《2019-2020年高三數(shù)學一輪總復(fù)習 專題十四 概率（含解析）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學一輪總復(fù)習 專題十四 概率（含解析）.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高三數(shù)學一輪總復(fù)習 專題十四 概率（含解析） 重點1 隨機事件的概率 1．頻率與概率 （1）頻率：在相同條件下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)m為事件A的頻數(shù)，那么事件A出現(xiàn)的頻率，頻率的取值范圍為. （2）概率：對于給定的隨機事件，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，我們把這個常數(shù)記為P(A)，稱為事件A的概率． 頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談，頻率隨著試驗次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個常數(shù)，它是頻率的科學抽象.當試驗次數(shù)越來越多時，頻率向概率靠近.只要試驗次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當做隨機事件的概率. 2．事件的關(guān)系及運算 （1）對于事件A和事件B，如果事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)． （2）若事件A發(fā)生當且僅當事件B也發(fā)生，稱事件A等于事件B． （3）若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱該事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作(或)． （4）若某事件發(fā)生當且僅當事件A且事件B都發(fā)生，則稱該事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作AB(或)． （5）若為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥． （6）若為不可能事件，而為必然事件，則稱A與B為對立事件． 3．概率的性質(zhì) （1），其中必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0． （2）若事件A與事件B互斥，則． （3）若事件A與事件B對立，則 [高考?？冀嵌萞 角度1 某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 1000 擊中靶心的次數(shù)m 8 19 44 90 178 455 906 擊中靶心的頻率 （1）計算表中擊中靶心的各個頻率； （2）這個運動員擊中靶心的概率約是多少？ 解析：本題考查頻率與概率． （1）依據(jù)頻率的計算公式，可以依次計算出表中擊中靶心的的頻率． （2）由（2）知，射擊的次數(shù)不同，計算得到的頻率值也不同，但隨著射擊次數(shù)的增多，頻率都在常數(shù)0.9的附近擺動，所以擊中靶心的概率約為0.9 角度2 （1）以下命題： ①將一枚硬幣拋擲兩次，設(shè)事件A：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件B：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件A與事件B是對立事件； ②在命題①中，事件A與事件B是互斥事件； ③在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任取3件，事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與事件B是互斥事件. 正確命題的個數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3 （2）盒中有4只白球，5只黑球，從中任意取出一只球． ①“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？ ②“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ ③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解析：本題考查隨機事件與隨機事件的概率. （1）將一枚硬幣拋擲兩次，除去A、B的結(jié)果，還可能出現(xiàn)“一次正面，一次反面”或“一次反面，一次正面”兩種情況，因此①不正確，②正確；對于③，A與B有可能出現(xiàn)共同結(jié)果“1件正品，2件次品”，即事件A與事件B不是互斥事件，故③不正確．故選B （2）①“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下不可能發(fā)生，是不可能事件，概率為0 ②“取出的球是白球”是隨機事件，概率是 ③“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，是必然事件，概率為1 重點2 古典概型 1．古典概率模型：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個； （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． 并不是所有的試驗都是古典概型，例如，在適宜的條件下種下一粒種子并觀察它是否“發(fā)芽”，這個試驗的基本事件空間為{發(fā)芽，不發(fā)芽}，而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機會一般是不均等的． 2．古典概型的概率公式： 3．學會用最原始的方法計算基本事件個數(shù)，許多古典概型的試題其基本事件個數(shù)的計算沒有直接的公式可以套用，這時就要回歸到最原始的方法解基本事件的個數(shù)，一般就是列舉法，通過列舉把所有的基本事件找出來，在列舉時注意借助于圖表、坐標系等進行． 4．對于求較復(fù)雜事件的古典概型的概率問題，可以利用分類討論的方法求出總體包含的基本事件的個數(shù)及事件包含的基本事件的個數(shù)，然后將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求對立事件的概率，進而用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕剩? [高考常考角度] 角度1 有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（ ） A. B. C. D. 解析：（理科解法）由題知，故選A. （文理解法）記三個興趣小組分別為1，2，3，甲參加1組記為“甲1” 則基本事件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9種 記事件A為“甲、乙兩位同學參加同一個興趣小組”，其中事件A包含的基本事件有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個．因此，故選A 角度2甲乙兩人一起去游“xx西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后1小時他們同在一個景點的概率是（ ） A. B. C. D. 點評：本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時間）可以簡化解題思路，然后把問題簡化為兩人所選的游覽景點路線的排列問題．理科使用排列組合反而復(fù)雜 解析：（理科解法）甲、乙兩人各自獨立任選4個景點的情形共有種；最后一小時他們同在一個景點的情形有種，所以． （文理科解法）若用{1,2,3,4,5,6}代表6處景點，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36種；其中滿足題意的“同一景點相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6個基本事件， 故所求的概率為，故選D 對一些情境較為簡單、基本事件個數(shù)不是太多的古典概型問題，用枚舉法即可求事件發(fā)生的概率，但應(yīng)特別注意：枚舉時要嚴防遺漏，絕不重復(fù)． 角度3 電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59，每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻的四個數(shù)字之和為23的概率為（ ） A． B． C． D． 解析：本題考查古典概型概率的求解，數(shù)字之和為23的只有09：59，18：59，19：49，19：58四種可能，一天顯示的時間總共2460 =1 440種，故所求概率為，故選C 點評：本題中，如何得出隨機事件“任一時刻的四個數(shù)字之和為23”所包含的基本事件的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．在小時上的兩個數(shù)字之和最大為10，即19點，最小為0；在分鐘上的兩個數(shù)字之和最大為14，即每個小時段的第59分鐘．要想使四個數(shù)字之和等于23，只有以下兩種情形：當分鐘上的兩個數(shù)字之和等于14時，小時上的兩個數(shù)字之和只能等于9，也即只有9點和1 8點；當分鐘上的兩個數(shù)字之和等于13時，即每個小時段的第49分鐘和第58分鐘，小時上的兩個數(shù)字之和只能等于10，即19點. 角度4 （理科）已知一組拋物線其中為2，4，6，8中任取的一個數(shù)，為1，3，5，7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線交點處的切線相互平行的概率是（ ） A． B． C． D. 解析：本題結(jié)合拋物線、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考查古典概型概率的求解．這一組拋物線共條，從中任意抽取兩條，共有種不同的方法．它們在與直線交點處的切線的斜率 若，只有一種情形，（2+1），不合題意； 若，有兩種情形，（2+3，4+1），從中取出兩條，有種取法； 若，有三種情形，（2+5，4+3，6+1）從中取出兩條，有種取法； 若，有四種情形，（2+7，4+5，6+3，8+1）從中取出兩條，有種取法； 若，有三種情形，（4+7，6+5，8+3）從中取出兩條，有種取法； 若，有兩種情形，（8+5，6+7）從中取出兩條，有種取法； 若，只有一種情形，（8+7），不合題意 由分類加法計數(shù)原理知任取兩條拋物線且滿足題目要求的情形共有 故所求概率為，故選B 本題中所有的拋物線共16條，這些拋物線在處的斜率可以是3，5，7，9，11，13，15，按照這個斜率對16條拋物線進行分類，每一類中取出的兩條拋物線在與直線交點處的切線斜率是相等的，隨機事件的總數(shù)就是所有這些取法之和，而基本事件的總數(shù)就是在條拋物線中選取兩條． 角度5甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． （Ⅰ）若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； （Ⅱ）若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率． 解析：（Ⅰ）甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示．從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為： (A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共9種， 從中選出的兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共4種， 選出的兩名教師性別相同的概率為 （Ⅱ）從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為： (A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F(xiàn))(B，C)(B，D)(B，E)(B，F(xiàn))(C，D)(C，E)(C，F(xiàn))(D，E)(D，F(xiàn))(E，F(xiàn))共15種， 從中選出兩名教師來自同一學校的結(jié)果有： (A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F(xiàn))(E，F(xiàn))共6種， 選出的兩名教師來自同一學校的概率為. 重點3 幾何概型 1．幾何概型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型． 2．幾何概型的概率公式： 3．均勻隨機數(shù)：在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，其中每一個數(shù)產(chǎn)生的機會是一樣的，通過模擬一些試驗，可以代替我們做大量的重復(fù)試驗，從而求得幾何概型的概率，一般地，利用計算機或計算器的rand()函數(shù)可以產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)．a(chǎn)~b之間的均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生：利用計算機或計算器產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)x= rand()，然后利用伸縮和平移變換x= rand()*（b-a）+a，就可以產(chǎn)生a~b之間的均勻隨機數(shù)． 4．幾何概型的兩個特點：一是無限性，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是等可能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型和用古典概型求解概率問題的思路是相同的，同屬于“比例解法”．即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長度）”與“試驗的基本事件所占的總面積（總體積、總長度）”之比來表示． 5．幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型，兩者的共同點是基本事件是等可能的，不同點是基本事件數(shù)前者是無限的（基本事件可以抽象為點），后者是有限的．對于幾何概型而言，這些點盡管是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，其中某個點落在某區(qū)域上的概率與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)． 6．幾種常見的幾何概型概率的求法： （1）設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點，此點落在線段l上的概率為 （2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點，此點落在區(qū)域g上的概率為 （3）設(shè)空間區(qū)域v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域v上任投一點，此點落在區(qū)域V上的概率為 7．化解幾何概型問題要從以下三方面做起： （1）明確幾何概型的意義．幾何概型是基本事件個數(shù)有無限個，每個基本事件發(fā)生的可能性相等的一個概率模型，這個概率模型的顯著特點是每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例． （2）記住幾何概型的計算公式．幾何概型的計算就是找隨機事件所占有的幾何度量值和整個基本事件所占有的幾何度量值的比值．即如果整個基本事件占有的幾何度量值為M，隨機事件A所占有的幾何度量值為N，則事件A發(fā)生的概率 （3）掌握轉(zhuǎn)化策略．很多幾何概型往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計算上來，在解決問題時要善于根據(jù)問題的具體情況進行轉(zhuǎn)化，如把從兩個區(qū)間內(nèi)取出的實數(shù)看作坐標平面上的點的坐標，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的區(qū)域問題等，這種轉(zhuǎn)化策略是化解幾何概型試題難點的關(guān)鍵. [高考?？冀嵌萞 角度1 已知菱形ABCD的邊長為2，則該菱形內(nèi)的點到菱形的頂點A，B的距離均不小于1的概率是（ ） A． B. C. D. 解析：本題考查幾何概型的意義以及幾何概型概率的求解． 如圖所示，只有當點位于菱形內(nèi)的空白區(qū)域時，其到A，B的距離才均不小于1，菱形的面積為 兩個陰影部分的扇形面積之和恰好是一個半徑為1的半圓，其面積為，故空白區(qū)域的面積為， 所求的概率是，故選B 點評：經(jīng)分析可知本題中以點B為圓心的扇形，其圓弧恰好與菱形的邊AB，CD相切.幾何概型所依據(jù)的知識背景極為廣闊，面對不同的試題要認真進行分析. 角度2 已知關(guān)于的一元二次函數(shù)，其中實數(shù)滿足，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率是_______ 解析：本題結(jié)合不等式組所表示的平面區(qū)域考查幾何概型概率的求解，函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是，即.作出平面區(qū)域如圖所示. 問題等價于向區(qū)域OAB中任意擲點，點落在區(qū)域OAC（點C的坐標是） 中的概率，這個概率值是 [答案] 角度3 蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”概率為（ ） A． B． C． D. 解析：本題考查幾何概型概率的求解．蜜蜂“安全飛行”需要距正方體各表面距離均大于1，故其活動范圍在大正方體內(nèi)的一個棱長為l的小正方體中，所以蜜蜂“安全飛行”的概率為，故選D 幾何概型有“線型”的，其概率是隨機事件所在線段和所有基本事件所在線段的長度之比；“面積型”的，其概率是隨機事件所在面和所有基本事件所在面的面積之比；“體積型”的，其概率是隨機事件所在的空間幾何體和所有基本事件所在的空間幾何體的體積之比. 角度4如圖，在長方體中，分別是棱上的點（點與不重合），且，過的平面與棱相交，交點分別為. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）設(shè)在長方體內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于幾何體 內(nèi)的概率為.當點分別在棱上運動且滿足時，求的最小值. 點評：本題考查空間直線、平面的位置關(guān)系，以及空間幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理推證能力、運算求解能力. 解析：（Ⅰ）方法一：在長方體中， 又， 平面， 平面 平面； （Ⅱ）設(shè)，則長方體的體積為， 幾何體的體積 ， ，當且僅當時等號成立， 從而，當且僅當時等號成立， 的最小值為 方法二：（Ⅰ）同方法一 （Ⅱ）設(shè)，則長方體的體積為， 幾何體的體積 設(shè)，則 ，當且僅當，即時等號成立， 從而，當且僅當，即時等號成立， 的最小值為 重點4 n次獨立重復(fù)試驗的概率問題（理科） 1. n次獨立重復(fù)試驗概型：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，在n次獨立重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的概率為p，則在n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為這是概率計算中應(yīng)用非常廣泛的一種概率模型． 2．明確n次獨立重復(fù)試驗概型的適用環(huán)境：根據(jù)定義，n次獨立重復(fù)試驗是在相同條件下的重復(fù)試驗，也就是說每次試驗時事件A要么發(fā)生要么不發(fā)生，但事件A發(fā)生的概率是相同的．在實際問題中，我們往往把一些發(fā)生的概率相等，互相之間沒有必然聯(lián)系的事件看作獨立重復(fù)試驗，如5位同學參加競賽，每位同學獲獎的概率都是0.4，則獲獎的人數(shù)就可以看作5次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，可以根據(jù)獨立重復(fù)試驗概型進行解決.明確n次獨立重復(fù)試驗概型的適用環(huán)境，善于將實際問題歸結(jié)到這個概率模型是化解這類概率應(yīng)用問題的關(guān)鍵. 3．注意部分中的獨立重復(fù)試驗概型：在實際問題中，往往一個隨機事件其中的一部分或若干部分符合獨立重復(fù)試驗概型的條件，這時可以在這些部分中使用獨立重復(fù)試驗概型的計算公式，以達到簡化計算的目的． [高考?？冀嵌萞 角度1 在全國大學生智能汽車總決賽中，某高校學生開發(fā)的智能汽車在一個標注了平面直角坐標系的平面上從坐標原點出發(fā)，每次只能移動一個單位，沿x軸正方向移動的概率是，沿y軸正方向移動的概率為，則該智能汽車移動6次恰好移動到點(3，3)的概率為____． 解析：本題考查獨立重復(fù)試驗的概率．若該智能汽車移動6次恰好到點(3，3)，則智能汽車在移動過程中沿x軸正方向移動3次、沿y軸正方向移動3次，因此智能汽車移動6次后恰好位于點(3，3)的概率為 角度2 一袋中裝有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個，記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)10次停止，用表示取球的次數(shù)，則=______________ 解析：本題考查相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗概型.由已知，一次取球取到紅球的概率為，取到白球的概率為，，說明第12次取到的是紅球，前11次取到9個紅球和2個白球 角度3 有一種旋轉(zhuǎn)舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側(cè)面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5．若一個面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要維修這個面． （1）求恰好有兩個面需要維修的概率； （2）求至少3個面需要維修的概率． 解析：（1）因為一個面不需要維修的概率為 所以一個面需要維修的概率為 因此，6個面中恰好有兩個面需要維修的概率為 （2）設(shè)需要維修的面為X個，則， 又 故至少3個面需要維修的概率是 即至少3個面需要維修的概率是 點評：本題的難點是計算一個面不需要維修的概率．每個面上的5只彩燈正常發(fā)光的概率都相等，故可以看作是5次獨立重復(fù)試驗，一個面不需要維修的概率也即是5次獨立重復(fù)試驗中事件至少發(fā)生3次的概率，按照獨立重復(fù)試驗的概率公式計算即可． 重點5 離散型隨機變量的分布列、期望、方差（理科） 1.期望： 2.方差： 3.標準差： 4. 5.求離散型隨機變量的分布列 （1）求離散型隨機變量的分布列，應(yīng)按下述三個步驟進行： ①明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義； ②利用概率的有關(guān)知識，求出隨機變量每個取值的概率； ③按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證． （2）如果分布列中某一欄的概率比較復(fù)雜；可以利用分布列的性質(zhì)求解． （3）求隨機變量的分布列，基礎(chǔ)是概率的計算，如古典概型的概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率等． 6．期望、方差的求法 （1）對離散型隨機變量的數(shù)學期望應(yīng)注意如下幾點： ①數(shù)學期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均． ②是一個實數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機變量是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài). ③直接給出了的求法，即隨機變量的取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加． ④教材中給出的，說明隨機變量的線性函數(shù)的期望等于隨機變量的數(shù)學期望的線性函數(shù). （2）對離散型隨機變量的方差應(yīng)注意如下幾點： ①表示隨機變量對的平均偏離程度．越大，表明平均偏離程度越大，說明的取值越分散．反之，越小，的取值越集中；在附近．統(tǒng)計中常用來描述的分散程度． ②與一樣，也是實數(shù)，由的分布列唯一確定． ③對于結(jié)論：，在記憶和使用此結(jié)論時，請注意. （3）求離散型隨機變量的期望與方差韻方法： ①理解的意義，寫出可能取的全部值； ②求取每個值的概率； ③寫出的分布列； ④由期望的定義求； ⑤由方差的定義求. （4）當斷定隨機變量服從二項分布時，可不用列出分布列，直接求出與. （5）在計算離散型隨機變量的期望和方差時，首先要搞清其分布特征及分布列，然后準確應(yīng)用公式．充分利用期望和方差的性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運算過程，提高運算速度和準確度．如． （6）求離散型隨機變量的期望與方差的關(guān)鍵在于求出分布列，求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是過好四關(guān)： ①過好“題目的理解關(guān)”．要抓住題中關(guān)鍵字句，盡可能轉(zhuǎn)化為自己熟悉的模型． ②過好“隨機變量的取值關(guān)”．準確無誤地找出隨機變量的所有可能取值． ③過好“事件的類型關(guān)”，事件通常包括等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗事件等，在計算相應(yīng)的概率前要先確定事件的類型，尤其注意“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別． ④過好“概率的運算關(guān)”．運用公式 ，確保正確無誤. [高考?？冀嵌萞 角度1 （xx.江西）（本小題滿分12分） 某飲料公司招聘一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別.公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元.令X表示此人選對A飲料的杯數(shù).假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力. （1） 求X的分布列； （2） 求此員工月工資的期望. 解析：本題綜合考查了排列組合、互斥事件的概率、古典概型、隨機變量的分布列及期望等知識，以及數(shù)學建模、運算求解的能力. （1）的所有可能取值為, 則 即，，， ，. 則的分布列為 0 1 2 3 4 （2）令表示此員工的月工資，則的所有可能的取值為2 100，2 800，3 500，則 ，， 或者 所以 此員工月工資的期望為 角度2 （xx遼寧）（本小題滿分12分） 某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙． （Ⅰ）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學期望； （Ⅱ）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 品種甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品種乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該種植哪一品種？ 附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)． 解析：（Ⅰ）可能的取值為，且 則的分布列為 0 1 2 3 4 X的數(shù)學期望為 （Ⅱ）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙. 重點6 二項分布（理科） 二項分布：若， 判斷隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵是看某一事件是否進行了次獨立重復(fù)試驗，且每次試驗是否只有兩種結(jié)果，如果不滿足這兩個條件，隨機變量就不服從二項分布. [高考常考角度] 角度1（本小題滿分12分） 學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戲中， （i）摸出3個白球的概率； （ii）獲獎的概率； （Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望 解析：本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、二項分布、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力. (Ⅰ)（i）設(shè)“在1次游戲中摸出個白球”為事件，則 ． (ii)設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件，則， ， 因為和互斥，所以． (Ⅱ) 的所有可能值為 ，, 所以的分布列是 0 1 2 ． 突破2個高考難點 難點1 事件的互斥與對立（文、理） 解決互斥事件和對立事件問題的難點就是對事件的互斥性與對立性的辨別，在解題中要根據(jù)問題的具體情況作出準確的判斷．互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，其概率滿足加法公式，即若互斥，則；對立事件是必然有一個發(fā)生的兩個互斥事件，也就是說對立的兩個事件首先必須是互斥的，而且這兩個事件之和是一個必然事件，即一個事件與它的對立事件的概率之間有關(guān)系式，用好這個關(guān)系對解決概率問題是非常有用的，它往往能使復(fù)雜的問題簡單化． 典例1 甲：是互斥事件；乙：是對立事件，那么下列說法正確的是_____________ ①甲是乙的充分但不必要條件； ②甲是乙的必要但不充分條件； ③甲是乙的充要條件； ④甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件． 解析：兩個事件是對立事件，則它們一定互斥，反之不成立． 故選 ② 點評：互斥的兩個事件不一定是對立事件，因為這兩個事件可能都不發(fā)生，但對立的兩個事件一定互斥，即互斥是對立的必要條件，不互斥的兩個事件一定不是對立事件．該題的難點就是對立事件與互斥事件之間關(guān)系的掌握. 典例2 根據(jù)多年經(jīng)驗，張先生在本單位的一次考核中，獲得第一、二、三、四名的概率分別為0. 21，0.23，0. 25，0.28，計算張先生在一次考核中： （1）獲得第一名或第四名的概率； （2）名次不在前四名的概率． 解析：（1）記“獲得第一名”為事件，“獲得第四名”為事件，由于在一次考核中，與不可能同時發(fā)生，故與是互斥事件．則獲得第一名或第四名的概率為 （2）記“名次不在前四名”為事件E，則事件E為“獲得第一名、第二名、第三名、第四名”的對立事件，獲得第一名、第二名、第三名、第四名這幾個事件是彼此互斥的，故 點評：注意分析事件是否互斥，只有互斥事件才能利用概率的加法公式．當直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無法求時，可先轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率，這是化解概率計算難點的基本指導(dǎo)思想之一. 難點1 事件的互斥與對立（文、理） 概率、統(tǒng)計型綜合題重在考查考生根據(jù)生活、生產(chǎn)等實際問題的情境分析問題、解決問題的能力，考查考生的思維能力及運算能力．解決概率、統(tǒng)計型綜合題的關(guān)鍵，就是要善于從普通語言中捕捉到有用信息，并將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，因此在復(fù)習時要留意概率型綜合題中的新背景，夯實概率基礎(chǔ)知識與方法，注重對自己閱讀理解能力的培養(yǎng)，提高應(yīng)用數(shù)學知識與方法分析解決問題的能力． 典例 連續(xù)擲兩枚骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，求的概率. 解析：解法一：由向量夾角的定義及圖形可直觀地得出，當點位于直線及其下方時，滿足 點的總個數(shù)為36 又位于直線及其下方的點有（個） 故所求的概率為 解法二 由向量夾角公式，得，從而 當時，；當時，；當時，；…；當時，． 故所求概率為 解法三 由向量夾角公式，得，從而 顯然當時，有6種可能，根據(jù)對稱性，與的可能性相同，即各有15種可能 故所求概率為 難點1 獨立事件的概率、條件概率（理） 化解本難點要從以下三方面做起： 1．深入理解獨立事件的本質(zhì)：兩個事件的發(fā)生與否相互之間沒有關(guān)系，事件的相互獨立性的概念可以推廣到n個事件之間的相互獨立． 2．掌握條件概率的計算方法：條件概率具有概率的一般性質(zhì)，即概率值都在區(qū)間內(nèi)， 若互斥，則等，在古典概型中往往是根據(jù)古典概型的公式計算條件概率，而不是根據(jù)上述定義進行計算． 3．學會分析事件之間的關(guān)系：一個實際問題中往往涉及多個事件，正確理解這些事件之間的相互關(guān)系是解決問題的核心，一般的思路是先把所要解決的隨機事件分成若干個互斥事件的和，再把這些互斥事件中的每一個事件分成若干個相互獨立事件的乘積，把所要求的隨機事件的概率計算轉(zhuǎn)化為已知的一些事件的概率之積、之和的計算，這是化解概率計算問題難點的關(guān)鍵所在， 典例1 某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案． 方案一：考試三門課程，至少有兩門合格為考試通過； 方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都合格為考試通過． 假設(shè)某應(yīng)聘者這三門指定課程考試合格的概率分別是,且三門課程考試是否合格相互之間沒有影響． （1）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率； （2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大?。ㄕf明理由） 解析：設(shè)三門考試課程考試合格的事件分別為,相應(yīng)的概率為． （1）考試三門課程，至少有兩門合格的事件可表示為，設(shè)其概率為， 則 設(shè)在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都合格的概率為，則 算法解析：從三門課程任選2門，有AB,AC,BC3種情況，選中AB的概率為，然后A與B都合格的概率為ab （2） ，即用方案一通過考試的概率大于用方案二通過考試的概率. 典例2 設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程實根的個數(shù)（重根按一個計） （1）求方程有實根的概率； （2）求的分布列和數(shù)學期望； （3）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程有實根的概率. 解析：（1）基本事件的總數(shù)為個 若使方程有實根，則 當時， 當時， 當時， 當時， 當時， 當時， 目標事件的個數(shù)為，因此方程有實根的概率為 （2）由題意知，則 故 的分布列為 0 1 2 （3）記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件，“方程有實根”為事件 則 具體算法：事件的情況有共11個， 其中有實根的情況是后面7個 條件概率：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，其中表示A與B同時發(fā)生的概率. 典例3 某大學開設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響．已知某學生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用表示該學生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積．記“函數(shù)為上的偶函數(shù)”為事件，求事件的概率． 解析：設(shè)該學生選修甲、乙、丙的概率分別為，依題意得 若函數(shù)為上的偶函數(shù)，則 當時，該學生選修三門課程或三門課程都沒選 點評：本題的難點是根據(jù)已知條件求出學生選修甲、乙、丙的概率，破解此難點的關(guān)鍵是利用相互獨立事件、互斥事件與對立事件的概率把已知條件轉(zhuǎn)化為這三個概率的方程組進行求解，其中“至少選修一門的概率”，如果從正面求解則要利用互斥事件的概率來表示，比較復(fù)雜，而轉(zhuǎn)化為對立事件的概率則較為簡單．把復(fù)雜問題利用互斥事件或?qū)α⑹录D(zhuǎn)化為簡單事件的概率是求解概率問題中常用的一種數(shù)學思想，即正難則反易． 難點2 正態(tài)分布（理） 化解正態(tài)分布問題中的難點的依據(jù)是正態(tài)密度曲線的性質(zhì)： （1）曲線在軸上方，與軸無交點，且軸為其漸近線； （2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱； （3）曲線在處達到最大值； （4）當一定時，曲線隨著的變化而沿軸平移； （5）當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越尖陡，表示總體的分布越集中；越大，曲線越扁平，表示總體的分布越分散． 典例1 設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（ ） A. B. C. D. 解析：正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖象是一條關(guān)于直線對稱， 在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線， 越犬，曲線的最高點越低且較平緩；越小，曲線的最高點越高且較陡峭．故選A 點評：本題考查的就是正態(tài)分布的均值和方差的意義，理解均值和方差的意義，特別是方差的意義才能作出正確的判斷，方差越小，整體分布就越向均值集中，表現(xiàn)在正態(tài)密度曲線上就是曲線越“尖陡”． 典例2 xx年中國汽車銷售量達到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況；共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量服從正態(tài)分布，已知耗油量的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛． 解析：由題意可知,故正態(tài)密度曲線以為對稱軸，叉因為 故，又 所以耗油量大于9升的汽車大約有 輛 點評：服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上正態(tài)密度曲線和軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當時必然有，這是解決正態(tài)分布類試題的一個重要結(jié)論. 規(guī)避5個易失分點 易失分點1 誤解基本事件的等可能性 典例 若將一枚質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標有1、2、3、4、5、6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率為__________. 易失分提示：解本題時易出現(xiàn)的主要錯誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯誤地認為基本事件總數(shù)為11（點數(shù)和等于2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12），或者將點數(shù)和為4的事件錯誤地計算為(1，3)，(2，2)兩種，從而導(dǎo)致錯誤． 解析：將骰子先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點數(shù)記作點坐標,則共可得點坐標的個數(shù)為，而向上點數(shù)之和為4的點坐標有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3個， 故將骰子先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率為 易失分點2 幾何概型概念不清 典例1 在等腰中，直角頂點為，在的內(nèi)部任作一條射線，與線段交于點， 的概率為_________． 易失分提示：解本題易出現(xiàn)的錯誤在于對幾何概型的概念把握不準，理解模糊，將角度型的幾何概型錯誤地當成長度型幾何概型求解，得到以下錯解： 根據(jù)題設(shè)，點隨機地落在線段上，故線段為基本事件的區(qū)域，當位于線段上時，，故線段為所求 解析：由于在內(nèi)作射線，等可能分布的是在內(nèi)的任一位置（如圖所示），因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是，在上取一點，使，則 易失分點3 互斥和對立相混淆 典例 判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明道理. 從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，點數(shù)都是從1—10）中，任取一張． （1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； （2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”． 易失分提示：對事件互斥意義不明確，對事件的互斥與對立之間的關(guān)系不清楚，就會出現(xiàn)錯誤的判斷．如對事件“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”的判斷：這兩個事件不可能同時發(fā)生，忽視了“所有的牌只有紅色和黑色兩種，抽出的牌不是紅色就是黑色，這兩個事件必然有一個發(fā)生”，就會作出這兩個事件是互斥而不對立的錯誤判斷． 解析：（1）是互斥事件，不是對立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對立事件． （2）既是互斥事件，又是對立事件． 原因是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件． （3）不是互斥事件，當然不可能是對立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9"這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽的點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當然也不可能是對立事件． 易失分點4 互斥事件與相互獨立事件相混淆（理） 典例 某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9，0.8，0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響． （1）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率； （2）求這三人該課程考核都合格的概率．（結(jié)果保留三位小數(shù)） 易失分提示：解本題時可以把隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，再把每個事件分成若干個相互獨立事件的積進行解答．容易出錯的地方就是在分拆時可能混淆了互斥事件與相互獨立事件，從而造成分拆錯誤． 解析： 記“甲理論考核合格”為事件，“乙理論考核合格”為事件，“丙理論考核合格”為事件， 記為的對立事件，，記“甲實驗考核合格”為事件，“乙實驗考核合格”為事件，“丙實驗考核合格”為事件． （1）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件， 則 所以理論考核中至少有兩人合格為 （2）記“三人該課程考核都合格”為事件 則 所以這三人該課程考核都合格的概率為 易失分點5 對二項分布理解不準（理） 典例 某氣象站天氣預(yù)報的準確率為80%，計算：（結(jié)果保留到小數(shù)點后面第2位） （1）5次預(yù)報中恰有2次準確的概率； （2）5次預(yù)報中至少有2次準確的概率5 （3）5次預(yù)報中恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確的概率. 易失分提示： 由于5次預(yù)報之間沒有什么影響，故這是一個5次獨立重復(fù)試驗的概率模型，我們可以利用獨立重復(fù)試驗和二項分布的知識加以解決.其中第（1）問是5次獨立重復(fù)試驗事件恰好發(fā)生2次的概率，第（2）利用對立事件的概率解決，第（3）問相當于事件在第3次發(fā)生，第1，2，4，5這4次獨立重復(fù)試驗事件發(fā)生1次的概率．解本題容易出錯的地方，一是對“恰有2次”、“至少有2次”理解錯誤，誤用二項分布；二是對隨機事件“5次預(yù)報中恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確”的意義理解錯誤，不能把問題歸結(jié)為“在第1,2,4,5次預(yù)報中有1次準確，在第3次也預(yù)報準確”，出現(xiàn)仍然用5次獨立重復(fù)試驗的概率模型解決問題的錯誤． 解析：設(shè)“5次預(yù)報中恰有2次準確”為事件A，“5次預(yù)報中至少有2次準確”為事件B，“5次預(yù)報恰有2次準確，且其中第3次預(yù)報準確”為事件C （1） （2） （3）