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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五第二講 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例教案 理 類型一 抽樣方法 抽樣方法主要有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種，這三種抽樣方法各自適用不同特點的總體，但無論哪種抽樣方法，每一個個體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量和總體容量的比值． [例1]　(xx年高考山東卷)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為(　　) A．7　　　　　B．9 C．10 D．15 [解析]　結(jié)合系統(tǒng)抽樣的概念、等差數(shù)列的概念及通項公式求解． 由系統(tǒng)抽樣的特點知：抽取號碼的間隔為＝30，抽取的號碼依次為9，39，69，…，939.落入?yún)^(qū)間[451，750]的有459，489，…，729，這些數(shù)構(gòu)成首項為459，公差為30的等差數(shù)列，設(shè)有n項，顯然有729＝459＋(n－1)30，解得n＝10.所以做問卷B的有10人． [答案]　C 跟蹤訓(xùn)練 (xx年高考江蘇卷)某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取________名學(xué)生． 解析：抽取比例與學(xué)生比例一致． 設(shè)應(yīng)從高二年級抽取x名學(xué)生，則x∶50＝3∶10.解得x＝15. 答案：15 類型二 用樣本估計總體 1．頻率分布直方圖 (1)各矩形的面積和為1； (2)縱軸表示的不是頻率而是頻率/組距； (3)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為各組中值與各組頻率積的和； (4)眾數(shù)為最高矩形底邊中點的坐標． 2．莖葉圖：沒有數(shù)據(jù)的流失． 3．樣本平均數(shù)：x＝(x1＋x2＋…＋xn) 樣本方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…)2]． 4．眾數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)(或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù))． 5．中位數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取當中兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． 例2]　(1)(xx年高考山東卷)如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5，26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5，21.5)，[21.5，22.5)，[22.5，23.5)，[23.5，24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知樣本中平均氣溫低于22.5 ℃的城市個數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5 ℃的城市個數(shù)為________． [解析]　結(jié)合直方圖和樣本數(shù)據(jù)的特點求解． 最左邊兩個矩形面積之和為0.101＋0.121＝0.22，總城市數(shù)為110.22＝50，最右面矩形面積為0.181＝0.18，500.18＝9. [答案]　9 (2)(xx年高考陜西卷)從甲、乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)．設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲、乙，中位數(shù)分別為m甲、m乙，則(　　) A．甲<乙，m甲>m乙 B．甲<乙，m甲乙，m甲>m乙 D．甲>乙，m甲0，因此其回歸直線方程可能為＝－1.5x＋2. 答案：B 類型四 獨立性檢驗 22列聯(lián)表 一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為： 構(gòu)造一個隨機變量： K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)． [例4]　(xx年高考遼寧卷)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖： 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性． (1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？ (2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率． 附：χ2＝ [解析]　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而完成22列聯(lián)表如下： 將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得 χ2＝ ＝＝≈3.030.因為3.030<3.841，所以我們沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1，2，3，bj表示女性，j＝1，2. Ω由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7個基本事件組成，因而P(A)＝. 跟蹤訓(xùn)練 一個車間為了規(guī)定工時定額．需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗．測得的數(shù)據(jù)如下： (1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？ (2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程； (3)根據(jù)求出的回歸直線方程，預(yù)測加工200個零件所用的時間為多少？ 解析：(1)列出下表： 由于r＝0.999 8>0.75，因此x與y之間有很強的線性相關(guān)關(guān)系，因而可求回歸直線方程． (2)設(shè)所求的回歸直線方程為＝x＋，則有 因此，所求的回歸直線方程為＝0.668x＋54.96. (3)這個回歸直線方程的意義是當x每增大1時，y的值約增加0.668，而54.96是y不隨x增加而變化的部分．因此，當x＝200時，y的估計值為＝0.668200＋54.96＝188.56≈189. 因此，加工200個零件所用的工時約為189分． 析典題（預(yù)測高考） 高考真題 【真題】　(xx年高考陜西卷)假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機抽取100個進行測試，結(jié)果統(tǒng)計如圖所示： (1)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率； (2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個產(chǎn)品已使用了200小時，試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率． 【解析】　(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的頻率為＝，用頻率估計概率，所以甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率為. (2)根據(jù)抽樣結(jié)果，壽命大于200小時的產(chǎn)品共有75＋70＝145(個)，其中甲品牌產(chǎn)品是75個，所以在樣本中，壽命大于200小時的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是＝，用頻率估計概率，所以已使用了200小時的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為. 【名師點睛】　本題通過直方圖考查頻率的求解及頻率與概率間的關(guān)系，著重考查讀圖、識圖能力，難度中等．解答本題時要注意甲、乙兩圖中縱軸含義為“頻數(shù)”． 考情展望 概率統(tǒng)計部分是高考命題熱點，各種題型都有，主要有兩個方面：一是在選擇填空中考查抽樣方法，用樣本估計總體、回歸分析以及獨立性檢驗等基本問題．二是在解答題中，考查概率與統(tǒng)計中內(nèi)容的綜合問題，應(yīng)用性較強． 名師押題 【押題】　第30屆夏季奧運會于xx年7月27日在倫敦舉行，當?shù)啬硨W(xué)校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖(單位：cm)： 若身高在180 cm以上(包括180 cm)定義為“高個子”，身高在180 cm以下(不包括180 cm)定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔任“禮儀小姐”． (1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？ (2)若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望． 【解析】　(1)根據(jù)莖葉圖可知，這20名志愿者中有“高個子”8人，“非高個子”12人， 用分層抽樣的方法從中抽取5人，則每個人被抽中的概率是＝， 所以應(yīng)從“高個子”中抽8＝2人，從“非高個子”中抽12＝3人． 用事件A表示“至少有一名‘高個子’被選中”，則它的對立事件A表示“沒有一名‘高個子’被選中”，則P(A)＝1－P(A)＝1－＝1－＝.因此，至少有一人是“高個子”的概率是. 2)依題意知，所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 因此，X的分布列如下： 0 1 2 3 所以X的數(shù)學(xué)期望EX＝0＋1＋2＋3＝.