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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題十一 直線和圓的方程（含解析） 抓住4個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 直線的方程 1．求直線的斜率及傾斜角的范圍 2．求直線的方程 [高考?？冀嵌萞 角度1 設(shè)為曲線上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 解析：，本題考查直線的傾斜角與斜率以及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用. 切線的斜率，設(shè)切點(diǎn)為，于是，故選A 角度2 若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線：有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 解析： 本題考查直線與曲線的位置關(guān)系，直線的斜率． 方法一：設(shè)過(guò)的直線的方程為，即（注：當(dāng)不存在時(shí)，不滿足題意）． 直線與圓有公共點(diǎn)，則，故選． 方法二：如圖， 因此 故選 角度3 直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則的方程是（ ） A. B. C. D. 解析：本題主要考查直線的方程的求解和兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系． 方法一：由直線與直線垂直，可知直線的斜率是，由點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即，故選A 方法二：由直線與直線垂直，可設(shè)直線的方程為， 又直線過(guò)點(diǎn)，所以，故直線的方程為，選A 重點(diǎn)2 兩條直線的位置關(guān)系 1.兩直線平行與垂直問(wèn)題的解決策略 2.兩條直線的交點(diǎn) 3.點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線的距離 [高考?？冀嵌萞 角度1 已知，若平面內(nèi)三點(diǎn)共線，則_______ 解析：由已知，三點(diǎn)共線，所以 角度2 經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是__________________ 解析：由圓方程，圓心為 所求直線的斜率為，方程為，即 角度3已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在軸的正半軸上，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則過(guò)圓心且與直線垂直的直線的方程為 . 解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知： ，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以， 故圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在所求的直線上，所以有， 故所求的直線方程為 點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的關(guān)系，考查了學(xué)生解決直線與圓問(wèn)題的能力。 重點(diǎn)3 圓的方程 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程 2.利用幾何性質(zhì)求解圓的方程 [高考?？冀嵌萞 角度1以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為( D ) A． B． C． D． 解析：因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即所求圓的圓心，又圓過(guò)原點(diǎn)，所以圓的半徑為， 故所求圓的方程為，即，故選D。 點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬基礎(chǔ)題。 角度2過(guò)點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓的方程為_(kāi)____________ 解析：設(shè)圓的方程為，則 解得，故所求圓的方程為. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用題意條件求解圓的方程，通常借助待定系數(shù)法求解. 重點(diǎn)4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1.直線與圓的位置關(guān)系：（1）相交～，（2）相切～，（3）相離～， 2.圓與圓的位置關(guān)系：兩圓的圓心距為，半徑分別為（1）相離～，（2）外切～， （3）相交～，（4）內(nèi)切～，（5）內(nèi)含～，（6）同心～， [高考?？冀嵌萞 角度1 （xx.廣東）已知集合且且則的元素個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 解析：集合表示圓心在原點(diǎn)的單位圓，集合表示過(guò)原點(diǎn)的直線，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故選C 角度2在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是 ． 點(diǎn)評(píng)：主要考查圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離 解析：∵圓C的方程可化為：，∴圓C的圓心為，半徑為1. ∵由題意，直線上至少存在一點(diǎn)，以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)； ∴存在，使得成立，即 ∵即為點(diǎn)到直線的距離，∴，解得. ∴的最大值是 角度3設(shè)圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為（ A ） A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 解析：由已知，作圖分析可知，圓的圓心到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等， 則的圓心軌跡為拋物線，故選A 角度4 若曲線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是_________ 解析:本題綜合考查直線與圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，以及分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 由曲線，所以曲線是以點(diǎn)，為半徑的圓； 曲線則表示兩條直線，即軸與直線，顯然軸與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線與圓相切， 故圓心到直線的距離 突破4個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的探究 1.中心對(duì)稱(chēng)：（1）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) （2）直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 2.軸對(duì)稱(chēng)： （1）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) （2）直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) 典例 一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)射向軸上一點(diǎn)又從反射到直線上的一點(diǎn)又從點(diǎn)反射回到點(diǎn)，則直線的方程為 解析：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為， 在直線上， 所以直線的方程為 難點(diǎn)2 過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題 典例1 已知直線的方程為，則該直線對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是___________ 解析：將方程整理為，這個(gè)方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立， 必須滿足 解得且，故直線過(guò)定點(diǎn) 典例2 已知直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的值為_(kāi)_________ 解析:直線的方程可化為，該直線系過(guò)定點(diǎn)， 與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 直線的方程可化為，該直線系過(guò)定點(diǎn)， 與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 如圖，所求四邊形是OBMC， 所以當(dāng)時(shí)，四邊形面積最小． 難點(diǎn)3 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 典例1 已知實(shí)數(shù)滿足方程 （1）求的最大值和最小值 （2）求的最大值和最小值 （3）求的最大值和最小值 解析：由為圓，其中圓心為 （1）可視為圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，其兩切線的斜率分別為最小值和最大值 由圖可知，切線斜率為 （2）可視為直線的縱截距，如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱截距最大或者最小 此時(shí)，所以最小值為，最大值為 （3）表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，如圖可知， 在原點(diǎn)和圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最小值和最大值. 可得圓心到原點(diǎn)的距離為， 因此 難點(diǎn)4 有關(guān)圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問(wèn)題的求解 典例1 已知點(diǎn)及圓. （1）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求直線的方程； （2）求過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程. 解析：（1）方法一：如圖所示，是的中點(diǎn)， 圓方程可化為，圓心為，故，在中，可得 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，即 點(diǎn)到直線的距離為： 此時(shí)直線的方程為． 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，則，解得， 滿足題意 故所求直線的方程為或． 方法二：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為， 由 ①， 設(shè)方程①的兩根為，則有 由弦長(zhǎng)公式得 此時(shí)直線的方程為． 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，也滿足題意 故所求直線的方程為或． （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)為，則， 即 故所求軌跡方程為． 規(guī)避3個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 忽視斜率不存在的情況 典例 已知求使的的值． 易失分提示：本題易出現(xiàn)的問(wèn)題是忽視直線斜率不存在的特殊情況． 解析：方法一 當(dāng)直線斜率不存在，即時(shí)，有滿足 當(dāng)直線斜率存在時(shí)， 故使使的的值的值為或． 方法二 由或，故使使的的值的值為或． 易失分點(diǎn)2 忽視零截距 典例 已知直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為_(kāi)________________ 易失分提示:本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零的情況，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零， 則直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)． 答案:或 解析：設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為． 當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以此時(shí)直線的方程為． 當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，則此時(shí)直線的方程為． 綜上知，所求直線的方程為或． 易失分點(diǎn)3 忽視圓存在的條件 典例 已知圓的方程為，過(guò)定點(diǎn)可作該圓的兩條切線，求的取值范圍． 易失分提示：解答此題時(shí)，易忽略作為圓的充要條件，從而致誤． 解析：圓的方程可變形為：，其中，即 ① 因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)可作該圓的兩條切線，所以點(diǎn)在圓外 ，即． ② 由①②可得：，故的取值范圍