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2019-2020年高考數學專題復習導練測 第四章 第4講 函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象及性質 理 新人教A版 一、選擇題 1．已知函數f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期為π，則該函數的圖像(　　) A．關于點對稱 B．關于直線x＝對稱 C．關于點對稱 D．關于直線x＝對稱 解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin，因為f＝0，所以函數圖像關于點中心對稱，故選A. 答案 A 2.要得到函數的圖像，只要將函數的圖像（ ） A. 向左平移1個單位 B. 向右平移1個單位 C. 向左平移 個單位 D.向右平移 個單位 解析 因為,所以將向左平移個單位,故選C. 答案 C 3. 函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象對應的函數解析式為 (　　)． A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin D．y＝sin 解析　由所給圖象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，則f(x)＝sin的圖象向右平移個單位后得到的圖象對應的函數解析式為y＝sin＝sin，故選D. 答案　D 4．將函數y＝sin 2x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則φ的最小值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　將函數y＝sin 2x的圖象向左平移φ個單位，得到函數y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的圖象，由題意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值為. 答案　C 5． 如圖，為了研究鐘表與三角函數的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置P(x，y)．若初始位置為P0，當秒針從P0(注：此時t＝0)正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數關系為 (　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析　由題意可得，函數的初相位是，排除B，D.又函數周期是60(秒)且秒針按順時針旋轉，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故選C. 答案　C 6．電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的圖像如圖所示，則當t＝秒時，電流強度是(　　) A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安 解析 由函數圖像知A＝10，＝－＝. ∴T＝＝，∴ω＝100π. ∴I＝10sin(100πt＋φ)． 又∵點在圖像上， ∴10＝10sin ∴＋φ＝，∴φ＝， ∴I＝10sin . 當t＝時，I＝10sin ＝－5. 答案 A 二、填空題 7．已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖像上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2，則ω＝________. 解析 由已知兩相鄰最高點和最低點的距離為2，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝＝2，∴T＝4，∴ω＝＝. 答案 8．已知函數f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 解析　∵f(x)與g(x)的圖象的對稱軸完全相同，∴f(x)與g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范圍是. 答案　 9．已知函數f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，則φ的值為________． 解析　令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0時，有－≤x≤－，此時函數單調遞增，若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，則必有 解得故φ＝. 答案　 10．在函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一個周期內，當x＝時有最大值，當x＝時有最小值－，若φ∈，則函數解析式f(x)＝________. 解析　首先易知A＝，由于x＝時f(x)有最大值，當x＝時f(x)有最小值－，所以T＝2＝，ω＝3.又sin＝，φ∈，解得φ＝，故f(x)＝sin. 答案　sin 三、解答題 11．已知函數f(x)＝sin2x＋2cos2x. (1)將f(x)的圖像向右平移個單位長度，再將周期擴大一倍，得到函數g(x)的圖像，求g(x)的解析式； (2)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間． 解 (1)依題意f(x)＝sin2x＋2 ＝sin2x＋cos2x＋1 ＝2sin＋1， 將f(x)的圖像向右平移個單位長度，得到函數f1(x)＝2sin＋1＝2sin2x＋1的圖像，該函數的周期為π，若將其周期變?yōu)?π，則得g(x)＝2sinx＋1. (2)函數f(x)的最小正周期為T＝π， 當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)時，函數單調遞增， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函數的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． 12．已知向量m＝(sin x,1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A＞0)，函數f(x)＝mn的最大值為6. (1)求A； (2)將函數y＝f(x)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的值域． 解　(1)f(x)＝mn＝Asin xcos x＋cos 2x ＝A＝A sin. 因為A＞0，由題意知A＝6. (2)由(1)知f(x)＝6sin. 將函數y＝f(x)的圖象向左平移個單位后得到 y＝6sin＝6sin的圖象； 再將得到圖象上各點橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到y＝6sin的圖象． 因此g(x)＝6sin. 因為x∈，所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域為[－3,6]． 13．已知函數f(x)＝2sin＋cos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值． 解　(1)因為f(x)＝sin＋sin x ＝cos x＋sin x＝2 ＝2sin， 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)∵將f(x)的圖象向右平移個單位，得到函數g(x)的圖象， ∴g(x)＝f＝2sin[＋] ＝2sin. ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴當x＋＝，即x＝時，sin＝1，g(x)取得最大值2. 當x＋＝，即x＝π時，sin＝－，g(x)取得最小值－1. 14．設函數f(x)＝cos＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)設函數g(x)對任意x∈R，有g＝g(x)，且當x∈時，g(x)＝－f(x)．求g(x)在區(qū)間[－π，0]上的解析式． 解　(1)f(x)＝cos＋sin2x ＝＋ ＝－sin 2x， 故f(x)的最小正周期為π. (2)當x∈時，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故 ①當x∈時，x＋∈. 由于對任意x∈R，g＝g(x)， 從而g(x)＝g＝sin ＝sin(π＋2x)＝－sin 2x. ②當x∈時，x＋π∈. 從而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x. 綜合①、②得g(x)在[－π，0]上的解析式為 g(x)＝