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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題講解+課后訓(xùn)練：特殊平行四邊形 課后練習(xí)及詳解 題一： 下列說法中，正確的是(　　) A．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B．對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 C．四條邊相等的四邊形是菱形 D．矩形的對(duì)角線一定互相垂直 題二： 如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD．則下列說法中，不正確的是(　　) A．當(dāng)AB=CD，AO=DO時(shí)，四邊形ABCD為矩形 B．當(dāng)AB=AD，AO=CO時(shí)，四邊形ABCD為菱形 C．當(dāng)AD∥BC，AC=BD時(shí)，四邊形ABCD為正方形 D．當(dāng)AB≠CD，AC=BD時(shí)，四邊形ABCD為等腰梯形 題三： 如圖，已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)， 題四： ①求證：四邊形EFGH是平行四邊形． 題五： ②探索下列問題，并選擇一個(gè)進(jìn)行證明． 題六： a．原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足________時(shí)，四邊形EFGH是矩形． 題七： b．原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足________時(shí)，四邊形EFGH是菱形． 題八： c．原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足________時(shí)，四邊形EFGH是正方形． 題九： 如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD， 等邊△ACE、等邊△BCF． (1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形； (2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明) ①當(dāng)△ABC滿足_________條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形； ②當(dāng)△ABC滿足_________條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形； ③當(dāng)△ABC滿足_________條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在． 題十： 如圖所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=FD． 題十一： (1)若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形； 題十二： (2)若四邊形AECF是菱形，那么四邊形ABCD也是菱形嗎？為什么？ 題十三： (3)若四邊形AECF是矩形，試判斷四邊形ABCD是否為矩形，不必寫理由． 題十四： 如圖，任意四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，過各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個(gè)四邊形EFGH．試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時(shí)，四邊形EFGH的形狀會(huì)有哪些變化？完成以下題目： 題十五： (1)①當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為___________； 題十六： ②當(dāng)ABCD為矩形時(shí)，EFGH為___________； ③當(dāng)ABCD為菱形時(shí)，EFGH為___________； ④當(dāng)ABCD為正方形時(shí)，EFGH為___________； (2)請(qǐng)對(duì)(1)中①②你所寫的結(jié)論進(jìn)行證明． (3)反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時(shí)，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？ 題十七： 如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)． 題十八： (1)求證：△MBA≌△NDC； 題十九： (2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請(qǐng)說明理由． 題二十： 在折紙這種傳統(tǒng)手工藝術(shù)中，蘊(yùn)含許多數(shù)學(xué)思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形．把一張正方形紙片按照?qǐng)D①～④的過程折疊后展開． (1)猜想四邊形ABCD是什么四邊形； (2)請(qǐng)證明你所得到的數(shù)學(xué)猜想． 題二十一： 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)(P與B，C不重合)，連接PM并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于Q． 題二十二： (1)試說明△PCM≌△QDM； 題二十三： (2)當(dāng)P在B、C之間運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說明理由． 題二十四： 如圖，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線D-C-B方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)． 題二十五： (1)若點(diǎn)E在線段BC上，且BE=4cm，經(jīng)過幾秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形？ 題二十六： (2)動(dòng)點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN是否經(jīng)過矩形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)？如果線段MN過此交點(diǎn)，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；如果線段MN不過此交點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． 題二十七： 如圖，已知，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120，CD= 4，∠ABC=∠DCB，求BC的長(zhǎng)． 題二十八： 已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四邊形ABCD的面積． 特殊平行四邊形 課后練習(xí)參考答案 題一： C． 詳解：A．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不能判定正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C．四邊相等的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確； D．矩形的對(duì)角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選C． 題二： C． 詳解：選項(xiàng)A的結(jié)論正確，AB=CD可判定為平行四邊形，AO=DO可判定對(duì)角線相等，故是矩形； 選項(xiàng)B的結(jié)論正確，AB=AD可判定△ABD為等邊三角形，AO=CO可判定△CDB也為等邊三角形，故是菱形； 選項(xiàng)C的結(jié)論錯(cuò)誤，判定結(jié)果為矩形，不一定是正方形； 選項(xiàng)D的結(jié)論正確，對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形； 故選C． 題三： 見詳解． 詳解：①連接AC，BD， ∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)， ∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．②a．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形．∵由①得：四邊形MONH是平行四邊形， ∴當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形MONH是矩形，∴∠EHG=90，∴四邊形EFGH是矩形． b．當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．∵HG=AC，EH=BD， ∴EH=GH，∴四邊形EFGH是菱形； c．由a與b可得：原四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD滿足AC⊥BD且AC=BD時(shí)， 四邊形EFGH是正方形． 故答案為：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD． 題四： 見詳解． 詳解：(1)∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60， ∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，∴∠DBF=∠ABC． 在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF， ∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD． ∴四邊形ADFE是平行四邊形． (2)當(dāng)∠BAC=150，∠DAE=360-60-60-150=90，∴平行四邊形DAEF是矩形． 當(dāng)AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四邊形DAEF是菱形． 當(dāng)∠BAC=60，△FBC與△ABC重合，故以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在． 題五： 見詳解． 詳解：連AC，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O， (1)∵四邊形AECF是平行四邊形，∴OE=OF，OA=OC， ∵BE=FD，∴OB=OD．∴四邊形ABCD是平行四邊形； (2)∵四邊形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD． ∵BE=FD，∴OB=OD．∴四邊形ABCD是菱形； (3)四邊形ABCD不是矩形． 題六： 見詳解． 詳解：(1)平行四邊形；菱形；矩形；正方形； (2)結(jié)合圖形，聯(lián)想特殊四邊形的特征及識(shí)別很容易發(fā)現(xiàn)，其中的橋梁為AC、BD． ①當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為平行四邊形． ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形． ②若ABCD為矩形，則EFGH為菱形． ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH． ∴四邊形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均為平行四邊形． ∴EH=AC=FG，EF=BD=GH． ∵四邊形ABCD為矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH． ∴四邊形EFGH為菱形． (3)當(dāng)平行四邊形EFGH是矩形時(shí)，四邊形ABCD必須滿足：對(duì)角線互相垂直． 當(dāng)平行四邊形EFGH是菱形時(shí)，四邊形ABCD必須滿足：對(duì)角線相等． 題七： 見詳解． 詳解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90， ∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN， 在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90，AM=CN，∴△MBA≌△NDC； (2)四邊形MPNQ是菱形． 理由如下：連接AP，MN， 則四邊形ABNM是矩形， ∴AN和BM互相平分，則A，P，N在同一條直線上， 易證：△ABN≌△BAM，∴AN=BM， ∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN， ∵P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)，∴PM=NQ， ∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP， ∴△MQD≌△NPB，∴四邊形MPNQ是平行四邊形， ∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，Q是DN中點(diǎn)，∴MQ=AN，∴MQ=BM， ∵M(jìn)P=BM，∴MP=MQ，∴平行四邊形MQNP是菱形． 題八： 見詳解． 詳解：(1)四邊形ABCD是菱形； (2)∵△AMG沿AG折疊，使AM落在AC上， ∴∠MAD=∠DAC=∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN， ∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN， ∵四邊形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA， ∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA， ∴AD∥BC，AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形， ∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四邊形ABCD為菱形． 題九： 見詳解． 詳解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM， ∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴DM=CM， ∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM； (2)當(dāng)四邊形ABPQ是平行四邊形時(shí)，PB=AQ， ∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=(8-5)2=1.5， ∴當(dāng)PC=1.5時(shí)，四邊形ABPQ是平行四邊形． 題十： 見詳解． 詳解：(1)∵點(diǎn)N只在AD上運(yùn)動(dòng)， ∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC邊上的時(shí)候，點(diǎn)A、E、M、N才可能組成平行四邊形， 即2.5＜t＜7.5， 設(shè)經(jīng)過t秒，四點(diǎn)可組成平行四邊形．分兩種情形： ①當(dāng)M點(diǎn)在E點(diǎn)右側(cè)， 如圖：此時(shí)AN=EM，則四邊形AEMN是平行四邊形， ∵DN= t，CM=2t -5，∴AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)， ∴10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1， ∵2.5＜t＜7.5，∴t =1舍去； ②當(dāng)M點(diǎn)在B點(diǎn)與E點(diǎn)之間，如圖， 則MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t， ∴ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t -11=10-t，解得t =7，此時(shí)符合， ∴當(dāng)t =7秒時(shí)，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形； (2)動(dòng)點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN能經(jīng)過矩形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，此時(shí)M在BC上，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO， 在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠， ∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM， 設(shè)N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，則10-t=2t -5，解得：t =5，即動(dòng)點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN能經(jīng)過矩形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，此時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是5秒． 題十一： 8． 詳解：∵AD∥BC，∠A=120，∴∠ABC=180-120=60， ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=60=30， 又∵∠ABC=∠DCB=60，∴∠BDC=180-30-60=90， ∴BC=2CD=24=8． 題十二： 18． 詳解：過D作DE∥AB，交CB于E點(diǎn)， 又∵AD∥CB，∴四邊形ABED是平行四邊形， ∴EB=AD=3，DE=AB=4， ∵CB=6，∴EC=BC-BE=6-3=3， ∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2， ∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90， ∴四邊形ABCD的面積是：(AD+CB)?DE=(3+6)4=18．