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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2.1 實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義二教案 北師大選修1-1 教學(xué)過程： 一、主要知識(shí)點(diǎn)： 1. 基本方法： （1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y＝f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù). （2）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間. （3）判別f（x0）是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值. （4）求函數(shù)f（x）的極值的步驟：①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）. ②求方程f（x）＝0的根. ③用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格. 檢查f（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無極值. （5）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值. 2、基本思想：學(xué)習(xí)的目的，就是要會(huì)實(shí)際應(yīng)用，本講主要是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)，思想方法以及能力. 解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù). 把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再化為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解. 根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化區(qū)間，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，是這部分的主要技巧． 二、典型例題 例1、在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？ 思路一：設(shè)箱底邊長為x cm，則箱高cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數(shù)：，從求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰好是原正方形邊長的，這個(gè)結(jié)論是否具有一般性？ 變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個(gè)無蓋的箱子，箱子的高是這個(gè)正方形邊長的幾分之幾時(shí)，箱子容積最大？ 提示：答案：． 評注：這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識(shí)求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧. 而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡單，對于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，或它們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值. 可見，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間. 例2、（xx年福建卷）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量為y（升），關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為： 已知甲、乙兩地相距100千米． （I）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ （II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)， 要耗油（升）． 答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升． （II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升， 依題意得 令得 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)． 當(dāng)時(shí)，取到極小值 因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值． 答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升． 例3、求拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn). 解：設(shè)為拋物線上一點(diǎn)， 則. 與同時(shí)取到極值. 令. 由得是唯一的駐點(diǎn). 當(dāng)或時(shí)，是的最小值點(diǎn)，此時(shí). 即拋物線上與點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是（2，2）. 例4、煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的煙塵濃度最小. 解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8并設(shè)AC＝ ， 于是點(diǎn)C的煙塵濃度為， 其中為比例系數(shù). 令，有， 即. 解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點(diǎn). 由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得， 在惟一駐點(diǎn)處，濃度最小，即在AB間距A處處的煙塵濃度最小. 例5、已知拋物線y＝－x2+2，過其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程. 解：設(shè)切點(diǎn)P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x， ∴k1＝－2x0. ∴l(xiāng)的方程為y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2， ∴三角形的面積為S＝（x02+2）＝. ∴S′＝. 令S′＝0，得x0＝ （∵x0＞0）. 　 ∴當(dāng)0＜x0＜時(shí)，S′＜0;　當(dāng)x0＞時(shí)，S′＞0. ∴x0＝時(shí)，S取極小值∵只有一個(gè)極值， ∴x＝時(shí)S最小，此時(shí)k1＝－，切點(diǎn)為（，）. ∴l(xiāng)的方程為y　－＝－ （x－），即2x+3y－8＝0. 例6、在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。? 解：設(shè)∠BCD＝Q，則BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝， ∴AC＝50－40cotθ 設(shè)總的水管費(fèi)用為f（θ），依題意，有 f（θ）＝3a（50－40cotθ）+5a ＝150a+40a ∴f′（θ）＝40a 令f′（θ）＝0，得cosθ＝ 根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)cosθ＝時(shí)，函數(shù)取得最小值， 此時(shí)sinθ＝，∴cotθ＝， ∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省. 例7、（xx年江蘇卷）請您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？ 解：設(shè)OO1為，則 由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：， 故底面正六邊形的面積為： ＝，（單位：） 帳篷的體積為： （單位：） 求導(dǎo)得． 令，解得（不合題意，舍去），， 當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)． ∴當(dāng)時(shí)，最大． 答：當(dāng)OO1為時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為． 點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力． 三、小結(jié) ： ⑴解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義． ⑵根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較． ⑶相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單 四、課后作業(yè)：