.50 B.35 C.55 D.46 6. 若sin2x、sinx分別是sinθ與cosθ的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，則cos2x的值為（ ） A． B． C． D． 7. 函數(shù)的圖象只可能是（ ） 8. 若是的重心，分別是角的對(duì)邊，若 則角（ ） A、 B、 C、 D、 9. 已知函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn),則的值為（　　） A． B． C． D． 10. 已知的最大值為（ ） A. B. C. D. 二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分. 11. 若，，，則的值為 12. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 . 13. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且是以3為周期的奇函數(shù)，,,,且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 14. 已知函數(shù)，函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 15. 設(shè)集合，如果滿足：對(duì)任意，都存在,使得，那么稱為集合的一個(gè)聚點(diǎn)，則在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以為聚點(diǎn)的集合有 （寫出所有你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)）． 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16. 已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域； （2）若關(guān)于的不等式的解集是，求的取值范圍． 17. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是與的等比中項(xiàng). （1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）在（Ⅱ）的條件下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 18. 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,且滿足 （1）求角的大小； （2） 若，邊上的中線的長(zhǎng)為，求的面積． 19. 設(shè)函數(shù)，若在點(diǎn)處的切線斜率為． （Ⅰ）用表示； （Ⅱ）設(shè)，若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 20. 已知函數(shù)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、． （Ⅰ）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式； （Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． （Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)，，使得不等式成立，求的最大值． 21. 下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第個(gè)圖形中有個(gè)正三角形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為. 圖1 圖2 圖3 圖4 （1）求出,,,; （2）找出與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式； （3）求證：(). 參考答案與解析 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A C A C D D A 11. 12. 13. 14. 15. （2）（3） 10. 【答案】A 【解析】，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)時(shí)，有最大值為，選A. 14.【答案】 【解析】當(dāng)時(shí),,又當(dāng)時(shí),,有,因,有,要條件成立,就要或,即或,故 15.【答案】（2）（3） 【解析】試題分析：（1）對(duì)于某個(gè)a＜1，比如a=0.5，此時(shí)對(duì)任意的x∈Z+∪Z-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說(shuō)不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是Z+∪Z-的聚點(diǎn)； （2）集合{x|x∈R，x≠0}，對(duì)任意的a，都存在x=（實(shí)際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點(diǎn)； （3）集合中的元素是極限為0的數(shù)列，對(duì)于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，∴0是集合的聚點(diǎn)． （4）集合中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項(xiàng)0 之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的時(shí)候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x， ∴0不是集合的聚點(diǎn)． 故答案為（2）（3）． 考點(diǎn)：新定義問(wèn)題，集合元素的性質(zhì)，數(shù)列的性質(zhì)。 點(diǎn)評(píng)：中檔題，理解新定義是正確解題的關(guān)鍵之一，能正確認(rèn)識(shí)集合中元素---數(shù)列的特征，是正確解題的又一關(guān)鍵。 16. （Ⅰ）由題設(shè)知：，不等式的解集是以下不等式組解集的并集： ，或，或 解得函數(shù)的定義域?yàn)椋? （Ⅱ）不等式即， 時(shí)，恒有， 不等式解集是R，的取值范圍是 17.解：（Ⅰ）即- 當(dāng)時(shí)，，∴ 當(dāng)時(shí)， ∴ 即 ∵ ∴ ,∴數(shù)列是等差數(shù)列 由得 ∴數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列 ∴ ∴ （Ⅱ） ∴ ① 兩邊同乘以得 ② ①-②得 18.解:(1)因?yàn)?由余弦定理有 故有,又 即： …………………5分 （2）由正弦定理： …………………6分 可知： …………………9分 ，設(shè) ………………10分 由余弦定理可知： …………………11分 ……………………12分 19.解：（Ⅰ），依題意有：； （Ⅱ）恒成立． 由恒成立，即． ， ①當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減，當(dāng)，， 單調(diào)遞增，則，不符題意； ②當(dāng)時(shí)， ， （1）若，，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，， 單調(diào)遞增，則，不符題意； （2）若， 若，，，，單調(diào)遞減， 這時(shí)，不符題意； 若，，，，單調(diào)遞減，這時(shí)，不符題意； 若，，，，單調(diào)遞增；當(dāng)，， 單調(diào)遞減，則，符合題意； 綜上，得恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 20.【答案】（Ⅰ）函數(shù)的表達(dá)式為． （Ⅱ）存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ． （Ⅲ）的最大值為． 【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、， ， ∴切線的方程為：， 又切線過(guò)點(diǎn)， 有，即， （1） 同理，由切線也過(guò)點(diǎn)，得．（2） 由（1）、（2），可得是方程的兩根， （ * ） ， 把（ * ）式代入,得, 因此，函數(shù)的表達(dá)式為． （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，， ＝，即＝， 化簡(jiǎn)，得， ，． （3） 把（*）式代入（3），解得． 存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ． （Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)， ， 則． 依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立， ， 即對(duì)一切的正整數(shù)恒成立． ， ， ．由于為正整數(shù)，． 又當(dāng)時(shí)，存在，，對(duì)所有的滿足條件． 因此，的最大值為． 解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度最小時(shí)， 得到的最大值，即是所求值． ，長(zhǎng)度最小的區(qū)間為 當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得， 解得．后面解題步驟與解法相同（略）． 21.（1）12,27,48,75. （2）， ． （3）利用“放縮法”。． 【解析】試題分析：（1）由題意有 ， ， ， ，． （2）由題意及（1）知，， 即，所以， ，， ， 5分 將上面?zhèn)€式子相加，得： 6分 又，所以． 7分 （3） ∴． 9分 當(dāng)時(shí)，，原不等式成立． 10分 當(dāng)時(shí)，，原不等式成立． 11分 當(dāng)時(shí)， ， 原不等式成立． 13分 綜上所述，對(duì)于任意，原不等式成立． 14分