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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題46 用正難則反思想求互斥事件的概率黃金解題模板 【高考地位】 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，求對(duì)立事件的概率是“正難則反”思想的具體應(yīng)用，在高考中時(shí)有考查。在高考中多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中，屬容易題。 【方法點(diǎn)評(píng)】 方法 用正難則反思想求互斥事件的概率 使用情景：求互斥事件的概率． 解題模板：第一步 首先要準(zhǔn)確理解題意，善于從圖表信息中提煉數(shù)據(jù)關(guān)系，明確數(shù)字特征含義； 第二步 然后正確判定事件間的關(guān)系，善于將A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录?，切忌盲目? 入概率加法公式； 第三步 得出結(jié)論. 例1. 袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】所求概率為1－＝. 例2、黃種人人群中各種血型的人數(shù)所占的比例見(jiàn)下表： 血型 A B AB O 該血型的人數(shù) 所占的比例 28% 29% 8% 35% 已知同種血型的人可以互相輸血，O型血的人可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，若他因病需要輸血，問(wèn)： (1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？ (2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？ 解法二：“任找一個(gè)人，其血不能輸給小明”的對(duì)立事件是“任找一個(gè)人，其血可以輸給小明”，由對(duì)立事件概率公式結(jié)合(1)知所求概率為1－0.64＝0.36. 例3、一個(gè)袋中裝有1紅、2白和2黑共5個(gè)小球，這5個(gè)球除顏色外其它都相同，現(xiàn)從袋中任取2個(gè)球，則至少取到1個(gè)白球的概率為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】“至少一個(gè)白球”的對(duì)立事件為“沒(méi)有白球”，所以 【變式演練1】甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱(chēng)甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 考點(diǎn)：互斥事件. 【變式演練2】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一個(gè)目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求： （1）2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率； （2）2人至少有1人射中目標(biāo)的概率. 【解析】記“甲射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件B，則A與B，與B，A與，與為相互獨(dú)立事件， (1)“2人各射擊1次，恰有1人射中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中(事件發(fā)生)，另一種是甲未擊中、乙擊中(事件發(fā)生)根據(jù)題意，事件與互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為： . ∴2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率是0.26． 6分 (2)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2種情況，其概率為. (法2)：“2人至少有一個(gè)擊中”與“2人都未擊中”為對(duì)立事件，2個(gè)都未擊中目標(biāo)的概率是， ∴“兩人至少有1人擊中目標(biāo)”的概率為． 【變式演練3】有5張大小相同的卡片分別寫(xiě)著數(shù)字1、2、3、4、5，甲，乙二人依次從中各抽取一張卡片（不放回），試求： （1）甲抽到寫(xiě)有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫(xiě)有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率； （2）甲、乙二人至少抽到一張偶數(shù)數(shù)字卡片的概率。 【答案】（1）甲抽到奇數(shù)，乙抽到偶數(shù)的抽法共有6種，所求概率為 （2）甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 【答案】C 考點(diǎn)：概率統(tǒng)計(jì)分析. 【名師點(diǎn)睛】本題將小球與概率知識(shí)結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對(duì)應(yīng)的基本事件有多種可能，那么一般我們通過(guò)逐一列舉計(jì)數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用. 2. 【xx年高考北京理數(shù)】（本小題13分） A、B、C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）； A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)； （2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率； （3）再?gòu)腁、B、C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25（單位：小時(shí)），這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，試判斷和的大小，（結(jié)論不要求證明） 【答案】（1）40；（2）；（3）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圖表判斷C班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計(jì)算C班的學(xué)生人數(shù)； （Ⅱ）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”的所有事件，由獨(dú)立事件概率公式求概率. （Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)公式進(jìn)行判斷即可. 試題解析：（1）由題意知，抽出的名學(xué)生中，來(lái)自班的學(xué)生有名，根據(jù)分層抽樣方法，班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為；（2）設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人”，， 事件為“乙是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人”，， 由題意可知，，；，， ，,. 設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”，由題意知， 因此 （3）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式即可知，. 考點(diǎn)：1.分層抽樣；2.獨(dú)立事件的概率；3.平均數(shù) 3. 【xx高考山東理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分12分） 甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： （I）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率； （Ⅱ）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析， 【解析】 試題分析：（Ⅰ）找出“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)所包含的基本事件，由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解. (Ⅱ)由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 , , , , , . 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn)：1.獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等. 【反饋練習(xí)】 1. 口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而非對(duì)立的事件是以下事件“①2張卡片都不是紅色；②2張卡片恰有一張紅色；③2張卡片至少有一張紅色；④2張卡片恰有兩張綠色”中的哪幾個(gè)？（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 2. 袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球.從中隨機(jī)一次摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球。 從中隨機(jī)一次摸出2個(gè)球， 基本事件總數(shù)， 這2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的對(duì)立事件是這2個(gè)球中都是紅球， ∴這2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率. 故選：D. 3. 甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，則乙獲勝的概率為_(kāi)___，甲不輸?shù)母怕蕿開(kāi)___. 【答案】 20% 80% 4. 口袋中有若干紅球、黃球與藍(lán)球，摸出紅球的概率為0.45，摸出紅球或黃球的概率為0.65，則摸出紅球或藍(lán)球的概率為_(kāi)__． 【答案】0.8 【解析】由題意，摸出紅球的概率為，摸出紅球或黃球的概率為，故摸出藍(lán)色球的概率為，故摸出紅球或藍(lán)球的概率為，故答案為. 5.甲、乙兩人玩一種游戲：在裝有質(zhì)地、大小完全相同，編號(hào)分別為1，2，3，4，5五個(gè)球的口袋中，甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏. （1）求甲贏且編號(hào)和為6的事件發(fā)生的概率； （2）這種游戲規(guī)則公平嗎？試說(shuō)明理由. 【答案】（1）；（2）不公平.理由參考解析 【解析】 試題分析：（1）因?yàn)橛螒蛞?guī)則是編號(hào)分別為1，2，3，4，5五個(gè)球的口袋中，甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.該游戲是有放回的，所以總共的基本事件有25種，再列出符合條件的基本事件數(shù)即可得到結(jié)論. （2）由于題意可知甲獲勝的基本事件共有13個(gè)，所以甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率所以這個(gè)游戲不公平. 試題解析：（1）設(shè)“兩個(gè)編號(hào)和為6”為事件A,則事件A包含的基本事件為（1，5），（2，4）， （3，3），（4，2），（5，1）共5個(gè)， 又甲、乙兩人取出的數(shù)字共有55＝25（個(gè)）等可能的結(jié)果， 故. （2）設(shè)甲勝為事件B,乙勝為事件C，則甲勝即兩編號(hào)和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)有13個(gè)：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)。 所以甲勝的概率, 乙勝的概率 (可省略) 所以這種游戲規(guī)則是不公平的. 考點(diǎn)：1.概率的問(wèn)題.2.列舉分類(lèi)的思想.3.事件的互斥的概念. 6. 某超市為了了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購(gòu)物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值； (2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率．(將頻率視為概率) 【答案】詳見(jiàn)解析 故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為.