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2019-2020年高三二模數(shù)學(xué)（文）試題分類匯編9：圓錐曲線 含答案 一、選擇題 ．（上海市奉賢區(qū)xx高考二模數(shù)學(xué)（文）試題 ）直線與雙曲線的漸近線交于兩點,設(shè)為雙曲線上的任意一點,若(為坐標(biāo)原點),則下列不等式恒成立的是 （　?。? A． B． C． D． ．（上海市長寧、嘉定區(qū)xx高考二模數(shù)學(xué)（文）試題）過點作直線與雙曲線交于 （　?。? A．B兩點,使點P為AB中點,則這樣的直線 （　　） A．存在一條,且方程為 B．存在無數(shù)條 C．存在兩條,方程為 D．不存在 二、填空題 ．（上海市徐匯、松江、金山xx高三4月學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓內(nèi)有兩點為橢圓上一點,則的最大值為_______. ．（上海市普陀區(qū)xx高三第二學(xué)期（二模）質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（文）試題）若雙曲線:的焦距為,點在的漸近線上,則的方程為_________. ．（上海市浦東區(qū)xx高考二模數(shù)學(xué)（文）試題 ）若雙曲線的漸近線方程為,它的一個焦點是,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____. ．（上海市閔行區(qū)xx高三4月質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文)試題）設(shè)雙曲線的左右頂點分別為、 ,為雙曲線右支上一點,且位于第一象限,直線、的斜率分別為、,則的值為_______________. ．（上海市靜安、楊浦、青浦、寶山區(qū)xx高三4月高考模擬數(shù)學(xué)(文)試題）已知雙曲線的方程為,則此雙曲線的焦點到漸近線的距離為__________. ．（上海市黃浦區(qū)xx4月高考（二模）模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知點是雙曲線上一點,雙曲線兩個焦點間的距離等于4, 則該雙曲線方程是___________. ．（上海市虹口區(qū)xx高三（二模）數(shù)學(xué)（文）試卷）設(shè)、是橢圓的兩個焦點,點在橢圓上,且滿足,則的面積等于____________. ．（上海市虹口區(qū)xx高三（二模）數(shù)學(xué)（文）試卷）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點,且漸近線方程為,則此雙曲線方程為______________________. ．（上海市奉賢區(qū)xx高考二模數(shù)學(xué)（文）試題 ）已知橢圓:,左右焦點分別為,過的直線交橢圓于 兩點,則的最大值為_______ 三、解答題 ．（上海市閘北區(qū)xx高三第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文)試卷）本題滿分18分,第1小題滿分8分,第2小題滿分10分 在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線為到定點的距離與到定直線的距離相等的動點的軌跡,曲線是由曲線繞坐標(biāo)原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的. (1)求曲線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),以及曲線的方程; (2)過定點的直線交曲線于、兩點,點是點關(guān)于原點的對稱點.若,證明:. ．（上海市徐匯、松江、金山xx高三4月學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)（文）試題）本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分. 已知雙曲線的中心在原點,是它的一個頂點,是它的一條漸近線的一個方向向量. (1) 求雙曲線的方程; (2) 若過點()任意作一條直線與雙曲線交于兩點 (都不同于點), 求的值; (3) 對于雙曲線G:,為它的右頂點,為雙曲線G上的兩點(都不同于點),且,求證:直線與軸的交點是一個定點. ．（上海市普陀區(qū)xx高三第二學(xué)期（二模）質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)（文）試題）本大題共有3小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分 ,第3小題滿分6分. 在平面直角坐標(biāo)系中,方向向量為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點,與橢圓相交于、兩點 (1)若點在軸的上方,且,求直線的方程; (2)若,,求△的面積; (3)當(dāng)(且)變化時,試求一點,使得直線和的斜率之和為. 第22題 ．（上海市浦東區(qū)xx高考二模數(shù)學(xué)（文）試題 ）本題共有3個小題,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分6分,第(3)小題滿分8分. (1)設(shè)橢圓:與雙曲線:有相同的焦點,是橢圓與雙曲線的公共點,且的周長為,求橢圓的方程; 我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”. (2)如圖,已知“盾圓”的方程為.設(shè)“盾圓”上的任意一點到的距離為,到直線的距離為,求證:為定值; (3)由拋物線弧:()與第(1)小題橢圓弧:()所合成的封閉曲線為“盾圓”.設(shè)“盾圓”上的兩點關(guān)于軸對稱,為坐標(biāo)原點,試求面積的最大值. x y o 3 浦東新區(qū)xx高考預(yù) ．（上海市閔行區(qū)xx高三4月質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文)試題）本題共有2個小題,第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分8分. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過兩點. (1)求橢圓的方程; (2)若平行于的直線在軸上的截距為,直線交橢圓于兩個不同點,直線與的斜率分別為,求證:. 解: ．（上海市靜安、楊浦、青浦、寶山區(qū)xx高三4月高考模擬數(shù)學(xué)(文)試題）本題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分. 已知橢圓. (1)直線過橢圓的中心交橢圓于兩點,是它的右頂點,當(dāng)直線的斜率為時, 求△的面積; (2)設(shè)直線與橢圓交于兩點,且線段的垂直平分線過橢圓與軸 負半軸的交點,求實數(shù)的值. ．（上海市黃浦區(qū)xx4月高考（二模）模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小 題滿分6分. 設(shè)拋物線的焦點為,經(jīng)過點的動直線交拋物線于 兩點,且. (1)求拋物線的方程; (2)若直線平分線段,求直線的傾斜角. (3)若點是拋物線的準(zhǔn)線上的一點,直線的斜率分別為.求證:當(dāng)時,為定值. ．（上海市虹口區(qū)xx高三（二模）數(shù)學(xué)（文）試卷）已知拋物線:,直線交此拋物線于不同的兩個點、. (1)當(dāng)直線過點時,證明為定值; (2)當(dāng)時,直線是否過定點?若過定點,求出定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由; (3)記,如果直線過點,設(shè)線段的中點為,線段的中點為.問是否存在一條直線和一個定點,使得點到它們的距離相等?若存在,求出這條直線和這個定點;若不存在,請說明理由. ．（上海市奉賢區(qū)xx高考二模數(shù)學(xué)（文）試題 ）動圓過定點,且與直線相切. 設(shè)圓心的軌跡方程為 (1)求; (2)曲線上一定點,方向向量的直線(不過P點)與曲線交與A、B兩點,設(shè)直線PA、PB斜率分別為,,計算; (3)曲線上的一個定點,過點作傾斜角互補的兩條直線分別與曲線交于兩點,求證直線的斜率為定值; ．（上海市長寧、嘉定區(qū)xx高考二模數(shù)學(xué)（文）試題）(本題滿分18分,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分) 如圖,已知點,直線:,為平面上的動點,過點作的垂線,垂足為點,且. (1)求動點的軌跡的方程; (2)(文)過軌跡的準(zhǔn)線與軸的交點作方向向量為的直線與軌跡交于不同兩點、,問是否存在實數(shù)使得?若存在,求出的范圍;若不存在,請說明理由; (3)(文)在問題(2)中,設(shè)線段的垂直平分線與軸的交點為,求的取值范圍. 上海市16區(qū)xx高三二模數(shù)學(xué)（文）試題分類匯編9：圓錐曲線參考答案 一、選擇題 B D 二、填空題 ; ; ; ; ; 1; ; (每空2分) 三、解答題 解(1)設(shè),由題意,可知曲線為拋物線,并且有 , 化簡,得拋物線的方程為:. 令,得或, 令,得或, 所以,曲線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為、和. 點到的距離為, 所以是以為焦點,以為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為:. (2)設(shè),,由題意知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,代入得 ,. 由得 , . 故. 本題共有3個小題,第(1)小題滿分4分,第(2)小題滿分6分, 第(3)小題滿分6分. 解:(1)設(shè)雙曲線C的方程為,則, 又 ,得,所以,雙曲線C的方程為 (2) 當(dāng)直線垂直于軸時,其方程為,的坐標(biāo)為(,)、(,), ,所以=0 當(dāng)直線不與軸垂直時,設(shè)此直線方程為, 由得. 設(shè),則, , 故 ++=0 .綜上,=0 (3) 設(shè)直線的方程為:, 由,得, 設(shè),則, , 由,得, 即, , 化簡得, 或 (舍), 所以,直線過定點(,0) 【解】 (1)由題意,得,所以 且點在軸的上方,得 , 直線:,即直線的方程為 (2)設(shè)、,當(dāng)時,直線: 將直線與橢圓方程聯(lián)立, 消去得,,解得, ,所以 (3)假設(shè)存在這樣的點,使得直線和的斜率之和為0,由題意得, 直線:() ,消去得, 恒成立, , 所以 解得,所以存在一點,使得直線和的斜率之和為0 解:(1)由的周長為得, 橢圓與雙曲線:有相同的焦點,所以, 即,,橢圓的方程; (2)證明:設(shè)“盾圓”上的任意一點的坐標(biāo)為, 當(dāng)時,,, 即; 當(dāng)時,,, 即; 所以為定值; (3)因為“盾圓”關(guān)于軸對稱,設(shè)于是, 所以面積, 按點位置分2種情況: ①當(dāng)在拋物線弧()上時, 設(shè)所在的直線方程(), 聯(lián)立,得,同理, 面積,所以; ②當(dāng)在橢圓弧上時, 于是聯(lián)立,得; 即,由, 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?所以, 綜上等腰面積的最大值為. [解](1)設(shè)橢圓的方程為 將代入橢圓的方程,得 理2分,文3分 解得,所以橢圓的方程為 理2分,文3分 設(shè)點的坐標(biāo)為,則. 又是上的動點,所以,得,代入上式得 , 故時,.的最大值為. 理2分 (2)因為直線平行于,且在軸上的截距為,又,所以直線的方程為.由 得 文理2分 設(shè)、,則. 又 故.文理2分 又, 所以上式分子 文理2分 故.文2分 所以直線與直線的傾斜角互補.理2分 本題共有2小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分 . 解:(1)依題意,,, 由,得, 設(shè),∴; (2)如圖,由得, 依題意,,設(shè),線段的中點, 則,,, 由,得,∴ 本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分. 解:(1)設(shè)直線的方程為,代入,可得 (*) 由是直線與拋物線的兩交點, 故是方程(*)的兩個實根, ∴,又,所以,又,可得 所以拋物線的方程為 【另法提示:考慮直線l垂直于x軸這一特殊情形,或設(shè)直線l方程為點斜式】 (2)由(1)可知, 設(shè)點是線段的中點,則有 ,, 由題意知點在直線上, ∴,解得或, 設(shè)直線的傾斜角為,則或,又, 故直線的傾斜角為或 【另法提示:設(shè)直線l方程為點斜式】 (3),可得, 由(2)知又, ∴ , 所以為定值 【另法提示:分直線l斜率存在與不存在兩種情形討論,斜率存在時設(shè)直線l方程為點斜式】 解:(1)過點與拋物線有兩個交點,可知其斜率一定存在,設(shè),其中(若時不合題意),由得, 注:本題可設(shè),以下同. (2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),其中(若時不合題意). 由得. ,從而 假設(shè)直線過定點,則,從而,得,即,即過定點 當(dāng)直線的斜率不存在,設(shè),代入得,,,從而,即,也過. 綜上所述,當(dāng)時,直線過定點 (3)依題意直線的斜率存在且不為零,由(1)得點的縱坐標(biāo)為,代入得,即 設(shè),則消得 由拋物線的定義知存在直線,點,點到它們的距離相等 (文) (1)過點作直線的垂線,垂足為,由題意知:, 即動點到定點與定直線的距離相等, 由拋物線的定義知,點的軌跡為拋物線 其中為焦點,為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為; (2)證明:設(shè) A()、B() 由題得直線的斜率 過不過點P的直線方程為 由得 則. == ==0 (3)設(shè), == (***) 設(shè)的直線方程為 由 , 則 15分 同理,得 代入(***)計算得: (本題滿分18分,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分) (文)(1)設(shè),由題意,,,, ,, 由,得, 化簡得.所以,動點的軌跡的方程為 (2)軌跡為拋物線,準(zhǔn)線方程為,即直線,所以, 當(dāng)時,直線的方程為,與曲線只有一個公共點,故 所以直線的方程為,由 得, 由△,得 設(shè),,則,, 所以,, 若,則,即, ,, 解得.所以 (3)由(2),得線段的中點為,線段的垂直平分線的一個法向量為,所以線段的垂直平分線的方程為, 令,, 因為,所以. 所以的取值范圍是