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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題講解+課后訓(xùn)練：菱形 課后練習(xí)及詳解 題一： 如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長是 ． 題二： 如圖，菱形花壇ABCD的邊長為6m，∠A=120，其中由兩個(gè)正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分圖形的周長為(　　) A．12m B．20m C．22m D．24m 題三： 能判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是(　　) A．對(duì)角線互相平分且相等 B．對(duì)角線互相垂直且相等 C．對(duì)角線互相垂直且對(duì)角相等 D．對(duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 題四： 下列給出的條件中，能識(shí)別一個(gè)四邊形是菱形的是(　　) A．有一組對(duì)邊平行且相等，有一個(gè)角是直角 B．兩組對(duì)邊分別相等，且有一組鄰角相等 C．有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，且對(duì)角線互相垂直 D．有一組對(duì)邊平行且相等，且有一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角 題五： 如圖，菱形ABCD中，DF⊥AB交AC于點(diǎn)E，垂足為F，DE= 4，求BE的長度． 題六： 如圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重疊情形，其中D、E兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，求點(diǎn)F到AC的距離． 題七： 如圖，順次連接四邊形ABCD各中點(diǎn)得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件是(　　) A．AB∥DC B．AB=DC C．AC⊥BD D．AC=BD 題八： 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，則四邊形ABCD只需要滿足一個(gè)條件，是(　　) A．四邊形ABCD是梯形 B．四邊形ABCD是菱形 C．對(duì)角線AC=BD D．AD=BC 題九： 紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標(biāo)志．將寬為1cm的紅絲帶交叉成60角重疊在一起(如圖)，判斷重疊四邊形是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論． 題十： 將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D′處，折痕為EF，連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論． 題十一： 如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90．將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到△DEC，點(diǎn)E在AC上，再將Rt△ABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到△ABF，連接AD． 求證：四邊形AFCD是菱形． 題十二： Rt△ABC中，∠ACB=90，過點(diǎn)C的直線m∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線m于E，垂足為F，連接CD、BE． 題十三： (1)求證：CE=AD； 題十四： (2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由． 題十五： 我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．在學(xué)習(xí)《中點(diǎn)四邊形》時(shí)，小明和小亮產(chǎn)生了很大的意見分歧： 題十六： 小明說：如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形； 題十七： 小亮說：如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，則原四邊形一定是對(duì)角線相等的四邊形，而不一定是矩形． 題十八： (1)你認(rèn)為誰的觀點(diǎn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)畫圖舉一個(gè)反例，并作簡單說明； 題十九： (2)如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直，則中點(diǎn)四邊形為______； 題二十： (3)如果該四邊形的對(duì)角線相等，則中點(diǎn)四邊形為_______； 題二十一： (4)如果該四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則中點(diǎn)四邊形為________． 題二十二： 題二十三： 閱讀材料： 題二十四： 我們經(jīng)常通過認(rèn)識(shí)一個(gè)事物的局部或其特殊類型，來逐步認(rèn)識(shí)這個(gè)事物； 題二十五： 比如我們通過學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形(繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等)來逐步認(rèn)識(shí)四邊形； 題二十六： 我們對(duì)課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然后通過解決簡單的問題鞏固所學(xué)知識(shí)； 題二十七： 請(qǐng)解決以下問題： 題二十八： 如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”； 題二十九： (1)寫出箏形的兩個(gè)性質(zhì)(定義除外)； 題三十： (2)寫出箏形的兩個(gè)判定方法(定義除外)，并選出一個(gè)進(jìn)行證明． 菱形 課后練習(xí)參考答案 題一： 24． 詳解：∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴EF是△ABC的中位線，∴EF=BC=3，∴BC=6， ∴菱形ABCD的周長是46=24． 題二： B． 詳解：連接AC，已知∠A=120，ABCD為菱形，則∠B=60，從而得出△ABC為正三角形，以△ABC的頂點(diǎn)所組成的小三角形也是正三角形，所以正六邊形的邊長是△ABC邊長的，則種花部分圖形共有10條邊，所以它的周長為610=20m，故選B． 題三： C． 詳解：∵對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，∴A、B、D都不正確； ∵對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，而對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，∴C正確． 故選C． 題四： D． 詳解：A．錯(cuò)誤，可判定為矩形，而不一定是菱形； B．錯(cuò)誤，可判定為矩形，而不一定是菱形； C．錯(cuò)誤，可判定為等腰梯形，而不是菱形； D．正確，有一組對(duì)邊平行且相等可判定為平行四邊形，有一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角，則可判定有一組鄰邊相等，而一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． 故選D． 題五： 4． 詳解：∵ABCD是菱形， ∴AD=AB，∠DAE=∠BAE， 在△ADE和△ABE中， ∵AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE， ∴△ADE≌ABE， ∴DE=BE= 4，即BE的長度為4． 題六： 6-6． 詳解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，交GF于K， ∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=60， ∵BD=BE，∴△BDE是等邊三角形， ∴∠BDE=60，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE， ∵四邊形DEFG是正方形，GF=6， ∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF， ∴KH=18-6-6=9-3-6=6-6， ∴F點(diǎn)到AC的距離為6-6． 題七： D． 詳解：連AC，BD，如圖，∵E、F、G、H為四邊形ABCD各中點(diǎn)， ∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，∴四邊形EFGH為平行四邊形， 要使四邊形EFGH為菱形，則EF=EH，而EH=AC，∴AC=BD． 當(dāng)AB∥DC和AB=DC，只能判斷四邊形EFGH為平行四邊形，所以A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤； 當(dāng)AC⊥BD，只能判斷四邊形EFGH為矩形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤； 當(dāng)AC=BD，可判斷四邊形EFGH為菱形，所以D選項(xiàng)正確． 故選D． 題八： D． 詳解：∵在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)， ∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，同理，HE∥GF， ∴四邊形EFGH是平行四邊形； A．若四邊形ABCD是梯形時(shí)，AD≠CD，則GH≠FE，這與平行四邊形EFGH的對(duì)邊GH=FE相矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．若四邊形ABCD是菱形時(shí)，點(diǎn)EFGH四點(diǎn)共線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C．若對(duì)角線AC=BD時(shí)，四邊形ABCD可能是等腰梯形，證明同A選項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D．當(dāng)AD=BC時(shí)，GH=GF；所以平行四邊形EFGH是菱形，故本選項(xiàng)正確； 故選D． 題九： 菱形． 詳解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因?yàn)榧t絲帶寬度相同， ∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四邊形ABCD是平行四邊形． ∵S□ABCD=BC ?AE=CD ?AF，又AE=AF，∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形． 題十： 菱形． 詳解：四邊形AECF是菱形． 證明：由折疊可知：AE=EC，∠AEF=∠CEF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CEF =∠AFE， ∴∠AEF =∠AFE，∴AF=AE， ∵AE=EC，∴AF=EC， 又∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形， ∵AF=AE，∴平行四邊形AECF是菱形． 題十一： 見詳解． 詳解：Rt△DEC是由Rt△ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60得到， ∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60， ∴△ACD是等邊三角形，∴AD=DC=AC， 又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到， ∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90， ∵∠ACB=∠ACD=60，∴△AFC是等邊三角形， ∴AF=FC=AC，∴AD=DC=FC=AF， ∴四邊形AFCD是菱形． 題十二： 見詳解． 詳解：(1)證明：∵直線m∥AB，∴∠ECD=∠ADC， 又∵∠ACB=90，DE⊥BC，∴DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD，CD為公共邊，∴△EDC≌△ACD，∴CE=AD； (2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是菱形． 證明：D是AB中點(diǎn)，由(1)知DE∥AC，∴F為BC中點(diǎn)，即BF=CF， ∵直線m∥AB，∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE， ∴DF=EF，已知DE⊥BC，∴BC和DE垂直且互相平分， 故四邊形BECD是菱形． 題十三： 見詳解． 詳解：(1)我認(rèn)為小明的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，反例如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AC=BD， ∵M(jìn)、Q是AB、AD的中點(diǎn)，∴MQ∥BD，MQ=BD，同理NP∥BD，NP=BD， 可得四邊形MNPQ是平行四邊形，再由MN=PN可得四邊形MNPQ是菱形； (2)∵四邊形的對(duì)角線互相垂直，∴它的中點(diǎn)四邊形為矩形； (3)∵四邊形的對(duì)角線相等，∴它的中點(diǎn)四邊形為菱形； (4)∵四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，∴它的中點(diǎn)四邊形為正方形． 題十四： 見詳解． 詳解：(1)性質(zhì)1：只有一組對(duì)角相等， 性質(zhì)2：只有一條對(duì)角線平分對(duì)角； (2)判定方法1：只有一條對(duì)角線平分對(duì)角的四邊形是箏形， 判定方法2：兩條對(duì)角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形， 證明方法1：連接AC，BD， 在△ABC和△ADC中，∠BAC=∠DAC，AC=AC，∠BCA=∠DCA， ∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，易知AC⊥BD， 又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠BCA，AB≠BC， 所以四邊形ABCD是箏形．