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2019-2020年高三4月月考 數(shù)學(xué)理 含答案 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．集合，則＝（　?。? A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5} 2．若函數(shù)，則該函數(shù)在上是（ ） A．單調(diào)遞減無(wú)最小值 B．單調(diào)遞減有最小值 C．單調(diào)遞增無(wú)最大值 D．單調(diào)遞增有最大值 3．已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù) 的圖象，只要將的圖象( ) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 4．設(shè)則下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 5．“數(shù)列為遞增數(shù)列”的一個(gè)充分不必要條件是（　?。? A．　　 B．　 C． 　 D． 6．已知函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)，則（ ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 7．M是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列命題： ①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)、都相交； ②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)、都垂直； ③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線(xiàn)、都相交； ④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線(xiàn)、都平行.其中真命題是（ ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 8．過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB 的外接圓方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 9．已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且＞0，的圖象與x 軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為 (　　 ) A．3 B． C．2 D． 10．設(shè)，分別為雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn) 的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線(xiàn)某條漸近線(xiàn)于、兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足： ，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（ ） A． B． C． D． 二、選做題：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答。若兩題都做，則按第一題評(píng)閱計(jì)分。本題 共5分. 11．(1)（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為：，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為：.則它們相交所得弦長(zhǎng)等于 . (2)（不等式選做題）已知函數(shù)f (x)＝|x－2|－|x－5|，則不等式f (x)≥x2－8x＋15的 解集為 ． 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 12．復(fù)數(shù)z=(i為復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位)的模等于 ． 13．?dāng)S均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個(gè)投擲過(guò)程中擲出反面的次數(shù)總是小 于正面次數(shù)的概率是 ． 14．語(yǔ)句： S=0 i=1 Do S=S+i i=i+2 Loop while S≤200 n=i－2 Output n 則正整數(shù)n= . 15．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于以下結(jié)論： ①符合[OP]=1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積為2； ②設(shè)P為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則[OP]的最小值為1； ③設(shè)P為直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則“使[OP]最小的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)” 的必要不充分條件是“”. 其中正確的結(jié)論有 （填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）. 三、解答題:本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 16．（本小題滿(mǎn)分12分）已知△ABC的面積S滿(mǎn)足≤S≤3，且= 6 , 與的夾角為. (1) 求的范圍;(2)求函數(shù)= 的最大值. 17．（本小題滿(mǎn)分12分）八一商場(chǎng)進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，促銷(xiāo)方案為顧客消費(fèi)1000元，便可獲 得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為，中獎(jiǎng)后商場(chǎng)返還顧客現(xiàn)金1000元. 顧客甲 購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)價(jià)格2400元的手機(jī)，只能得2張獎(jiǎng)券，于是甲補(bǔ)償50元給同事購(gòu)買(mǎi)價(jià)格 600元的商品（甲可以得到三張獎(jiǎng)券），甲抽獎(jiǎng)后實(shí)際支出為（元）. （1）求的分布列； （2）試說(shuō)明甲出資50元增加1張獎(jiǎng)券是否劃算. 18．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，當(dāng)E、F 分別在線(xiàn)段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2.現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折 疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直. （1）判斷直線(xiàn)AD與BC是否共面，并證明你的結(jié)論； （2）當(dāng)直線(xiàn)AC與面EFCD所成角的正切值為多少時(shí)，二面角A-DC-E的大小是60？ 19．（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足： （正常數(shù)），. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值； （3）在滿(mǎn)足條件（2）的情形下，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 求證：． 20．（本小題滿(mǎn)分13分）已知拋物線(xiàn)C1:y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C2:的右焦點(diǎn)F2 重合，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn). （1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)y2=4x上運(yùn)動(dòng)，求ABC重心G 的軌跡方程； （2）若P是拋物線(xiàn)C1與橢圓C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求cos 的值及PF1F2的面積. 21．（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)(常數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程； （2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. 參考答案 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．集合，則＝（　D?。? A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5} 2．若函數(shù)，則該函數(shù)在上是（ A ） A．單調(diào)遞減無(wú)最小值 B．單調(diào)遞減有最小值 C．單調(diào)遞增無(wú)最大值 D．單調(diào)遞增有最大值 3．已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù) 的圖象，只要將的圖象( B ) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 4．設(shè)則下列不等式成立的是(　D　) A． B． C． D． 5．“數(shù)列為遞增數(shù)列”的一個(gè)充分不必要條件是（　D　） A．　　 B．　 C． 　 D． 6．已知函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)，則（ B ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 7．M是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列命題： ①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)、都相交； ②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)、都垂直； ③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線(xiàn)、都相交； ④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線(xiàn)、都平行.其中真命題是（ C ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 8．過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB 的外接圓方程是(　A　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 9．已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且＞0，的圖象與x 軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為 (　C　 ) A．3 B． C．2 D． 10．設(shè)，分別為雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線(xiàn) 的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線(xiàn)某條漸近線(xiàn)于、兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足： ，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（ A ） A． B． C． D． 二、選做題：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答。若兩題都做，則按第一題評(píng)閱計(jì)分。本題 共5分. 11．(1)（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為：，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為：.則它們相交所得弦長(zhǎng)等于 3 . (2)（不等式選做題）已知函數(shù)f (x)＝|x－2|－|x－5|，則不等式f (x)≥x2－8x＋15的 解集為 {x|5－≤x≤6} ． f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集； 當(dāng)2＜x＜5時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x＜5}； 當(dāng)x≥5時(shí)，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}． 綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}． 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 12．復(fù)數(shù)z=(i為復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位)的模等于 ． 13．?dāng)S均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個(gè)投擲過(guò)程中擲出反面的次數(shù)總是小 于正面次數(shù)的概率是 ． 14．語(yǔ)句： S=0 i=1 Do S=S+i i=i+2 Loop while S≤200 n=i－2 Output n 則正整數(shù)n= 29 . 15．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于以下結(jié)論： ①符合[OP]=1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積為2； ②設(shè)P為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則[OP]的最小值為1； ③設(shè)P為直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則“使[OP]最小的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)” 的必要不充分條件是“”. 其中正確的結(jié)論有 ①③ （填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）. 三、解答題:本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 16．（本小題滿(mǎn)分12分）已知△ABC的面積S滿(mǎn)足≤S≤3，且= 6 , 與的夾角為. (1) 求的范圍;(2)求函數(shù)= 的最大值. 解：（1）∵ ∴S=3. ∴。 （2）上遞增，∴. 17．（本小題滿(mǎn)分12分）八一商場(chǎng)進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，促銷(xiāo)方案為顧客消費(fèi)1000元，便可獲 得獎(jiǎng)券一張，每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為，中獎(jiǎng)后商場(chǎng)返還顧客現(xiàn)金1000元. 顧客甲 購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)價(jià)格2400元的手機(jī)，只能得2張獎(jiǎng)券，于是甲補(bǔ)償50元給同事購(gòu)買(mǎi)價(jià)格 600元的商品（甲可以得到三張獎(jiǎng)券），甲抽獎(jiǎng)后實(shí)際支出為（元）. （1）求的分布列； （2）試說(shuō)明甲出資50元增加1張獎(jiǎng)券是否劃算. 解：（1）的所有可能取值為2450,1450,450，－550 , ， 分布列為 2450 1450 450 －550 P （2） 　　　?。?850（元）） …（9分） 設(shè)小李不出資50元增加1張獎(jiǎng)券,消費(fèi)的實(shí)際支出為（元） 則, ∴ ∴, 故小王出資50元增加1張獎(jiǎng)券劃算.…（12分） 18．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，當(dāng)E、F 分別在線(xiàn)段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2.現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折 疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直. （1）判斷直線(xiàn)AD與BC是否共面，并證明你的結(jié)論； （2）當(dāng)直線(xiàn)AC與面EFCD所成角的正切值為多少時(shí)，二面角A-DC-E的大小是60？ 解：（1）、是異面直線(xiàn)， （1分） （反證法）假設(shè)、共面為． ,,,,． ,又． 這與為梯形矛盾．故假設(shè)不成立．即、是異面直線(xiàn)． …6分 （2）延長(zhǎng)CD,FE相交于N，由已知設(shè)則△NDE中，， ，平面平面, 平面．過(guò)E作于H，連結(jié)AH， 則．是二面角的平面角， 則． ,, , 此時(shí)在△EFC中，．又平面, 是直線(xiàn)與平面所成的角, ． 即當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正切值為時(shí)，二面角的 大小為。 19．（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足： （正常數(shù)），. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值； （3）在滿(mǎn)足條件（2）的情形下，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 求證：． 解：（1）, ∴ ……….1分 當(dāng)時(shí)， 兩式相減得：， , 即是等比數(shù)列． ∴；…4分 （2）由（1）知, ,， 若為等比數(shù)列，則有 而 ，, ……6分 故， 解得， ……………………7分 再將代入得成立，所以． …………8分 （3）證明：由（2）知， 所以… 10分 所以 ………12分 20．（本小題滿(mǎn)分13分）已知拋物線(xiàn)C1:y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C2:的右焦點(diǎn)F2 重合，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn). （1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)y2=4x上運(yùn)動(dòng)，求ABC重心G 的軌跡方程； （2）若P是拋物線(xiàn)C1與橢圓C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求cos 的值及PF1F2的面積. 解：（1）設(shè)重心G(x,y)，則 整理得將(*)式代入 y2=4x中，得(y+1)2= ∴重心G的軌跡方程為(y+1)2=.…6分 (2) ∵橢圓與拋物線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)，由y2=4x得F2(1,0)， ∴b2=8，橢圓方程為.設(shè)P(x1,y1) 由得，∴x1=，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)，即拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F1. 設(shè)點(diǎn)P到拋物線(xiàn)y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為PN，則︱PF2︱=︱PN︱. 又︱PN︱=x1+1=, ∴. 過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥x軸，垂足為P1，在Rt△PP1F1中，cosα=在Rt△PP1F2中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=。 ∵x1=,∴∣PP1∣=, ∴.…13分 21．（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)(常數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程； （2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. 解:（1）當(dāng) 時(shí)，，. .…3分 又，∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．…4分 （3），所以. 因?yàn)?，，于是?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. 所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). …7分 所以 …8分 討論函數(shù)的零點(diǎn)情況如下． ①，即時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，在上也無(wú)零點(diǎn)；…9分 ②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，而 ，∴在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；……10分 ③當(dāng)，即時(shí)， 由于， ， 當(dāng)時(shí)，即時(shí)， ，，由單調(diào)性可知，函數(shù) 在內(nèi)有唯一零點(diǎn)、在內(nèi)有唯一零點(diǎn)滿(mǎn)足，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)； …11分 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，而且，由單調(diào)性可知，無(wú)論還是，在內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，從而在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；…14分 （注：這一類(lèi)的討論中，若沒(méi)有類(lèi)似“來(lái)說(shuō)明唯一零點(diǎn)在內(nèi)”的這一步，則扣去這2分）綜上所述，有：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).