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2019-2020年高二數(shù)學上學期第二次月考試題 理(III) 一．選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項． 1．“至多有三個”的否定為（ ） A．至少有三個 B．至少有四個 C． 有三個 D．有四個 2．如果命題“ ”是假命題，則下列說法正確的是(　　) A． 均為真命題 B．中至少有一個為真命題 C．均為假命題 D．至少有一個為假命題 3．“ ”是“ ”的（　?。? A．充分而不必要條件　 B．必要而不充分條件　　 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 4．已知橢圓的焦點是，是橢圓上的一個動點，如果延長到，使得，那么動點的軌跡是( ) A．圓 B． 橢圓 C．雙曲線的一支 D． 拋物線 5．“” 是“方程 表示的曲線為焦點在軸上的橢圓”的（ ） A．充分而不必要條件　 B．必要而不充分條件　　 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 6．已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段 的中點到軸的距離為(　　) A． B． C． D． 7．已知雙曲線的焦距為，點在的漸近線上，則的方程為(　　) A． B． 　　C． D． 8．若圓心在軸上，半徑為的圓位于軸左側，且被直線截得的弦長為，則圓的方程是(　　) A． B． C． D． 9．已知 ，則有(　　) A．最大值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最小值為 10．在以為中心， 為焦點的橢圓上存在一點，滿足，則該橢圓的離心率為(　　) A． B． C． D． 11．已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為(　　) A．5 B．7 C．13 D．15 12．點在直線上，若存在過點的直線交拋物線于兩點，且 ，則稱點為“ 點”，那么下列結論中正確的是 （ ） A．直線 上的所有點都是“ 點” B．直線上僅有有限個點是“ 點” C．直線 上的所有點都不是“ 點” D．直線 上有無窮多個點（不是所有的點）是“ 點” 二．填空題：本大題共四小題，每小題5分,共20分． 13．設 滿足約束條件，則的取值范圍為______. 14. 已知雙曲線的右焦點的坐標為 ，則該雙曲線的漸近線方程為_________. 15．過焦點為的拋物線上一點向其準線作垂線，垂足為，若，則 ． 16 . 若關于的不等式對任意在 上恒成立，則實常數(shù)的取值范圍是________． 三.解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17．(本小題滿分10分) 已知命題“”，命題“ ”．若命題“ ”是真命題，求實數(shù)的取值范圍． 18．(本小題滿分12分) 在中，, . （1）求的值； (2)設 ，求的面積 19．(本小題滿分12分) 已知雙曲線的中心在原點，焦點 在坐標軸上，離心率為 ，且過點．點 在雙曲線上． (1)求雙曲線方程； (2)求證：； (3)求 的面積． 20．(本小題滿分12分) 設數(shù)列的前項和，數(shù)列的前項和為，滿足． （1） 求的值； （2） 求數(shù)列的通項公式． B 第21題圖 x y O A Q P 21. (本小題滿分12分) 如圖, 直線與拋物線交于A、B兩點, 線段AB的垂直平分線與直線交于Q點. (1) 求點Q的坐標； (2) 當P為拋物線上位于線段AB下方 (含A、B) 的動點時, 求面積的最大值. 22.（本小題滿分10分）如圖,在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，直線與軸交于點，與橢圓交于兩點． 第22題圖 x O y B P E A （1）若點的坐標為 ，點在第一象限且橫坐標為，連結點與原點的直線交橢圓于另一點，求的面積； （2）是否存在點 ，使得 為 定值？若存在，請指出點的坐標，并求出 該定值；若不存在，請說明理由． 第18題 湛江一中xx第一學期第二次考試 高二級理科數(shù)學參考答案 一．選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。 1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C 11．B 12．A 12．解:設 ， 則 ，∵在上，∴ 消去,整理得關于的方程 （1） ∵ 恒成立， ∴方程（1）恒有實數(shù)解，∴應選A. 第Ⅱ卷 二．填空題：本大題共四小題，每小題5分． 13．　　14．　　15．　　16． 16 .解：由題意得 ，，∴ 或 . 又，． 三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17．解： ， ……………………3分 ，則 ， 得 或 . ------------------6分 若“ ”是真命題，則是真命題且是真命題， ----8分 即或， 或 . 18.解：（1）由，且，∴，………2分 ∴， ……………………………3分 ∴， …………………………5分 又，∴ ……………………6分 （2）由正弦定理得 ……………………7分 ∴， …………………9分 又 …………………11分 ∴ ………12分 19.解：(1)∵ ， ………1分 ∴可設雙曲線方程為 ． ………………2分 ∵雙曲線過點，∴ ，即 …………3分 ∴雙曲線方程為 . ……………………4分 (2)由(1)可知，在雙曲線中 ，∴ ， ∴ ． ………………5分 ∴ ， ………………………6分 又∵點 在雙曲線上，∴ . ∴……………………7分 ∴ …………………8分 (3)由(2)知 ∴ 為直角三角形．又 ，， 或，由兩點間距離公式得 ， ， ………10分 ＝． 即的面積為6. ………………………12分 20．解：(1)當 ，由已知有 ……………………………3分 （2） 時有 ① ②……………4分 ①-②得： ③………………………5分 再向后類推一次 ④………………………6分 ③-④得： 則………………………8分 ……………………………………………10分 是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列…………11分 ……………………12分 21.解：(1) 解方程組 得或 -------2分 即, 從而AB的中點為. ------------------3分 由 ,直線AB的垂直平分線方程 令 , 得 -----------------4分 (2) 直線OQ的方程為 , 設. -------------------5分 ∵點P到直線OQ的距離=, ----------7分 ,∴==. ---------------8分 ∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上, ∴或. ----------10分 ∵函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增, ∴當時,的面積取到最大值 . ------------------12分 第18題 22.解：（1）將代入，解得， --------------1分 因點在第一象限，從而，由點的坐標為，所以，直線的方程為， 聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得， ------------------------2分 又過原點，于是，，所以直線的方程為 ，所以點到直線的距離， -------------------4分 ---------------------------------------5分 （2）假設存在點，使得為定值，設， 當直線與軸重合時，有 --------6分 當直線與軸垂直時，， ------------7分 由，解得，， 所以若存在點，此時，為定值2． -----8分 根據(jù)對稱性，只需考慮直線過點，設，， 又設直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組， 化簡得，所以，， ------------9分 又， 所以， ------------11分 將上述關系代入，化簡可得． 綜上所述，存在點，使得為定值2．-------12分