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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題9 思想方法專題 第二講 數(shù)形結(jié)合思想 理 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)． 數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化．它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參數(shù)，合理用參數(shù)，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形思數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍． 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及： 1．集合及其運(yùn)算問題(韋恩圖與數(shù)軸)． 2．用函數(shù)圖象解決有關(guān)問題(如方程、不等式、函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)等)． 3．運(yùn)用向量解決有關(guān)問題． 4．三角函數(shù)的圖象及其應(yīng)用問題． 5．解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合問題． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”)． (1)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．() (2)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同．() (3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．() (4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(√) (5)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象．() 　　　　　　　　　　　 1．(xx沈陽三模)對(duì)實(shí)數(shù)a與b，定義新運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(B) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：由題意得f(x)＝ 由y＝f(x)－c的零點(diǎn)恰有兩個(gè)，即方程f(x)＝c恰有兩根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，滿足條件的c為(－∞，－2]∪. 2．方程sin＝x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是(B) A．2 B．3 C．4 D．以上均不對(duì) 解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝sin與y2＝x的圖象(如下圖所示)． 3．(xx新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP＝x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為(B) 解析：當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f(x)＝tan x＋，圖象不會(huì)是直線段，從而排除A，C. 當(dāng)x∈[，]時(shí)，f()＝f()＝1＋，f()＝2.∵ 2＜1＋，∴ f()＜f()＝f()，從而排除D，故選B. 4．(xx江蘇卷)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3)時(shí)，f(x)＝，若函數(shù)y＝f(x)－a在區(qū)間[－3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 解析：作出函數(shù)f(x)＝，x∈[0，3)的圖象，可見f(0)＝，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)極大＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在x∈[－3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)和圖象與直線y＝a在[－3，4]上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)f(x)的周期為3，因此直線y＝a與函數(shù)f(x)＝，x∈[0，3)的應(yīng)該是4個(gè)交點(diǎn)，則有a∈. 一、選擇題 1．已知0＜a＜1，則方程a|x|＝|logax|的實(shí)根個(gè)數(shù)為(B) A．1個(gè)　　　　　　　　B．2個(gè) C．3個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) 解析：判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖象y＝a|x|與y＝|logax|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖所示)，易知兩圖象只有2個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根． 2．(xx安徽卷)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是(C) A．a(chǎn)>0，b<0，c>0，d>0　　B．a(chǎn)>0，b<0，c<0，d>0 C．a(chǎn)<0，b<0，c<0，d>0　　D．a(chǎn)>0，b>0，c>0，d<0 3．定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，f(x)＝x－2，則(C) A．f＜f　 B．f＞f C．f(sin 1)＜f(cos 1)　　　D．f＞f 解析：由f(x)＝f(x＋2)知T＝2為f(x)的一個(gè)周期，設(shè)x∈[－1，0]，知x＋4∈[3，4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示： A：sin ＜cos ?f＞f； B：sin＞cos?f＜f； C：sin 1＞cos 1?f(sin 1)＜f(cos 1)； D：sin＞cos?f＜f. 4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1、拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(A) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．3 C. D. 解析：記拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，是F(1，0)，注意到直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，于是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l2的距離等于|PF|，問題即轉(zhuǎn)化為求拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離與它到焦點(diǎn)F(1，0)的距離之和的最小值，結(jié)合圖形，可知，該最小值等于焦點(diǎn)F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即等于＝2.故選A. 5．已知P為拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和最小值是(C) A．5 B．8 C.－1 D.＋2 解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0，4)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d，由拋物線的定義有d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1. 6．函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(B) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析：解法一　因?yàn)閒(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋23－2＝8，即f(0)f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)不斷，故f(x)在(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1. 解法二　設(shè)y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象(如上圖所示)，可知B正確． 7．(xx北京卷)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 解析：令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖． 由得 ∴ 結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}． 二、填空題 8．當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，(x－1)2＜logax恒成立，則a的取值范圍為(1，2]． 解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的圖象，若y＝logax過(2，1)，則loga2＝1，∴a＝2.結(jié)合圖形，若使x∈(1，2)時(shí)，(x－1)2＜logax恒成立，則1＜a≤2. 三、解答題 9．已知0＜x＜π，方程sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＋a＝0有3個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍． 解析：原方程可化為2＋sin 2x＋cos 2x＋a＝0， 即sin＝－a－2. 令f(x)＝sin(2x＋)(0＜x＜)， 則原方程有3個(gè)實(shí)根等價(jià)于y＝f(x)與y＝－a－2有3個(gè)交點(diǎn)． 由圖象可得－1＜－a－2≤1， ∴a的取值范圍為[－3，－1)． 10．已知圓C過橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)，且圓心在x的正半軸上，且直線l：y＝x－1被圓C截得的弦長為2. (1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)從圓C外一點(diǎn)P向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析：(1)在橢圓＋y2＝1中，c2＝a2－b2＝1，所以c＝1，于是右焦點(diǎn)為(1，0)．設(shè)圓心為(t，0)(t＞0)，圓心到直線的距離為d＝.注意到弦長、半徑、弦心距滿足：＝r2－d2，即＋2＝(t－1)2，解之得t＝3或t＝－1(舍去)，半徑r＝3－1＝2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4. (2)如圖，不妨設(shè)P(x，y)，由于|PM|2＝|PC|2－|CM|2，且|PM|＝|PO|， 所以|PO|2＝|PC|2－|CM|2，也即|PC|2－|PO|2＝|CM|2＝4，于是(x－3)2＋y2－(x2＋y2)＝4，即x＝，即點(diǎn)P所在曲線方程為x＝.要使|PM|最小，由|PM|2＝|PC|2－4，只需|PC|最小，也即圓心到直線x＝的距離最小，可知點(diǎn)P在x軸上時(shí)滿足題意，即點(diǎn)P.