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2019-2020年八年級數學下冊專題講解+課后訓練：梯形的輔助線 課后練習及詳解 題一： (1)如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，腰AB= 4，兩底之差為2，求另一腰CD的長； (2)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周長； (3)如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=BC，且對角線AC垂直于腰BC，求這個梯形各內角的度數； (4)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，則EF= ． 題二： (1)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30，∠C=60，E、F、M、N分別為AB、CD、BC、DA的中點，已知BC=7，MN=3，則EF= ； (2)如圖，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120，對角線CA平分∠BCD，且梯形的周長為20，則梯形ABCD的面積為 ； (3)如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB= 4，BC=7，求∠B的度數； (4)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，E在BC上，CE=2，則DE= ． 題三： 已知：等腰梯形的上底是2cm，腰長是4cm，一個底角是60，則等腰梯形的下底是 cm． 題四： 已知：等腰梯形的一個底角等于60，它的兩底分別為4cm和7cm，則它的周長為 cm． 題五： 如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD= 4，BC=8，求AC的長． 題六： 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，若AD=3，BC=7，求梯形ABCD面積的最大值． 題七： 如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E在BC上，AE=BE，點F是CD的中點，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，求CE的長． 題八： 如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90，CD=5，AB=11，點M、N分別為AB、CD的中點，求線段MN的長． 題九： 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90，AB= 4，AD=3，BC=5，點M是邊CD的中點，連接AM、BM．求△ABM的面積． 題十： 如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，∠B=90，AB=AD+BC．點E是CD的中點，點F是AB上的點，∠ADF= 45，FE=a，梯形ABCD的面積為m． (1)求證：BF=BC； (2)求△DEF的面積(用含a、m的代數式表示)． 題十一： 以線段a=16，b=13為梯形的兩底，c=10，d=6為腰畫梯形，這樣的梯形(　　) A．只能畫出一個 B．能畫出2個 C．能畫出無數個 D．不能畫出 題十二： 以線段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四邊形，這樣的梯形(不全等的)(　　) A．至少能做3個 B．恰好能做2個 C．僅僅只能做1個 D．一個也不能做 梯形的輔助線 課后練習參考答案 題一： (1)2；(2)34；(3)60，60，120，120；(4)1． 詳解：(1)過D作DE⊥BC于E，∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC， ∴四邊形ADEB是個矩形，∴AB=DE= 4，CE=BC-AD=2， Rt△DEC中，CD===2； ； (2)過A、D點作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F， ∵AB=CD，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF， ∵AD=8，BC=14，BE=CF=3，又∵在Rt△ABE中，∠B=60， ∴AB=2BE=6，∴梯形ABCD的周長為8+14+6+6=34； (3)如圖所示，過點C作CE∥AD，又DC∥AE， ∴四邊形AECD為平行四邊形，又DC=AD=BC， ∴四邊形AECD為菱形，∴AE=CE=BC，∴∠EAC=∠ECA，∠CEB=∠B， ∵∠B+∠CAB=90，即3∠CAE=90，∴∠CAE=30， ∴∠B=60=∠DAB，∠D=∠DCB=120； (4)過點E作AB、CD的平行線，與BC分別交于G，H，∵∠B+∠C=90， ∴∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，∴∠EGH+∠EHG=90， ∴四邊形ABGE和四邊形CDEH都是平行四邊形，△EGH為直角三角形， ∵E、F分別是AD、BC的中點，∴BG=CH=0.5，GH=2， 根據直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半知，EF=GH=1，∴EF=1． 題二： (1)4；(2)12；(3)60；(4)5． 詳解：(1)過點N分別作NG∥AB，NH∥CD，得平行四邊形ABGN和平行四邊形DCHN， ∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90，GH=BC-AD，MG=MH， ∴GH=2MN=6，∴AD=7-6=1，∴EF= 4； (2)∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D+∠DCB=180， ∵∠D=120，∴∠B=∠DCB=60， ∵對角線CA平分∠BCD，∴∠ACB=30， ∵AD=DC，∴∠DAC=∠ACD=30，∴∠BAC=90，∴BC=2AB， ∵梯形的周長為AD+DC+BC+AB=5AB=20，∴AB= 4，∴AC=4，BC=8， 過點A作AE⊥BC于點E，∵AB= 4，AC=4，BC=8， ∴AE=2，∴梯形ABCD的面積為(4+8)2=12； (3)過點A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC， ∴四邊形AECD是平行四邊形，∴EC=AD=3，DC=AE， ∴BE=BC-CE=7-3= 4，∴CD=AB= 4，∴AE=AB=BE= 4， ∴△ABE是等邊三角形，∴∠B=60； (4)過D作DF∥AC交BC的延長線于F，∵AD∥BC， ∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴CF=AD=3， ∵BC=7，∴BF=BC+CF=7+3=10， ∵CE=2，∴BE=7-2=5，EF=2+3=5，∴BE=EF， 又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴∠BDF=90，∴DE=BF=5． 題三： 6cm． 詳解：過D作DE∥AB交BC于E，∵DE∥AB，AD∥BC， ∴四邊形ABED是平行四邊形， ∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60，AB=DE=DC， ∴△DEC是等邊三角形，∴EC=CD= 4cm， ∴BC= 4cm+2cm=6cm． 題四： 17cm． 詳解：過上底頂點D作DE∥AB交BC于E， 則四邊形ABED是平行四邊形，∴DE=AB，AD=BE， ∵梯形的一個底角是60，∴∠C=60， 又∵腰長AB=CD=DE，∴△CDE是等邊三角形， ∴CD=CE=BC-BE=7-4=3cm，∴它的周長為3+7+3+4=17cm． 題五： ． 詳解：過D作DE∥AC交BC的延長線于E， ∵AD∥BC，AB=CD， ∴四邊形ABCD是等腰梯形， ∴ADEC是平行四邊形， ∴AD=CE，AC=DE， 即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12， 又∵AC=BD，∴BD=ED， ∴△BDE為等腰直角三角形， ∴AC=BD=． 題六： 25． 詳解：過D作DE∥AC交BC延長線于E，∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AD=CE， ∴根據等底等高的三角形面積相等得出△ADC的面積等于△DCE的面積， 即梯形ABCD的面積等于△BDE的面積， ∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90，BE=3+7=10， ∴此時△BDE的邊BE邊上的高越大，它的面積就越大， 即當高是BE時最大，即梯形的最大面積是1010=25． 題七： 2.3． 詳解：延長AF、BC交于點G，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G， 又DF=CF，∴△AFD≌△GFC，∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7， ∵AF⊥AB，AB=6，∴BG=10，∴BC=BG-CG=7.3， ∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，∴∠EAG=∠AGE，∴AE=GE， ∴BE=BG=5，∴CE=BC-BE=2.3． 題八： 3． 詳解：如圖，過D作DE∥BC，DF∥MN， ∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，∴CD=BE=5，AE=AB-BE=11-5=6， ∵M為AB的中點，∴MB=AM=AB=11=5.5，ME=MB-BE=5.5-5=0.5， ∵N為DC的中點，∴DN=DC=5=2.5， 在四邊形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，∴FM=DN=2.5， ∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=AE，∴F為AE的中點， 又∵DE∥BC，∴∠B=∠AED， ∵∠A+∠B=90，∴∠A+∠AED=90， ∴∠ADE=90，即△ADE是直角三角形， ∴DF=MN=AE=6=3． 題九： 8． 詳解：延長AM交BC的延長線于點N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN， ∵點M是邊CD的中點，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)， ∴CN=AD=3，AM=MN=AN，∴BN=BC+CN=5+3=8， ∵∠ABC=90，∴S△ABN=AB?BN=48=16， ∴S△ABM=S△ABN=8，即△ABM的面積為8． 題十： 見詳解． 詳解：(1)∵四邊形ABCD是直角梯形，∴∠A=90， ∵∠ADF=45，∴∠AFD= 45，∴AD=AF， ∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，∴BF=BC； (2)連接FC，設AD=AF=x，BC=BF=y，連接CF，作DH⊥BC于H，易證四邊形ABHD為矩形、△CDF為直角三角形，又∵E是CD中點，∴CD=2EF=2a， 由勾股定理得x2+y2=2a2…①， 由直角梯形的面積公式可得：(x+y)2=2m…②， 由②-①，得xy=m-a2， ∵S△DFC=S梯形ABCD-S△AFD-S△BFC=(x+y)2 -x2 -y2 = xy， ∴S△DEF=S△DFC=m-a2． 題十一： D． 詳解：如圖，過點B作BE∥AD，則出現平行四邊形ABED和一個△BEC， ∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6 ∴CE=3，BE=10， ∵3+6＜10， ∴BE，CE，BC不能構成三角形 ∴這樣的梯形一個也不能作． 故選D． 題十二： C． 詳解：作DE∥AB，則DE=AB， ①當a=5為上底，b=10為下底，c、d為腰時，10-5=5，與15，20不能構成三角形，故不滿足題意； ②當a=5為上底，b=15為下底，b、d為腰時，15-5=10，與10，20不能構成三角形，故不滿足題意； ③當a=5為上底，d=20為下底，b、c為腰時，20-5=15，與10，15可以構成三角形，故滿足題意； ④當b=10為上底，c=15為下底，a、d為腰時，15-10=5，與5，20不能構成三角形，故不滿足題意； ⑤當b=10為上底，d=20為下底，a、c為腰時，20-10=10，與5，15不能構成三角形，故不滿足題意； ⑥當c=15為上底，d=20 為下底，a、b為腰時，20-15=5，與5，10不能構成三角形，故不滿足題意； 綜上可得只有當a=5為上底，d=20為下底，b、c為腰時，滿足題意，即以線段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四邊形，這樣的梯形(不全等的)只能做一個． 故選C．