2019-2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)14 利用導(dǎo)數(shù)解決綜合問題試題解讀與變式.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)14 利用導(dǎo)數(shù)解決綜合問題試題解讀與變式 【考綱要求】 (1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次). (2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次). (3)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題。 【命題規(guī)律】 導(dǎo)數(shù)綜合問題是高考中的難點(diǎn)所在,題型變化較多,尤其是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等相關(guān)知識(shí). 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)這一工具,將試題進(jìn)行分解,逐一突破,靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等,分析問題解決問題,這也是xx年考試的熱點(diǎn)問題.【典型高考試題變式】 (一)構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用 例1.【xx全國2卷(理)】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)()的導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析:考慮取特殊函數(shù),是奇函數(shù),且,,當(dāng)時(shí),>0,滿足題設(shè)條件.直接研究函數(shù),圖象如下圖,可知選B答案. 【方法技巧歸納】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值中的應(yīng)用,考查學(xué)生綜合知識(shí)能力,滲透著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,屬中檔題.其解題的方法運(yùn)用的是特值法,將抽象問題具體化,找出與已知條件符合的特殊函數(shù),分析其函數(shù)的圖像及其性質(zhì),進(jìn)而得出所求的結(jié)果,其解題的關(guān)鍵是特值函數(shù)的正確選取. 【變式1】【改編例題條件,利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)求最值】【xx河南鄭州三質(zhì)檢】設(shè)函數(shù)滿足,,則時(shí),的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】對(duì)于等式,因?yàn)?,故此等式可化為:,?令,..當(dāng) 時(shí),,單調(diào)遞增,故,因此當(dāng)時(shí),恒成立.因?yàn)?,所以恒成?因此,在 上單調(diào)遞增,的最小值為.故本題正確答案為D. 【變式2】【改編例題條件,利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【xx河南息縣第一高級(jí)中學(xué)三質(zhì)檢】已知函數(shù)的定義域?yàn)?,其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,其導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí), ,則不等式的解集為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意設(shè),則, 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), ,則在上遞增, 函數(shù) 的定義域?yàn)?,其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱, 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,則函數(shù)是奇函數(shù),令是上的偶函數(shù),且在遞增,由偶函數(shù)的性質(zhì)得:函數(shù)在上遞減, 不等式化為: ,即,解得, 不等式解集是,故選C. 【變式3】【改編例題條件,利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)求解不等式】【xx江西省鷹潭市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理)】函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,且滿足,則不等式的解集為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【變式4】【改編例題條件,構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題】【xx安徽蚌埠二中高三7月月考(文)】已知對(duì)任意實(shí)數(shù),關(guān)于的不等式在上恒成立,則的最大整數(shù)值為( ) A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】令,依題意,對(duì)任意,當(dāng)時(shí), 圖象在直線下方,∴列表 得的大致圖象 則當(dāng)時(shí),∵,∴當(dāng)時(shí)不成立; 當(dāng)時(shí),設(shè)與相切于點(diǎn). 則,解得. ∴,故成立,∴當(dāng)時(shí), .故選B. (二)方程解(函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù)問題 例2.【xx全國1卷(理)】已知函數(shù),. (1)當(dāng)為何值時(shí),軸為曲線的切線; (2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當(dāng)或時(shí),由一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn). 【解析】試題分析:(Ⅰ)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組,解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的值;(Ⅱ)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù),若零點(diǎn)不容易求解,則對(duì)再分類討論. 試題解析:(Ⅰ)設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn),則,,即,解得. 因此,當(dāng)時(shí),軸是曲線的切線. (Ⅱ)當(dāng)時(shí),,從而, ∴在(1,+∞)無零點(diǎn). 當(dāng)=1時(shí),若,則,,故=1是的零點(diǎn);若,則,,故=1不是的零點(diǎn). 當(dāng)時(shí),,所以只需考慮在(0,1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). (?。┤艋颍瑒t在(0,1)無零點(diǎn),故在(0,1)單調(diào),而,,所以當(dāng)時(shí),在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)0時(shí),在(0,1)無零點(diǎn). (ⅱ)若,則在(0,)單調(diào)遞減,在(,1)單調(diào)遞增,故當(dāng)=時(shí),取的最小值,最小值為=. ①若>0,即<<0,在(0,1)無零點(diǎn). ②若=0,即,則在(0,1)有唯一零點(diǎn); ③若<0,即,由于,,所以當(dāng)時(shí),在(0,1)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn).…10分 綜上,當(dāng)或時(shí),由一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)或時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有三個(gè)零點(diǎn). 【方法技巧歸納】1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題:可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),如果函數(shù)較為復(fù)雜,可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題,可參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 3. 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),并結(jié)合特殊點(diǎn),從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與 軸的位置關(guān)系,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對(duì)方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題. 【變式1】【改編例題的條件,依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值】【xx江蘇卷】已知函數(shù). (1)試討論的單調(diào)性; (2)若(實(shí)數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是,求c的值. 【答案】(1)當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí), 在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí), 在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2) 【解析】 試題分析(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)大小討論函數(shù)單調(diào)性,注意需分三種情況討論,不要忽略相等的情況(2)首先轉(zhuǎn)化條件:函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),就是零在極大值與極小值之間,然后研究不等式以及解集情況,令,則當(dāng)時(shí)且當(dāng)時(shí),因此確定,然后再利用函數(shù)因式分解驗(yàn)證滿足題意 (2)由(1)知,函數(shù)的兩個(gè)極值為,,則函數(shù)有三個(gè) 零點(diǎn)等價(jià)于,從而或. 又,所以當(dāng)時(shí),或當(dāng)時(shí),. 設(shè),因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),的取值范圍恰好是 ,則在上,且在上均恒成立, 從而,且,因此. 此時(shí),, 因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則有兩個(gè)異于的不等實(shí)根, 所以,且, 解得. 綜上. 【變式2】【改編例題的條件,依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)證明不等式】【xx天津卷(理)】已知函數(shù),其中. (Ⅰ)討論的單調(diào)性; (Ⅱ)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有; (Ⅲ)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根,求證: 【答案】(Ⅰ) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),在,上單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (Ⅱ)見解析; (Ⅲ)見解析. 【解析】(Ⅰ)由,可得,其中且, 下面分兩種情況討論: (1)當(dāng)為奇數(shù)時(shí): 令,解得或, 當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表: 所以,在,上單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增. (Ⅱ)證明:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即,令,即,則 由于在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,又因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都有,即對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都有. (Ⅲ)證明:不妨設(shè),由(Ⅱ)知,設(shè)方程的根為,可得 ,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,又由(Ⅱ)知可得. 類似的,設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為,可得,當(dāng), ,即對(duì)任意, 設(shè)方程的根為,可得,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,因此. 由此可得. 因?yàn)?,所以,故? 所以. 【變式3】【改編例題的條件和結(jié)論,函數(shù)零點(diǎn)與充要條件綜合】【xx北京卷(文)】設(shè)函數(shù) (Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (Ⅱ)設(shè),若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍; (Ⅲ)求證:是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見解析. 【解析】 試題分析:(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù),求切線方程; (Ⅱ)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,由函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍; (Ⅲ)從兩方面必要性和不充分性證明,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù). 試題解析:(Ⅰ)由,得. 因?yàn)椋? 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為. (Ⅱ)當(dāng)時(shí),, 所以. 令,得,解得或. 與在區(qū)間上的情況如下: 所以,當(dāng)且時(shí),存在,, ,使得. 由的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn). 綜上所述,若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),則必有. 故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件. 當(dāng),時(shí),,只有兩個(gè)不同零點(diǎn),所以不是有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件. 因此是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. (三)函數(shù)中的隱零點(diǎn)問題 例3.【xx全國1卷(理)】已知函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍. 【解析】(1)由于, 故. 當(dāng)時(shí),,.從而恒成立. 在上單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí),令,從而,得. 極小值 綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. (2)由(1)知, 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)減,故在上至多一個(gè)零點(diǎn),不滿足條件. 當(dāng)時(shí),. 令. 令,則.從而在上單調(diào)增,而. 當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí) 若,則,故恒成立,從而無零點(diǎn),不滿足條件. 若,則,故僅有一個(gè)實(shí)根,不滿足條件. 若,則,注意到.. 故在上有一個(gè)實(shí)根,而又. 且 .故在上有一個(gè)實(shí)根. 又在上單調(diào)減,在單調(diào)增,故在上至多兩個(gè)實(shí)根. 又在及上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,故在上恰有兩個(gè)實(shí)根. 綜上,. 【方法技巧歸納】研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而求出a的取值范圍;第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn),且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于0,且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn). 【變式1】【改編例題的條件,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不同,確定參數(shù)取值范圍】【xx山西孝義高三入學(xué)摸底考試】已知函數(shù). (1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性; (2)已知函數(shù),若,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍. 【答案】(1)見解析(2) 試題解析:解:(1)由題得,所以. 當(dāng)時(shí), ,所以在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí), ,所以在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),令,得, 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 綜上所述,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減. (2) , , 設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則由,可知在區(qū)間上不單調(diào),則在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),同理, 在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn). 由(1)知,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意. 當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意,所以, 此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增. 因此, , ,必有, . 由,得, . 又, ,解得. (4) 極值點(diǎn)偏移問題 例4.【xx全國1卷(理)】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). (Ⅰ)求a的取值范圍; (Ⅱ)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明:. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析 【解析】 試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來確定(主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來分類);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的結(jié)論來證明,由單調(diào)性可知等價(jià)于,即.設(shè),則.則當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),.從而,故. 試題解析:(Ⅰ). (Ⅲ)設(shè),由得或. 若,則,故當(dāng)時(shí),,因此在單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),所以不存在兩個(gè)零點(diǎn). 若,則,故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn). 綜上,的取值范圍為. (Ⅱ)不妨設(shè),由(Ⅰ)知,,在單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即. 由于,而,所以 . 設(shè),則. 所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),. 從而,故. 【方法技巧歸納】對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則:互斥、無漏、最簡(jiǎn).解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解. 【變式1】【改編例題的條件,由極值點(diǎn)偏移思想證明參數(shù)的大小】【xx廣東深圳高三入學(xué)摸底考試(文)】已知函數(shù). (1)求函數(shù)的極小值; (2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求證:. 【答案】(1)極小值為(2)見解析 【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù).再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行分類討論:當(dāng)時(shí),導(dǎo)函數(shù)不變號(hào),無極小值;當(dāng)時(shí),導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正,有一個(gè)極小值(2)先用分析法轉(zhuǎn)化要證不等式:因?yàn)? 令,所以只要證,即證,利用導(dǎo)數(shù)易得為增函數(shù),即得所以原命題成立. 試題解析:解:(1). 當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù),函數(shù)無極小值; 當(dāng)時(shí),令,解得. 若,則單調(diào)遞減; 若,則單調(diào)遞增. 故函數(shù)的極小值為. (2)證明:由題可知. 要證,即證, 不妨設(shè),只需證,令, 即證,要證,只需證,令, 只需證,∵, ∴在內(nèi)為增函數(shù),故,∴成立. 所以原命題成立. 【變式2】【改編例題的條件,由極值點(diǎn)偏移思想證明不等式】【xx廣東珠海高三9月摸底考試(理)】函數(shù) (1)討論的單調(diào)性; (2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證: 【答案】(1) 時(shí), 在上單減,在上單增; 時(shí), 在上單減,在和上單增; 時(shí), 在上單增;(2)見解析. 【解析】試題分析:(1) ,分類討論,研究的符號(hào)情況,進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且, 、是的二根 ,若證成立,只需證對(duì)恒成立.設(shè),研究其最值即可. 試題解析: 解: 的定義域是, (1)由題設(shè)知, 令,這是開口向上,以為對(duì)稱軸的拋物線. 在時(shí),當(dāng),即時(shí), ,即在上恒成立. 2) 當(dāng)時(shí),即,即時(shí) 時(shí), ,即 或時(shí), ,即 綜上: 時(shí), 在上單減,在上單增; 時(shí), 在上單減,在和上單增; 時(shí), 在上單增. (2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且 則必是,則,則, 且在上單減,在和上單增, 則 、是的二根 ,即, 若證成立,只需證 即證對(duì)恒成立 設(shè) 當(dāng)時(shí), , , 故,故在上單增 故 對(duì)恒成立 【變式3】【改編例題的條件,由極值點(diǎn)偏移思想證明不等式(乘積型)】【xx安徽六安市壽縣第一中學(xué)第一次月考】已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若方程 有兩個(gè)相異實(shí)根, ,且,證明: . 【答案】(Ⅰ)在(0,1)遞增, 在(1,+ 遞減(Ⅱ在此處鍵入公式。)見解析 【解析】試題分析:(1)求出, 可得函數(shù)得的增區(qū)間, 得可得函數(shù)得的減區(qū)間;(2)由(1)可設(shè) 的兩個(gè)相異實(shí)根分別為滿足 ,只需證明. 即可. 試題解析:(1)的定義域?yàn)? 當(dāng)時(shí) 所以 在遞增 當(dāng)時(shí) 所以 在遞減 (2)由(1)可設(shè)的兩個(gè)相異實(shí)根分別為,滿足 且, 由題意可知 又有(1)可知在遞減 故 所以, 令 令, 則. 當(dāng)時(shí),,是減函數(shù),所以. 所以當(dāng)時(shí),,即 因?yàn)椋?在上單調(diào)遞增, 所以,故. 綜上所述: (5) 一元函數(shù)不等式的證明 例4.【xx山東(理)】已知. (1)討論的單調(diào)性; (2)當(dāng)時(shí),證明對(duì)于任意的成立. 【解析】(1)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí), 時(shí),, 單調(diào)遞增; ,單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí),. (ii)若,則,在內(nèi),,單調(diào)遞增; (iii)若,則, 當(dāng)或時(shí),,單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減. 綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增; 當(dāng),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)由(1)知,時(shí), ,, 令,. 則, 由可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào). 又, 設(shè),則在單調(diào)遞減, 因?yàn)椋? 所以在上存在使得 時(shí),時(shí),, 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減, 由于,因此當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào), 所以, 即對(duì)于任意的恒成立. 【方法技巧歸納】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.本題覆蓋面廣,對(duì)考生計(jì)算能力要求較高,是一道難題.解答本題,準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ),恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵,易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng),或因復(fù)雜式子變形能力差,而錯(cuò)誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等. 【變式1】【改編例題的條件,證明不等式】【xx廣東省廣州市海珠區(qū)高三測(cè)試一(理)】已知函數(shù). (1)若函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)證明:當(dāng)時(shí), . 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),討論兩種情況,分別研究函數(shù)的單調(diào)性,求其最值,結(jié)合函數(shù)的圖象和零點(diǎn)定理即可求出的取值范圍;(2)問題轉(zhuǎn)化為,令,令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論求出函數(shù)的最值,即可證明. 試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?由,得. ①當(dāng)時(shí), 恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn). ②當(dāng)時(shí),則時(shí), 時(shí), .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當(dāng).當(dāng),即時(shí),又,所以函數(shù)在定義域上有個(gè)零點(diǎn). 綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為. (2)要證明當(dāng)時(shí), ,即證明當(dāng)時(shí), ,即,令,則,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí), .于是,當(dāng)時(shí), .①令,則.當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí), .于是,當(dāng)時(shí), .②顯然,不等式①、②中的等號(hào)不能同時(shí)成立.故當(dāng)時(shí), ). 【變式2】【改編例題的條件,證明不等式(不等式右側(cè)是常數(shù))】【xx吉林省松原市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)等三校聯(lián)考(文)】設(shè)函數(shù), (1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng), 時(shí),求證: . 【答案】(1)增區(qū)間為: , .減區(qū)間為, .(2) 見解析。 試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí), , 令: ,得: 或,所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為: , . ,得: ,所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為, . (2)若證, 成立,只需證: , 即: 當(dāng)時(shí)成立. 設(shè). ∴,顯然在內(nèi)是增函數(shù), 且, , ∴在內(nèi)有唯一零點(diǎn),使得: , 且當(dāng), ; 當(dāng), . ∴在遞減,在遞增. , ∵,∴. ∴,∴成立. 【變式3】【改編例題的條件,證明參數(shù)不等式】【xx黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)高三二模(文)】已知,函數(shù), .(的圖象連續(xù)不斷) (1) 求的單調(diào)區(qū)間; (2) 當(dāng)時(shí),證明:存在,使; (3) 若存在屬于區(qū)間的,且,使,證明: . 【答案】答案見解析 【解析】試題分析:(1)求的單調(diào)區(qū)間,由于函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù),因此求的單調(diào)區(qū)間,可用導(dǎo)數(shù)法,因此對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得, ,令,解得,列表確定單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),證明:存在,使,可轉(zhuǎn)化為在上有解,可令,有根的存在性定理可知,只要在找到兩個(gè),是得即可,故本題把代入得,由(1)知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, ,故,取,則,即可證出;(3)若存在均屬于區(qū)間的,且,使,由(1)知的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,故,且在上的最小值為,而, ,只有,由單調(diào)性可知, ,從而可證得結(jié)論. 試題解析:(1)(1分) 令,解得(2分) 當(dāng)變化時(shí), 的變化情況如下表: + 0 - 遞增 極大值 遞減 所以, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是(5分) (2)證明:當(dāng)時(shí), , 由(1)知在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減. 令. (6分) 由于在內(nèi)單調(diào)遞增,故,即(7分) 取,則. 所以存在,使, 即存在,使. (9分) (說明: 的取法不唯一,只要滿足,且即可.) (3)證明:由及(1)的結(jié)論知, 從而在上的最小值為, (10分) 又由, ,知(11分) 故即(13分) 從而(14分) (六)多元函數(shù)不等式的證明 例6 【xx天津卷(理)】設(shè),已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn), 為的導(dǎo)函數(shù). (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)設(shè),函數(shù),求證: ; (Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù),使得對(duì)于任意的正整數(shù),且 滿足. 【答案】(Ⅰ)增區(qū)間是, ,遞減區(qū)間是.(Ⅱ)見解析;(III)見解析. 試題解析:(Ⅰ)解:由,可得, 進(jìn)而可得.令,解得,或. 當(dāng)x變化時(shí), 的變化情況如下表: x + - + ↗ ↘ ↗ 所以, 的單調(diào)遞增區(qū)間是, ,單調(diào)遞減區(qū)間是. (Ⅱ)證明:由,得, . 令函數(shù),則.由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí), ,故當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.因此,當(dāng)時(shí), ,可得. 令函數(shù),則.由(Ⅰ)知, 在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減.因此,當(dāng)時(shí), ,可得. 所以, . (III)證明:對(duì)于任意的正整數(shù) , ,且, 令,函數(shù). 由(II)知,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn); 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn). 所以在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)為,則. 由(I)知在上單調(diào)遞增,故, 于是. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), ,故在上單調(diào)遞增, 所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點(diǎn),而,故. 又因?yàn)椋?, 均為整數(shù),所以是正整數(shù), 從而. 所以.所以,只要取,就有. 【方法技巧歸納】判斷的單調(diào)性,只需對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出單調(diào)區(qū)間,有關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)問題,先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,了解函數(shù)的圖象的增減情況,再對(duì)極值點(diǎn)作出相應(yīng)的要求,可控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【變式1】【改編例題的條件,雙元不等式的證明】【xx江蘇省南京市溧水高級(jí)中學(xué)開學(xué)考試】已知函數(shù). (1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍; (3)設(shè)為正實(shí)數(shù),且,求證: . 【答案】(1) ;(2);(3)證明見解析. 【解析】試題分析:(1)求出導(dǎo)數(shù),由題意可得代入可得,可得切線的斜率和切點(diǎn),進(jìn)而得到切線的方程;(2)由函數(shù)在上為增函數(shù),可得恒成立,既有,當(dāng)時(shí), ,求得右邊函數(shù)的最小值,即可得到范圍;(3)運(yùn)用分析法證明,要證,只需證,即證,設(shè),求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,運(yùn)用單調(diào)遞增,即可得證. 試題解析:(1) 由題意知,代入得,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意. 從而切線斜率 ,切點(diǎn)為, 切線方程為 (3)要證,只需證, 即證只需證 設(shè),由(2)知在上是單調(diào)函數(shù),又, 所以,即成立,所以. 【變式2】【改編例題的條件,雙元不等式的證明(乘積形式)】【xx江西師范大學(xué)附屬中學(xué)(文)】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (2)若,當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值; (3)若且,求證: . 【答案】(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2)(3)見解析 【解析】試題分析:(1) 求出, 得增區(qū)間, 得減區(qū)間;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的最大值;(3)化簡(jiǎn)已知得, 即,然后利用分析法證明原不等式. 試題解析: (1) 的定義域?yàn)?且, 令, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2) , , 當(dāng)時(shí), ,, 當(dāng)時(shí), , 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. . (3) , 即. 由(1)知 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且, 則 要證,即證,即證,即證, 即證,由于,即證. 令 恒成立 在遞增, 在恒成立, 原不等式成立. 【變式3】【改編例題的條件,證明長(zhǎng)串不等式】【xx江西省新余市第一中學(xué)模擬(理)】已知函數(shù). (1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程; (2)若任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍; (3)設(shè), ,證明: . 【答案】(1)(2) (3)見解析 【解析】試題分析:(1)本問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義, , ,于是可得切線方程為;(2)本問考查利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題,不等式恒成立,設(shè)函數(shù),則轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí), 恒成立,對(duì)函數(shù)求導(dǎo), ,再令,對(duì)求導(dǎo), ,通過對(duì)分區(qū)間討論,使得恒成立,從而得到的取值范圍;(3)首先通過微積分定理求出,則,由(2)知,當(dāng)時(shí), ,即,構(gòu)造函數(shù),通過證明該函數(shù)的單調(diào)性,易得出在上恒成立,令,于是通過不等式的放縮,可以得到待證明的結(jié)論. ②當(dāng)即時(shí), 遞減, ∴,∴,∴遞減 ∴(符合題意) ③當(dāng),即時(shí),由 ,∴在上, ,使 且時(shí), ,∴遞增,∴(不符合題意) 綜上: . (3) ∴,由(2)知,當(dāng)時(shí), ,∴, 又令, ,∴遞減 即在上恒成立,令 ∴原不等式 ∴左式右式 ∴得證. 【數(shù)學(xué)思想】 分類討論思想 1.分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法,這種思想在簡(jiǎn)化研究對(duì)象,發(fā)展思維方面起著重要作用,因此,有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí),當(dāng)問題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究,我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將對(duì)象區(qū)分為不同種類,然后逐類進(jìn)行研究和解決,最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解決,這一思想方法,我們稱之為“分類討論的思想”. 2.分類討論思想的常見類型 ⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的,要進(jìn)行分類討論的; ⑵問題中的條件是分類給出的; ⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述,必須分類討論的; ⑷涉及幾何問題時(shí),由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的. 【處理證明不等式問題注意點(diǎn)】 解答此類問題,構(gòu)造合理的函數(shù)非常重要,要對(duì)具體的條件加以剖析。 【典例試題演練】 1.【xx黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)開學(xué)考試(理)】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù), ,有,在上,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令 ,則,所以為上單調(diào)遞減奇函數(shù), ,選B. 2.【xx陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)第八次模擬考試數(shù)學(xué)(理)】已知函數(shù),則滿足的實(shí)數(shù)共有( ) A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè) 【答案】C 【解析】由,可得,或者,由,化為,設(shè), , 在上遞增, , ,在上有一個(gè)根, 滿足的值有兩個(gè),若, ,設(shè), ,設(shè)極值點(diǎn)為,則, , ,不妨設(shè) 而函數(shù)在上遞增,在上遞減, 極小值為無實(shí)根,綜上所述,滿足的實(shí)數(shù)共有根. 3.【xx湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)臨考沖刺訓(xùn)練理】已知函數(shù),若對(duì),使得方程有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 , ,所以 ,因此,選B. 4.【xx山西省晉中市3月高考適應(yīng)性調(diào)研考試?yán)怼恳阎瘮?shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若,是的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , ,,因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),所以在 上有解,即 ,由零點(diǎn)存在定理可得 ,即,也即, 解得 且, 令則,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),因此,所以的取值范圍是,因此選A. 5.【xx湖南省衡陽市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)】設(shè)定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù),對(duì)任意,都有,若是方程的一個(gè)解,且,則實(shí)數(shù)__________. 【答案】1 【解析】根據(jù)題意,對(duì)任意,都有,又是定義為的單調(diào)函數(shù),則為定值,設(shè)t= ,則= ,又,所以= , =,又是方程的一個(gè)解,所以是函數(shù)的零點(diǎn),分析易得, ,所以零點(diǎn)在(1,2)之間,所以 6.【xx江蘇省泰興中學(xué)高三12月階段性檢測(cè)】已知函數(shù),且對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為______. 【答案】1 7.【xx福建省泉州市高三高考考前適應(yīng)性模擬(一)】關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】由得 ,可得在上遞增 ,在上 遞減, , ,即 ,故答案為. 8.【xx黑龍江省大慶市大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)入學(xué)考試(文)】已知函數(shù)其中 當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程; 討論函數(shù)的單調(diào)性; 若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且求證: 【答案】(1)(2)見解析(3)見解析 【解析】試題分析:(1),代入,求及,由點(diǎn)斜式寫出切線方程。(2),由于,所以分, 討論=0的情況,求得單調(diào)區(qū)間。(2)由(1)可知, ,又,所以。同時(shí) 不妨設(shè)。要證,只需證 ,下對(duì)g(x)求導(dǎo),可證。 試題解析: 當(dāng)時(shí), , , ,所以切點(diǎn)為(1,0),斜率k=1,由點(diǎn)斜率式得: ①當(dāng)即時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間是. ②當(dāng)時(shí),即時(shí),令得 的單調(diào)遞增區(qū)間是和,單調(diào)遞減區(qū)間是 證明: 在單調(diào)遞增,且 ,不等式右側(cè)證畢 有兩個(gè)極值點(diǎn), . 令 在單調(diào)遞增. 不等式左側(cè)證畢. 綜上可知: 9.【xx安徽省合肥市高三調(diào)研性檢測(cè)數(shù)學(xué)理】已知函數(shù). (Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性; (Ⅱ)求證: . 【答案】(Ⅰ)在和上都是增函數(shù) (Ⅱ)證明見解析 【解析】試題分析:(1)先對(duì)題設(shè)條件中函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo),再構(gòu)造函數(shù)對(duì)所求得的導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)進(jìn)行判定;(2)先構(gòu)造函數(shù),再對(duì)其求導(dǎo)得到,求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),得到最小值為0,從而證得然后借助函數(shù)的單調(diào)性,分、、三種情形進(jìn)行分析推證,使得不等式獲證。 試題解析:(Ⅰ)由已知的定義域?yàn)椋? , 設(shè),則,得, ∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù), ∴ ∴在和上都是增函數(shù). (Ⅱ)設(shè), 則,得, ∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù), ∴,即. ①當(dāng)時(shí), , ∵在上是增函數(shù), ∴,即,∴. ②當(dāng)時(shí), ,∵在上是增函數(shù), ∴,即,∴. ③當(dāng)時(shí), 由①②③可知,對(duì)一切,有,即. 10.【xx云南師范大學(xué)附屬中學(xué)】設(shè)函數(shù) (1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍; (2)求證:當(dāng)時(shí), 【答案】(1);(2)見解析. 【解析】試題分析:(1)求出, 討論兩種情況:,,分別令得增區(qū)間,令是其子集即可得結(jié)果;(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,由可得,化簡(jiǎn)即可得結(jié)果. 試題解析:(1)解:, 當(dāng)時(shí),在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增成立, 當(dāng)時(shí),由,解得, 易知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 由題意有,,解得. 綜上所述,. (2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增, 對(duì)任意,有成立, 所以,代入有, 整理得:. 11.【xx西藏自治區(qū)拉薩中學(xué)高三第八次月考數(shù)學(xué)(理)】已知函數(shù). (1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性; (2)當(dāng)時(shí),若,證明:當(dāng)時(shí), 的圖象恒在的圖象上方; (3)證明: . 【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為及,減區(qū)間為;(2)詳見解析;(3)詳見解析. 【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)時(shí), , ,設(shè),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出恒成立,由此能證明的圖象恒在圖象的上方;(3)由,設(shè),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),從而,令,得,從而證明結(jié)論成立即可. (2)當(dāng)時(shí),,令, 則, 當(dāng)時(shí),,遞減;當(dāng)時(shí),,遞增。 故,當(dāng)時(shí),,即恒成立, 所以的圖象恒在的圖象上方。 (3)由(2)知,即, 令,則,即, 12.【xx遼寧省錦州市質(zhì)量檢測(cè)(一)(理)】已知,設(shè)函數(shù). (1)若,證明:存在唯一實(shí)數(shù),使得; (2)若當(dāng)時(shí), ,證明: . 【答案】(1)見解析(2)見解析 (Ⅱ),因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增. 而,由(Ⅰ)得存在唯一實(shí)數(shù),使得. 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.故有最小值 由(Ⅰ)得, .所以. 設(shè),當(dāng)時(shí), , 在單調(diào)遞減, 所以, 因?yàn)楹愠闪ⅲ?,因此,故. 13.【xx山西省孝義市下學(xué)期高考考前質(zhì)量檢測(cè)三(理)】已知函數(shù) (1)討論函數(shù)的單調(diào)性; (2)證明: . 【答案】(1)見解析(2)見解析 【解析】試題分析: (1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),按和分別判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),寫出函數(shù)的單調(diào)性; (2)要證,只需證,由(1)可知當(dāng)時(shí), ,即,當(dāng)時(shí),上式兩邊取以為底的對(duì)數(shù),可得,用代替可得,又可得,所以,將原不等式放縮,即可證得. 試題解析:(1)解: , ①若時(shí), 在上單調(diào)遞減; ②若時(shí),當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增; 綜上,若時(shí), 在上單調(diào)遞減; 若時(shí), 在上單調(diào)遞減; 在上單調(diào)遞增; (2)證明:要證,只需證, 由(1)可知當(dāng)時(shí), ,即, 當(dāng)時(shí),上式兩邊取以為底的對(duì)數(shù),可得, 用代替可得,又可得, 所以, , 即原不等式成立. 14.【xx山東省日照市第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)】已知函數(shù). (I)討論函數(shù)在上的單調(diào)性; (II)設(shè)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),并記作,若,求正數(shù)的取值范圍; (III)求證:當(dāng)=1時(shí), (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) 【答案】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).(2)正數(shù)的取值范圍是.(3)見解析 【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),,再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上符號(hào)變化規(guī)律:當(dāng)時(shí), ,即在上是增函數(shù);當(dāng)時(shí),導(dǎo)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),符號(hào)先負(fù)后正,對(duì)應(yīng)區(qū)間先減后增,(2)由題意易得要使函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),必有,且極值點(diǎn)必為, ,因此,即正數(shù)的取值范圍是.再化簡(jiǎn)條件,得,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性:為單調(diào)減,因此正數(shù)的取值范圍是.(3)要證不等式,即證,利用導(dǎo)數(shù)易得函數(shù)最小值為1,而,得證. 試題解析:(Ⅰ) ,( ) 當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)在上是增函數(shù); 當(dāng)時(shí),由,得,解得(負(fù)值舍去),,所以 當(dāng)時(shí), ,從而,函數(shù)在上是減函數(shù); 當(dāng)時(shí), ,從而,函數(shù)在上是增函數(shù). 綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù); 當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù). 由()式可知, 不等式化為, 令,所以, 令, . 當(dāng)時(shí), , ,所以,不合題意; 當(dāng)時(shí), , ,所以 在是減函數(shù),所以,適合題意,即. 綜上,若,此時(shí)正數(shù)的取值范圍是. (Ⅲ)當(dāng)時(shí), , 不等式可化為,所以 要證不等式,即證,即證, 設(shè),則, 在上,h(x)<0,h(x)是減函數(shù); 在上,h(x)>0,h(x)是增函數(shù). 所以, 設(shè),則是減函數(shù), 所以, 所以,即, 所以當(dāng)時(shí),不等式成立.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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