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2019-2020年高考數(shù)學二輪復(fù)習第二部分講重點小題專練作業(yè)12理 一、選擇題 1．(xx蘭州實戰(zhàn)模擬)已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，B1C，C1D與底面ABCD所成的角分別為60和45，則異面直線B1C和C1D所成的角的余弦值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　A 解析　如圖，連接A1D，A1C1，記BC＝a，由B1C與底面ABCD所成的角為60，可得∠B1CB＝60，∴BB1＝a，B1C＝2a.由C1D與底面ABCD所成的角為45，可得∠C1DC＝45，∴CD＝CC1＝a.∵B1C∥A1D，∴∠C1DA1是異面直線B1C與C1D所成的角．在△A1DC1中，A1C1＝2a，A1D＝2a，C1D＝a，由余弦定理，得cos∠C1DA1＝，選A. 2．(xx廣州綜合測試)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點，過C1，B，M作正方體的截面，則這個截面的面積為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　本題考查正方體的性質(zhì)．設(shè)AA1的中點為N，連接MN，NB，BC1，MC1，AD1，則MN∥AD1∥BC1，平面MNBC1就是過正方體中C1，B，M三點的截面，因為正方體的棱長為2，所以A1M＝A1N＝1，所以MN＝，同理BC1＝2.又MC1＝BN＝＝，所以梯形MNBC1的高h＝＝，所以所求截面的面積為S梯形MNBC1＝(＋2)＝，故選C. 3．(xx鄭州三次預(yù)測)如圖是某個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是(　　) A．2＋ B．2＋ C．4＋ D．4＋ 答案　A 解析　由三視圖知該幾何體是一個三棱柱與一個半圓柱的組合體，其中三棱柱的底面是腰長為的等腰直角三角形，高為2，半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以該幾何體的體積為2＋π12＝2＋，故選A. 4．(xx湖北四校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π 答案　C 解析　該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的結(jié)合體，其表面積為S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π. 5．(xx蘭州三校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則下列說法正確的是(　　) ①該幾何體的體積為； ②該幾何體為正三棱錐； ③該幾何體的表面積為＋； ④該幾何體外接球的表面積為3π. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案　B 解析　根據(jù)該幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，其底面為一個直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1，它的另外三條棱長均為，顯然其是一個正三棱錐，②正確；該幾何體的體積V＝111＝，①正確；該幾何體的表面積S＝311＋＝＋，③錯誤；該幾何體外接球的直徑為2R＝＝，所以其外接球的表面積為4πR2＝3π，④正確．故選B. 6．(2117福州質(zhì)檢)三棱錐A－BCD中，△ABC為等邊三角形，AB＝2，∠BDC＝90，二面角A－BC－D的大小為150，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為(　　) A．7π B．12π C．16π D．28π 答案　D 解析　滿足題意的三棱錐A－BCD如圖所示，設(shè)三棱錐A－BCD的外接球的球心為O，半徑為R，△BCD，△ABC的外接圓的圓心分別為O1，O2，易知O，O1，O2在同一平面內(nèi)，由二面角A－BC－D的大小為150，易得∠OO1O2＝150－90＝60.依題意，可得△BCD，△ABC的外接圓的半徑分別為r1＝＝、r2＝＝2.在等邊△ABC中，由AB＝2，得AO1＝3，O1O2＝1.在Rt△OO2O1中，∵∠OO1O2＝60，O1O2＝1，∴OO2＝.在Rt△OO2B中，得OB＝＝，∴三棱錐A－BCD的外接球表面積為28π，故選D. 7．(xx銀川質(zhì)檢)點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB＝BC＝，∠ABC＝90，若四面體ABCD體積的最大值為3，則這個球的表面積為(　　) A．2π B．4π C．8π D．16π 答案　D 解析　本題考查四面體的外接球的表面積．因為S△ABC＝()2＝3為定值，要使四面體ABCD的體積最大，只需點D到平面ABC的距離h最大．由題意得S△ABCh≤3，解得h≤3，所以h的最大值為3.當h最大時，設(shè)AC的中點為E，因為AB＝BC，AB⊥BC，所以AC＝2，DE⊥平面ABC，且球心在DE上．設(shè)球的半徑為r，則r2＝(3－r)2＋()2，解得r＝2，所以這個球的表面積為4πr2＝4π22＝16π，故選D. 8．(xx合肥質(zhì)檢)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60，AB＝AC＝2，PA＝2，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為(　　) A．20π B．24π C．28π D．32π 答案　A 解析　由題意可得△ABC是邊長為2的正三角形，設(shè)其外接圓的半徑為r，則2r＝＝4，r＝2.又外接球的球心在PA的中垂面上，則外接球的半徑R＝＝，所以該球的表面積為4πR2＝4π()2＝20π，選項A正確． 9．(xx東北四市一模)如圖，某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的各條棱中最長的棱和最短的棱長度之和為(　　) A．6 B．4 C．2＋2 D．2＋2 答案　D 解析　本題考查空間幾何體的三視圖．由三視圖知，該幾何體是底面為腰長為2的等腰直角三角形、長為4的側(cè)棱垂直于底面(垂足為腰與底邊交點)的三棱錐，所以該三棱錐的最長棱的棱長為＝2，最短棱的棱長為2，所以該幾何體中最長的棱和最短的棱長度之和為2＋2，故選D. 10．(xx武漢調(diào)研)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由三視圖知，該幾何體是三棱柱削去一個同高的三棱錐，其中三棱柱的高為2，底面是直角邊為2的等腰直角三角形，三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形，所以該幾何體的體積V＝222－222＝，故選A. 11．(xx烏魯木齊調(diào)研)球O與棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1的各個面都相切，點M為棱DD1的中點，則平面ACM截球O所得截面的面積為(　　) A. B．π C. D. 答案　D 解析　本題考查球的性質(zhì)、棱錐的體積公式及等體積法的應(yīng)用．由題意得球O為正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為R，則R＝1.設(shè)球心到截面的距離為d，截面圓的半徑為r，連接OA，OC，OM.由V三棱錐O－ACM＝V三棱錐M－AOC，得S△ACMd＝S△AOC，即2d＝21，解得d＝.又d2＋r2＝R2＝1，所以r＝，所以截面的面積為π()2＝，故選D. 根據(jù)題意得出球心到截面的距離是解題的關(guān)鍵． 12．(xx衡陽二模)如圖，等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′ED是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是(　　) A．動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上 B．異面直線A′E與BD不可能垂直 C．三棱錐A′－EFD的體積有最大值 D．恒有平面A′GF⊥平面BCED 答案　B 解析　依題意可知四邊形ADFE為菱形，對角線AF與DE互相垂直平分，故A正確；在旋轉(zhuǎn)過程中DE始終垂直GF和GA′，故DE⊥平面A′GF，所以恒有平面A′GF⊥平面BCED，故D正確；當A′G⊥平面ABC時，三棱錐A′－EFD的體積取得最大值，故C正確；因為EF∥BD，故異面直線A′E與BD所成的角為∠FEA′，旋轉(zhuǎn)過程中有可能為直角，故B錯誤． 13.(xx江西聯(lián)考)如圖，在球的內(nèi)接三棱錐A－BCD中，AB＝8，CD＝4，平面ACD⊥平面BCD，且△ACD與△BCD是以CD為底的全等的等腰三角形，則三棱錐A－BCD的高與其外接球的直徑的比值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)該三棱錐的外接球的半徑為R，取AB，CD的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，由題意易得AF⊥BF，AF＝BF＝4，EF＝4，易知三棱錐A－BCD的外接球的球心O在線段EF上，連接OA，OC，有R2＝AE2＋OE2＝16＋OE2?、?，R2＝CF2＋OF2＝4＋(4－OE)2?、?，由①②可得R2＝，所以R＝，所以2R＝.又三棱錐A－BCD的高AF＝4，所以三棱錐A－BCD的高與其外接球的直徑的比值為＝，故選B. 二、填空題 14.(xx洛陽調(diào)研)如圖，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圓是以邊AB的中點為圓心的圓，點M、N、P分別為棱VA、VC、VB的中點，則下列結(jié)論正確的是________(把正確結(jié)論的序號都填上)． ①MN∥平面ABC； ②OC⊥平面VAC； ③MN與BC所成的角為60； ④MN⊥OP； ⑤平面VAC⊥平面VBC. 答案　①④⑤ 解析　對于①，因為點M、N分別為棱VA、VC的中點， 所以MN∥AC，又MN?平面ABC， 所以MN∥平面ABC，所以①正確； 對于②，假設(shè)OC⊥平面VAC，則OC⊥AC， 因為AB是圓的直徑，所以BC⊥AC，矛盾， 所以②是不正確的； 對于③，因為MN∥AC，且BC⊥AC， 所以MN與BC所成的角為90， 所以③是不正確的； 對于④，易得OP∥VA，又VA⊥MN， 所以MN⊥OP，所以④正確的； 對于⑤，因為VA⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以VA⊥BC， 又BC⊥AC，且AC∩VA＝A， 所以BC⊥平面VAC，又BC?平面VBC， 所以平面VAC⊥平面VBC，所以⑤是正確的．綜上，應(yīng)填①④⑤. 15．(xx天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________． 答案　π 解析　設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝18，得a＝，設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R＝a＝3，得R＝，所以該球的體積為πR3＝π()3＝π. 16．(xx西城區(qū)二模)在空間直角坐標系O－xyz中，四面體A－BCD在xOy，yOz，zOx坐標平面上的一組正投影圖形如圖所示(坐標軸用細虛線表示)．該四面體的體積是________． 答案　 解析　本題考查空間幾何體的體積．由題得在空間直角坐標系O－xyz中的四面體A－BCD如圖所爾，其中正方體各棱長為4，由圖易得四面體A－BCD的頂點坐標分別為(2，0，2)，(2，1，0)，(2，2，0)，(－2，0，0)，所以V四面體A－BCD＝142＝. 17．(xx四川)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________． 答案　 解析　由正視圖知，底面三角形是腰長為2，底邊為2的等腰三角形，三棱錐的高為1，所以該三棱錐的體積V＝(21)1＝. 18．(xx杭州質(zhì)檢)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3，表面積是________cm2. 答案　40　16＋32 解析　本題考查三視圖、幾何體的表面積、體積．由三視圖可得該幾何體是一個五面體，底面是邊長為8和4的矩形，面積是32，兩端的側(cè)面是等腰三角形，底邊長為4、高為，面積為24＝4，前后側(cè)面是等腰梯形，上底、下底、高分別是4，8，，面積為2(4＋8)＝12，所以該幾何體的表面積為4＋12＋32＝16＋32.該五面體可分為一個三棱柱和一個四棱錐，三棱柱的一個側(cè)面積是16，該側(cè)面上的高為3，體積為16 3＝24；四棱錐的底面是邊長為4的正方形，高為3，體積為163＝16，則該五面體的體積是24＋16＝40. 19.(xx貴陽調(diào)研)如圖，從棱長為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD－ A1B1C1D1中分離出來由三個正方形面板組成的幾何圖形．如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為________cm3. 答案　36 解析　最多能盛多少水，實際上是求三棱錐C1－CD1B1的體積． 又V三棱錐C1－CD1B1＝V三棱錐C－B1C1D1＝(66)6＝36(cm3)， 所以用圖示中這樣一個裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水． 20. (xx合肥調(diào)研)如圖，正方形ABCD中，沿BD將△ABD翻折成△A′BD，形成四面體A′－BCD，并記二面角A′－BD－C的大小為α，則下列結(jié)論正確的是________． ①不論α為何值，都有A′C⊥BD； ②僅當α＝90時，A′B與CD所成角為90； ③僅當α＝120時，四面體A′－BCD的體積最大； ④不論α為何值，四面體A′－BCD的外接球的體積都為定值． 答案?、佗? 解析　 序號 正誤 原因 ① √ 取BD中點O，連接OA′、OC，則OA′⊥BD、OC⊥BD，∴BD⊥平面A′OC，又A′C?平面A′OC，∴A′C⊥BD ② 只有翻折到A′與C重合時，A′B與CD所成角為90 ③ 由體積公式V＝S△BCDh知，當α＝90，即OA′⊥平面BCD時，四面體A′－BCD的體積最大 ④ √ 不論α為何值，都有OA′＝OB＝OC＝OD，∴四面體A′－BCD的外接球的球心為點O，半徑R＝OB為定值，∴外接球的體積為定值