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2019-2020年高考數(shù)學 專題41 圓錐曲線中的對稱問題黃金解題模板 【高考地位】 在直線與圓錐曲線的位置關系中，常出現(xiàn)這樣一類問題：一個圓錐曲線上存在兩點關于某直線對稱，求方程中參數(shù)的范圍. 這類問題涉及的知識面廣，解題靈活性大，是高考中的一個熱點和難點. 因此，掌握這類問題的解法是必要的和重要的. 【方法點評】 方法一 判別式法 使用情景：圓錐曲線中存在點關于直線對稱問題 解題模板：第一步 假設這樣的對稱點A、B存在，利用對稱中的垂直關系設出兩點A、B所在的直線方 程； 第二步 聯(lián)立AB所在直線方程與圓錐曲線方程，求出中點C的坐標； 第三步 把C的坐標代入對稱直線，求出兩個參數(shù)之間的等式； 第四步 利用聯(lián)立后方程的△求出其中需求參數(shù)的范圍. 例1. 【xx湖南省邵陽市洞口縣第一中學模擬】在中，頂點所對三邊分別是已知,且成等差數(shù)列. (I )求頂點的軌跡方程； (II) 設頂點A的軌跡與直線相交于不同的兩點，如果存在過點的直線,使得點關于對稱，求實數(shù)的取值范圍 【點晴】第（II）題的關鍵是理解求實數(shù)的取值范圍，其實是要解關于的不等式，所以要通過已知條件找到該不等式.而通過直線與橢圓有兩個交點可得判別式大于，即可得包含的不等式，而通過該不等式結合對稱的條件得到的與的關系式即可求出的取值范圍. 例2、已知橢圓的離心率是，且過點． （Ⅰ）求橢圓的方程． （Ⅱ）設橢圓與直線相交于不同的兩點、，又點，當時，求實數(shù)的取值范圍． 【解析】過點, , 橢圓的方程為 當時， ， 則解得 綜上所述， 的取值范圍是 【變式演練1】在拋物線上恒有兩點關于直線對稱，求的取值范圍． 【解析】設、關于直線對稱，直線方程為，代入得，，設、，中點，則 ∵點在直線上，∴ ∴，代入，得，即，解得。 【變式演練2】求證：拋物線=－1上不存在關于直線=對稱的兩點。 證明 如圖2-83，若P、Q兩點關于y=x對稱，可設P(、)、Q(，)且≠，、∈R，則： 兩式相減得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判別式△=4－8<0。所以R 這與題設矛盾。 ∴PQ兩點不存在。 方法二 點差法 使用情景：圓錐曲線中存在點關于直線對稱問題 解題模板：第一步 設出兩點和中點坐標（x，y）； 第二步 用“點差法”根據(jù)垂直關系求出x，y滿足的關系式； 第三步 聯(lián)立直線方程，求出交點，即中點； 第四步 由中點位置及對應范圍求出參數(shù)取值范圍. 例3、若拋物線y=-1上總存在關于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍． 【變式演練3】如圖傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點． （Ⅰ）求拋物線的焦點的坐標及準線的方程； （Ⅱ）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點，證明為定值，并求此定值． 解析如下 （I）解：設拋物線的標準方程為，則，從而． 因此焦點的坐標為， 又準線方程的一般式為． 從而所求準線的方程為． 解法二：設，，直線的斜率為，則直線方程為． 將此式代入得，故． 記直線與的交點為，則，， 故直線的方程為， 令，得點的橫坐標，故． 從而為定值． 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點. （Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程； （Ⅱ）求證：A為線段BM的中點. 【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點坐標為（，0），準線方程為.（Ⅱ）詳見解析. （Ⅱ）由題意，設直線l的方程為（），l與拋物線C的交點為，. 由，得. 則，. 因為點P的坐標為（1，1），所以直線OP的方程為，點A的坐標為. 直線ON的方程為，點B的坐標為. 因為 ， 所以. 故A為線段BM的中點. 【考點】1.拋物線方程；2.直線與拋物線的位置關系 【名師點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，考查了轉換與化歸能力，當看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關系，找準題設條件中突顯的或隱含的等量關系，把這種關系“翻譯”出來，有時不一定要把結果及時求出來，可能需要整 體代換到后面的計算中去，從而減少計算量. 2. 【xx天津，理19】設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為. （I）求橢圓的方程和拋物線的方程； （II）設上兩點，關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程. 【答案】 （1）， .（2），或. 【考點】直線與橢圓綜合問題 【名師點睛】圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關系的特點，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯(lián)立方程組求出點的坐標，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是一種思想，就是利用大熟地方法解決幾何問題，坐標化，方程化，代數(shù)化是解題的關鍵. 3. 【xx高考四川文科】在平面直角坐標系中，當P(x，y)不是原點時，定義P的“伴隨點”為；當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ?若點A的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點A. ?單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上. ?若兩點關于x軸對稱，則他們的“伴隨點”關于y軸對稱 ④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線. 其中的真命題是 . 【答案】②③ 4. 【xx高考新課標1文數(shù)】（本小題滿分12分）在直角坐標系中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C：于點P,M關于點P的對稱點為N,連結ON并延長交C于點H. （I）求； （II）除H以外,直線MH與C是否有其它公共點？說明理由. 【答案】（I）2（II）沒有 【解答】 試題分析：先確定,的方程為,代入整理得,解得,,得,由此可得為的中點,即.（II） 把直線的方程,與聯(lián)立得,解得,即直線與只有一個公共點,所以除以外直線與沒有其它公共點. 考點：直線與拋物線 【名師點睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關系,直線與圓錐曲線的位置關系是一個很寬泛的考試內容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成；解析幾何中的證明問題通常有以下幾類：證明點共線或直線過定點；證明垂直；證明定值問題.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應用. 【反饋練習】 1. 【xx云南昆明一中一?！恳阎獎狱c滿足： . （1）求動點的軌跡的方程； （2）設過點的直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為（點與點不重合），證明：直線恒過定點，并求該定點的坐標. 【答案】（1）；（2）直線過定點 ，證明見解析. 【解析】試題分析：（1）動點到點， 的距離之和為，且，所以動點的軌跡為橢圓，從而可求動點的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由 得，，根據(jù)韋達定理可得 ，直線的方程為，即可證明其過定點. 試題解析：（1）由已知，動點到點， 的距離之和為， 且，所以動點的軌跡為橢圓，而， ，所以， 所以，動點的軌跡的方程： . 2．【xx江西宜春六校聯(lián)考】橢圓： 的離心率為，過右焦點垂直于軸的直線與橢圓交于， 兩點且，又過左焦點任作直線交橢圓于點． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）橢圓上兩點， 關于直線對稱，求面積的最大值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. （Ⅱ）依題意直線不垂直軸，當直線的斜率時，可設直線的方程為（），則直線的方程為． 由得， ，即，① 設的中點為，則， ， 點在直線上，∴，故，② 此時與①矛盾，故時不成立． 當直線的斜率時， ， （， ）， 的面積， ∵， ∴， ∴面積的最大值為，當且僅當時取等號． 3．【xx黑龍江齊齊哈爾一?！咳鐖D，已知橢圓的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，兩個焦點分別為， ，四邊形的面積是四邊形的面積的2倍. （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點， 是橢圓上位于直線兩側的兩點.若直線過點，且，求直線的方程. 【答案】（1）;（2） （2）由（1）易知點的坐標分別為. 因為，所以直線的斜率之和為0. 設直線的斜率為，則直線的斜率為， ， 直線的方程為，由 可得， ∴， 同理直線的方程為， 可得， ∴， ， ∴滿足條件的直線的方程為， 即為. 4．【xx江西宜春六校聯(lián)考】已知點，點在軸上，動點滿足，且直線與軸交于點， 是線段的中點． （Ⅰ）求動點的軌跡的方程； （Ⅱ）若點是曲線的焦點，過的兩條直線， 關于軸對稱，且交曲線于、兩點， 交曲線于、兩點， 、在第一象限，若四邊形的面積等于，求直線， 的方程． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，設直線： ，則得， ， ， 依題意可知，四邊形是等腰梯形， ， 由，即，∴， ∴， 所以． 直線， 的方程分別為， ． 5．【xx天津市耀華中學模擬】中心在原點，焦點在軸上的橢圓，下頂點，且離心率. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）經(jīng)過點且斜率為的直線交橢圓于， 兩點.在軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由. ∴ ∴ 由于對任意恒成立，因此 ∴恒成立 ∴恒成立 即恒成立，因此 綜上，存在點滿足題意. 6．【xx浙東北聯(lián)盟】已知， 為拋物線上的兩個動點，其中，且 （1）求證：線段的垂直平分線恒過定點，并求出點坐標； （2）求面積的最大值． 7. 已知橢圓（）的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于， 兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為． （1）求橢圓的方程； （2）當時，求直線的方程； （3）記橢圓的右頂點為，點（）在橢圓上，直線交軸于點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點．問： 軸上是否存在點，使得（為坐標原點）？若存在，求點坐標；若不存在，說明理由． 【解析】（1）由已知，點在橢圓上， 因此解得 所以橢圓的方程為． （3）假設軸上存在點，使得， “存在點使得”等價于“存在點使得” 即滿足， 因為，所以， 直線的方程為， 所以，即， 因為點與點關于軸對稱，所以． 同理可得， 因為， ， ， 所以， 所以或， 故在軸上存在點，使得，點的坐標為或． 8. 【xx四川省成都市第七中學模擬】已知橢圓： 的左、右焦點分別為 且離心率為， 為橢圓上三個點， 的周長為，線段的垂直平分線經(jīng)過點. （1）求橢圓的方程； （2）求線段長度的最大值. 點睛：圓錐曲線的大題一般第一問都是求曲線方程，第二問求一些最值范圍問題；或者證明定值定點問題；求參數(shù)范圍問題；做這些題目時要注意，一是轉化題目中的條件，比如：垂直平分，實質就是斜率的關系；二是注意計算中能否因式分解，提公因式等技巧。 9. 【xx河南鄭州市第一中模擬】已知橢圓： 的離心率與雙曲線： 的離心率互為倒數(shù)，且經(jīng)過點． （1）求橢圓的標準方程； （2）如圖，已知是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且與交于點， 為坐標原點，求證： 三點共線． （2）因為線段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為. 所以可設線段所在直線的方程為， 設點， 聯(lián)立，消去，并整理得，