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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)一輪復(fù)習(xí) 第22課時(shí) 矩形、菱形 一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理（課前完成） 1. （一）定義: （1） 矩形的定義：__________________________的平行四邊形叫矩形． (2）菱形的定義：有一組_________________________相等的平行四邊形叫菱形． 2. 矩形、菱形的性質(zhì)與判定： 矩形的性質(zhì)： 矩形的常用判定方法： ① 矩形的四個(gè)角都是_______； ①有______角是直角的四邊形是矩形； ② 矩形的對(duì)角線_________； ②對(duì)角線相等的_____________是矩形； 推論：直角三角形斜邊上的中線等于 ； 推論：如果一個(gè)三角形一邊上的____ 那么這個(gè)三角形是_______________. 菱形的性質(zhì)： 菱形的常用判定方法： ①菱形的四條邊________； ①四條邊相等的四邊形是______； ②菱形的對(duì)角線互相_______，并且___ ②________互相垂直的平行四邊形是菱形 3. 矩形、菱形的對(duì)稱性與面積： ①矩形既是 對(duì)稱圖形,又是 圖形,它有 條對(duì)稱軸.S= ②菱形既是 對(duì)稱圖形,又是 圖形,它有 條對(duì)稱軸.S= = 二、基礎(chǔ)診斷題 1．如圖．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC 2．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連接CE，則CE的長(zhǎng)為（　　） A．3　　B．3.5　　C．2.5　　D．2.8 3. 如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC．BD的長(zhǎng)分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（　?。? A． B． C． D． 2題圖 3題圖 1題圖 三、典型例題 圖1 例題1（xx年浙江嘉興）已知：如圖，在?ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)BE，DF． （1）求證：△DOE≌△BOF． （2）當(dāng)∠DOE等于多少度時(shí)，四邊形BFED為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 分析： （1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）； （2）首先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案． 例題2（xx?湘潭）如圖，將矩形ABCD沿BD對(duì)折，點(diǎn)A落在E處，BE與CD相交于F，若AD=3，BD=6． （1）求證：△EDF≌△CBF； （2）求∠EBC． 考點(diǎn)： 翻折變換（折疊問(wèn)題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì) 分析： （1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得DE=BC，∠E=∠C=90，對(duì)頂角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF； （2）在Rt△ABD中，根據(jù)AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30，然后利用折疊的性質(zhì)可得∠DBE=30，繼而可求得∠EBC的度數(shù)． 例題3（xx?邵陽(yáng)）準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖操作： 將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的M點(diǎn)，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的N點(diǎn)． （1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形； （2）若四邊形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面積． 考點(diǎn)： 翻折變換（折疊問(wèn)題）；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì) 分析： （1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可得EB∥DF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可． （2）求出∠ABE=30，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，再根據(jù)菱形的面積計(jì)算即可求出答案． 四、達(dá)標(biāo)檢測(cè)題 （一）基礎(chǔ)檢測(cè) 一、選擇題（每小題有四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.） 1．已知一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是20cm，兩條對(duì)角線的比是4∶3，則這個(gè)菱形的面積是（ ） A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2 2．如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值是（　?。? A． B．2 C． D． 4．下列命題中的真命題是（　　） A．三個(gè)角相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 C．順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形 D．正五邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 ５．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，∠B=120，OA=2，將菱形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105至OA′B′C′的位置，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（　　） 2題圖 3題圖 5題圖 A．（，）　 　B．（，）　　 C．（-，）　　 D．（，） 二、填空題 6．在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是 .(寫(xiě)出一種即可) 7．如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝8，BD＝6，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，則點(diǎn)O到邊AB的距離OH＝ ． 8. 如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_(kāi)______． 9．如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是 . 10題圖 7題圖 8題圖 9題圖 10．如圖，已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AB上，且，則=　　　　度． 三、解答題 11. 如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． （1）求證：△ABE≌△FCE． （2）連接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形． 12. 如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)N，連接BM，DN． （1）求證：四邊形BMDN是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD的長(zhǎng)． （二）能力提升 1、（xx?麗水）如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時(shí)，是這樣操作的：分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，相交于點(diǎn)C，D，則直線CD即為所求．連結(jié)AC，BC，AD，BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是（　　） 　 A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形 2、（xx年山東煙臺(tái)）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC=28，則∠OBC的度數(shù)為（　　） 　 A． 28 B． 52 C． 62 D． 72 3、（xx?呼和浩特）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線EF，分別交兩邊AD，BC于E，F(xiàn)（不與頂點(diǎn)重合），則以下關(guān)于△CDE與△ABF判斷完全正確的一項(xiàng)為（　　） 　 A． △CDE與△ABF的周長(zhǎng)都等于10cm，但面積不一定相等 　 B． △CDE與△ABF全等，且周長(zhǎng)都為10cm 　 C． △CDE與△ABF全等，且周長(zhǎng)都為5cm 　 D． △CDE與△ABF全等，但它們的周長(zhǎng)和面積都不能確定 4、（xx?蘭州）下列命題中正確的是（　　） 　 A． 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 　 B． 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形 　 C． 對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形 　 D． 一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 5、（xx?德州）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論： ①四邊形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4； ④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=2． 以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有（　　）個(gè)． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6、（xx?棗莊）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)A、C作對(duì)角線AC的垂線，分別交CB和AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，AE=3，則四邊形AECF的周長(zhǎng)為（ ） 7、（xx?畢節(jié)地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，則OH的長(zhǎng)等于（ ） 8、（xx?十堰）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長(zhǎng)為（　　） 9、（xx年浙江嘉興）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD=4cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)G處，折痕為AH，若HG延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（　　） 10（xx?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，=，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊AD于點(diǎn)E．若AE?ED=，則矩形ABCD的面積為　　． 11、（xx年江蘇南京）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形； （2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBEF是菱形？為什么？ 12、（xx?白銀）D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E． （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形； （2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出答案，不需要說(shuō)明理由．） 五、課后反饋 1. 如圖：矩形紙片ABCD，AB=2，點(diǎn)E在BC上，且AE=EC，若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC上，則AC的長(zhǎng)是__________. 2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)Ｏ作OEAC交AD于E，則AE的長(zhǎng)是( ) A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 3 .如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，點(diǎn)E是折線段A－D－C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有( ) B A D 4題圖 C 1題圖 2題圖 A B C D P E 3題圖 A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 4 .如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)是16，∠A=60，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)度為（ ） A．2 　　　B．　　　C． 4　　　D． 5.下列命題是真命題的是（　?。? A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形　　　　　　　　B．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 C．四個(gè)角是直角的四邊形是正方形　　　　　　D．對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形 6. 如圖，∠MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為（ ） A．　　　B．　　　C． 　　　D． 7. 如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AB=6，BC=8，以其三邊為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，矩形EFGH的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC，則矩形EFGH的周長(zhǎng)是 ． 6題圖 7題圖 8 .如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于點(diǎn)O． （1）求邊AB的長(zhǎng)； （2）如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G． ①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說(shuō)明理由； ③ 轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時(shí)（BE＞CE），求CG的長(zhǎng)． A B C D 第9題圖 l1 l2 l3 l4 9. .已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰的兩條平行直線間的距離均 為h，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在這四條直線上，放置 方式如圖所示，AB＝4，BC＝6，則tan的值等于 A． B． C． D． 10.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝4，∠AOD＝120， A B D C O 第10題圖 求AC的長(zhǎng). 11. 如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝67.5，△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對(duì)稱，點(diǎn)M為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），點(diǎn)M關(guān)于AB所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，△CMN的面積為S． （1）求∠CAD的度數(shù)； （2）設(shè)CM＝x，求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)S的值最大？ C A M N D B 第11題圖1 C A M N D B 第11題圖2 E （3）S的值最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作EC⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接EN（如圖2）．P為線段EN上一點(diǎn)，Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的NP的長(zhǎng)． A B C D E ．O 第12題圖 12.如圖，的半徑為1，是的內(nèi)接等邊三角形， 點(diǎn)D，E在圓上，四邊形為矩形，這個(gè)矩形的面積是 A．2 　　 B． C． 　　　 D． 13、 （1）如圖，在四邊形是矩形，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證： （2）如圖，AB與相切于C，，的半徑為6，AB＝16，求OA的長(zhǎng). A B C D E 第13題（1）圖