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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題20 概率（含解析） 一、選擇題 1．(文)(xx廣東文，7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有1件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 [答案]　B [解析]　5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，有10種，分別是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6種，分別是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，設(shè)事件A＝“恰有一件次品”，則P(A)＝＝0.6，故選B． (理)(xx太原市一模)某袋中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的6個(gè)小球(小球除編號(hào)外完全相同)，甲先從袋中抽取一個(gè)球，記下編號(hào)后放回，乙再?gòu)拇忻鲆粋€(gè)球，記下編號(hào)，則甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　記甲、乙各摸一次得的編號(hào)為(x，y)，則共有36個(gè)不同的結(jié)果，其中甲、乙摸出球的編號(hào)相同的結(jié)果有6個(gè)，故所求概率P＝1－＝. [方法點(diǎn)撥]　1.用古典概型概率計(jì)算公式P＝求概率，必須先判斷事件的等可能性． 2．當(dāng)某事件含有的基本事件情況比較復(fù)雜，分類較多時(shí)，可考慮用對(duì)立事件概率公式求解． 3．要熟練掌握列舉基本事件的方法，當(dāng)古典概型與其他知識(shí)結(jié)合在一起考查時(shí)，要先依據(jù)其他知識(shí)點(diǎn)的要求求出所有可能的事件及基本事件數(shù)，再計(jì)算． 2．(文)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，x2＋y2≤1所表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [答案]　A [解析]　如圖，不等式組表示的平面區(qū)域M為△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S△OAB＝3， 區(qū)域N在M中的部分面積為，∴所求概率P＝＝. (理)如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　∵S陰＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2， S正方形＝e2，∴P＝. [方法點(diǎn)撥]　1.當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解； 2．利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的測(cè)度的計(jì)算，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． 3．幾何概型與其他知識(shí)結(jié)合命題，應(yīng)先依據(jù)所給條件轉(zhuǎn)化為幾何概型，求出區(qū)域的幾何測(cè)度，再代入公式求解． 3．(文)在長(zhǎng)為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC、CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于24cm2的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　D [解析]　設(shè)線段AC的長(zhǎng)為xcm，其中06.又0 b，b < c時(shí)稱為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　解法1：任取3個(gè)數(shù)，共能構(gòu)成24個(gè)三位數(shù)，A＝“該數(shù)為凹數(shù)”，則A＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8個(gè)基本事件， ∴P(A)＝＝. 解法2：從4個(gè)不同數(shù)中任取3個(gè)，這3個(gè)數(shù)字共組成6個(gè)不同三位數(shù)，其中凹數(shù)有2個(gè)，∴P＝＝. 7．有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [10.5,14.5)　　2　　[14.5,18.5)　　4 [18.5,22.5)　　9　　[22.5,26.5)　　18 [26.5,30.5)　　11　 [30.5,34.5)　　12 [34.5,38.5)　　8　　[38.5,42.5)　　2 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內(nèi)的概率約是(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　由已知可得，[30.5,42.5)的數(shù)據(jù)共有22個(gè)，所以數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內(nèi)的概率約是＝，選B． 8．(文)(xx陜西理，6)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　C [解析]　如圖，基本事件共有C＝10個(gè)，小于正方形邊長(zhǎng)的事件有OA，OB，OC，OD共4個(gè)， ∴P＝1－＝. (理)從－＝1(m、n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)方程中任取一個(gè)，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　當(dāng)m，n∈{－1,2,3}時(shí)，－＝1所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)共有7個(gè)，(m，n)的取值分別為(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程有4個(gè)，(m，n)的取值分別為(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率為，選B． 二、填空題 9．(文)在三棱錐的六條棱中任選兩條，則這兩條棱所在直線為異面直線的概率是________． [答案]　 [解析]　從六條棱中任選兩條有15種可能，其中構(gòu)成異面直線的有3種情況，故所求概率為P＝＝. (理)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條，這兩條直線成60角的概率為_(kāi)_______． [答案]　 [解析]　六個(gè)面的對(duì)角線共有12條，從中任取兩條共有C＝66種不同的取法． 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對(duì)角線AC成60角的面對(duì)角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8條，同理與DB成60角的面對(duì)角線也有8條，因此一個(gè)面上的對(duì)角線與其他四個(gè)相鄰面上的對(duì)角線成60角的情形共有16對(duì)，故6個(gè)面共有166＝96對(duì)，因?yàn)槊繉?duì)被計(jì)算了2次，因此共有96＝48對(duì)，∴所求概率P＝＝. [方法點(diǎn)撥]　解答概率與其他知識(shí)交匯的問(wèn)題，要通過(guò)審題，將所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型，然后按相應(yīng)公式計(jì)算概率，轉(zhuǎn)化時(shí)要特別注意保持等價(jià)． 10．(文)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________． [答案]　 [解析]　考查了幾何概型． 總面積21＝2. 半圓面積π12＝.∴p＝＝. (理)(xx呼和浩特第二次調(diào)研)在區(qū)間(0，)上任取一個(gè)數(shù)x，使得tanx<∫0cosxdx成立的概率是________． [答案]　 [解析]　求出定積分后結(jié)合三角函數(shù)的圖象解不等式．因?yàn)椤?cosxdx＝sinx|0＝1，所以原不等式即為tanx<1，x∈(0，)，解得00且≤1，即2b≤a. 基本事件共有36個(gè)； 所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)． 所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是9 ∴所求事件的概率為P＝＝. (2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤ a且a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)． 依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，表示的三角形OAB，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切蜲AC部分． 由得交點(diǎn)C坐標(biāo)為. 故所求事件的概率為P＝＝. 13．(文)(xx石家莊市一模)某商店計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲利潤(rùn)50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品虧損10元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲利潤(rùn)30元． (1)若商店一天購(gòu)進(jìn)該商品10件，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：件，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表： 日需求量 8 9 10 11 12 頻數(shù) 9 11 15 10 5 若商店一天購(gòu)進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)在區(qū)間[400,500]的概率． [解析]　(1)當(dāng)日需求量n≥10時(shí)， 利潤(rùn)為y＝5010＋(n－10)30＝30n＋200； 當(dāng)日需求量n<10時(shí)，利潤(rùn)為y＝50n－(10－n)10＝60n－100 所以，y關(guān)于日需求量n函數(shù)關(guān)系式為： y＝. (2)50天內(nèi)有9天獲得的利潤(rùn)380元，有11天獲得的利潤(rùn)為440元，有15天獲得利潤(rùn)為500元，有10天獲得的利潤(rùn)為530元，有5天獲得的利潤(rùn)為560元． 若利潤(rùn)在區(qū)間[400,550]時(shí)，日需求量為9件、10件、11件該商品，其對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分別為11天、15天、10天． 則利潤(rùn)區(qū)間[400,550]的概率為： p＝＝. (理)(xx東北三省四市聯(lián)考)太陽(yáng)島公園引進(jìn)了兩種植物品種甲與乙，株數(shù)分別為18與12，這30株植物的株高編寫(xiě)成莖葉圖如圖所示(單位：cm)， 甲 乙 9　8　6　6　5 16 2 9　7　6　5　4　2 17 3　7 7　7　4　3　2 18 1　5　7　8 2　0 19 1　5　7 20 1　7 若這兩種植物株高在185cm以上(包括185cm)定義為“優(yōu)秀品種”，株高在185cm以下(不包括185cm)定義為“非優(yōu)秀品種”． (1)求乙品種的中位數(shù)； (2)在以上30株植物中，如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀品種”和“非優(yōu)秀品種”中抽取5株，再?gòu)倪@5株中選2株，那么至少有一株是“優(yōu)秀品種”的概率是多少？ (3)若從所有“優(yōu)秀品種”中選3株，用X表示3株中含甲類“優(yōu)秀品種”的株數(shù)，試寫(xiě)出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)乙的中間有兩個(gè)數(shù)187和188，因此乙的中位數(shù)為187.5cm. (2)根據(jù)莖葉圖知“優(yōu)秀品種”有12株，“非優(yōu)秀品種”有18株， 用分層抽樣的方法抽取，每株被抽中的概率是＝， 故樣本中“優(yōu)秀品種”有12＝2(株)， “非優(yōu)秀品種”有18＝3(株)． 用事件A表示“至少有一株‘優(yōu)秀品種’被選中”， 則P(A)＝1－＝1－＝， 因此從5株植物中選2株，至少有一株“優(yōu)秀品種”的概率是. (3)依題意，一共有12株“優(yōu)秀品種”，其中乙種植物有8株，甲種植物有4株，則X的所有可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 因此X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝1. 14．(文)某高中社團(tuán)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次是否開(kāi)通“微博”的調(diào)查，若開(kāi)通“微博”的稱為“時(shí)尚族”，否則稱為“非時(shí)尚族”．通過(guò)調(diào)查分別得到如圖1所示統(tǒng)計(jì)表和如圖2所示的各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖. 組數(shù) 分組 時(shí)尚族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [25,30) 120 0.6 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 0.5 第四組 [40,45) a 0.4 第五組 [45,50) 30 0.3 第六組 [50,55] 15 0.3 請(qǐng)完成以下問(wèn)題： (1)補(bǔ)全頻率直方圖，并求n，a，p的值； (2)從[40,45)歲和[45,50)歲年齡段的“時(shí)尚族”中采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡(luò)時(shí)尚達(dá)人大賽，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)年齡在[40,45)歲的概率． [解析]　(1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)5＝0.3， 所以高為＝0.06.頻率直方圖如下： 第一組的人數(shù)為＝200，頻率為0.045＝0.2， 所以n＝＝1000， 所以第二組的人數(shù)為10000.3＝300，p＝＝0.65， 第四組的頻率為0.035＝0.15，第四組的人數(shù)為10000.15＝150， 所以a＝1500.4＝60. (2)因?yàn)閇40,45)歲與[45,50)歲年齡段的“時(shí)尚族”的比值為6030＝21， 所以采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人． 記a1、a2、a3、a4為[40,45)歲中抽得的4人，b1、b2為[45,50)歲中抽得的2人，全部可能的結(jié)果有： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)， (a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)， (a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15個(gè)， 選取的兩名領(lǐng)隊(duì)都在[40,45)歲的有6種， 所以所求概率為P＝＝. (理)(xx湖北七市聯(lián)考)小明家訂了一份報(bào)紙，寒假期間他收集了每天報(bào)紙送達(dá)時(shí)間的數(shù)據(jù)，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示． (1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，寫(xiě)出眾數(shù)x0； (2)小明的父親上班離家的時(shí)間y在上午700至730之間，而送報(bào)人每天在x0時(shí)刻前后半小時(shí)內(nèi)把報(bào)紙送達(dá)(每個(gè)時(shí)間點(diǎn)送達(dá)的可能性相等)． ①求小明的父親在上班離家前能收到報(bào)紙(稱為事件A)的概率； ②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報(bào)紙的天數(shù)X的數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)x0＝700. (2)①設(shè)報(bào)紙送達(dá)時(shí)間為x，則小明父親上班前能收到報(bào)紙等價(jià)于 由圖可知，所求概率為P＝1－＝. ②X服從二項(xiàng)分布B(5，)，故E(X)＝5＝(天)．