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2019-2020年高三數(shù)學 第25課時 第三章 數(shù)列 數(shù)列的實際應用專題復習教案 一．課題：數(shù)列的實際應用 二．教學目標：1．理解“復利”的概念，能解決分期付款的有關計算方法； 2．能夠把實際問題轉化成數(shù)列問題． 三．教學重點：建立數(shù)列模型解決數(shù)列實際應用問題． 四．教學過程： （一）主要知識： 1．解應用問題的核心是建立數(shù)學模型； 2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關系、建立數(shù)學模型； 3．注意問題是求什么（）． （二）主要方法： 1．解答數(shù)列應用題要注意步驟的規(guī)范性：設數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答； 2．在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)計算準確； 3．在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系； 4．在近似計算時，要注意應用對數(shù)方法和二項式定理，且要看清題中對近似程度的要求． （三）例題分析： 例1．某地區(qū)森林原有木材存量為，且每年增長率為25％，因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為，設為年后該地區(qū)森林木材的存量， （1）求的表達式； （2）為保護生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于，如果，那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，需要經過幾年？（參考數(shù)據(jù)：） 解：（1）設第一年的森林的木材存量為，第年后的森林的木材存量為，則 ， ， ， ……… ． （2）當時，有得即， 所以，． 答：經過8年后該地區(qū)就開始水土流失． 例2．輕紡城的一家私營企業(yè)主，一月初向銀行貸款一萬元作開店資金，每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的，每月月底需要交納房租和所得稅為該月所得金額（包括利潤）的，每月的生活費開支300元，余款作為資金全部投入再經營，如此繼續(xù)，問該年年底，該私營企業(yè)主有現(xiàn)款多少元？如果銀行貸款的年利率為，問私營企業(yè)主還清銀行貸款后純收入還有多少元？ 解：第一個月月底余 元， 設第個月月底余，第個月月底余， 則， 從而有， 設，∴是等比數(shù)列， ∴，， 還貸后純收入為元． 例3．銀行按規(guī)定每經過一定的時間結算存（貸）款的利息一次，結算后即將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復利．現(xiàn)在有某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案： 甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30％的利潤； 乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元． 兩種方案的期限都是10年，到期一次行歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10％的復利計算，試比較兩個方案哪個獲得存利潤更多？（計算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：） 解：甲方案10年獲利潤是每年利潤數(shù)組成的數(shù)列的前10項的和： （萬元） 到期時銀行的本息和為（萬元） ∴甲方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元） 乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利： （萬元） 貸款的本利和為：（萬元） ∴乙方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元） 所以，甲方案的獲利較多． 例4．某工廠在xx年的“減員增效”中對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術特長，計劃創(chuàng)辦新的經濟實體，該經濟實體預計第一年屬投資階段，第二年每人可獲得元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎上遞增50％，如果某人分流前工資的收入每年元，分流后進入新經濟實體，第年的收入為元， （1）求的通項公式； （2）當時，這個人哪一年的收入最少？最少為多少？ （3）當時，是否一定可以保證這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入？ 解：（1）由題意得，當時，，當時，， ∴． （2）由已知， 當時，要使得上式等號成立，當且僅當，即，解得，因此這個人第三年收入最少為元． （3）當時， ，上述等號成立，須且因此等號不能取到， 當時，這個人分流一年后的收入永遠超過分流前的年收入． （四）鞏固練習：某工廠生產總值月平均增長率為，則年平均增長率為（ ）