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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題8.2 點(diǎn)、直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)試題 理 【三年高考】 1. 【xx江蘇，15】 如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC. 【解析】（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，，所以.又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以EF∥平面ABC. （2）因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD， 平面BCD，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以AD⊥AC. 2. 【xx課標(biāo)II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)。 （1）證明：直線 平面PAB； （2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。 【解析】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，。因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥,,由得∥，又,所以。四邊形為平行四邊形，∥。又平面，平面，故平面。 （2）由已知得,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,，設(shè)則，因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45，而是底面ABCD的法向量，所以， ， 即。 ① 又M在棱PC上，設(shè),則 。 ② 由①，②解得 (舍去)，。所以，從而。 設(shè)是平面ABM的法向量，則即 所以可取。于是 ，因此二面角的余弦值為。 3.【xx高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則（ ） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C 【解析】由題意知，．故選C． 4．【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題： （1）如果，那么.（2）如果，那么. （3）如果，那么.（4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有 ． (填寫所有正確命題的編號(hào)） 【答案】②③④ 5．【xx高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【解析】（1）在直三棱柱中，，在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn).所以，于是，又因?yàn)镈E平面平面，所以直線DE//平面 （2）在直三棱柱中，，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€，所以 6．【xx高考新課標(biāo)1卷】如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （I）證明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【解析】（I）由已知可得,,所以平面．又平面,故平面平面． （II）過作,垂足為,由（I）知平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由（I）知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,．由已知,,所以平面．又平面平面,故,．由,可得平面,所以為二面角的平面角,．從而可得． 所以,,,．設(shè)是平面的法向量,則,即,所以可?。O(shè)是平面的法向量,則,同理可?。畡t．故二面角的余弦值為． 7．【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)． （I）證明平面； （II）求直線與平面所成角的正弦值. 【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平? （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，于是. 8. 【xx高考安徽，理5】已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，則與平行 （B）若，平行于同一平面，則與平行 （C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線 （D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】由，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故不正確；由，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，若，不平行，但平面內(nèi)會(huì)存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項(xiàng)，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故項(xiàng)正確.所以選D. 9. 【xx高考福建，理7】若 是兩條不同的直線， 垂直于平面，則“ ”是“ 的 （ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】若，因?yàn)榇怪庇谄矫?，則或；若，又垂直于平面，則，所以“ ”是“ 的必要不充分條件，故選B． 9.【xx江蘇高考，16】如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.求證：（1）； （2）. 【解析】（1）由題意知，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，因此．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面? 【xx考試大綱】 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 (1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理. ? 公理 1： 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi). ? 公理 2： 過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. ? 公理 3： 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線. ? 公理 4： 平行于同一條直線的兩條直線互相平行. ? 定理： 空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). (2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. 理解以下判定定理. ? 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行. ? 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面平行. ? 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直. ? 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直. 理解以下性質(zhì)定理,并能夠證明. ? 如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線和該直線平行. ? 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線相互平行. ? 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題,始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)，且線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、是高考的熱點(diǎn)，在難度上也始終以中等偏難為主，而直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定高考大題全國卷中很少涉及，而在小題中考查，主要考查的是對(duì)概念，定理的理解與運(yùn)用.【xx年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由于在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，是知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重.高考對(duì)這部分知識(shí)的考查側(cè)重以下幾個(gè)方面： 1．從命題形式來看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作——證——求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合.2．從內(nèi)容上來看，主要是：考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題與解答題的第一步； 3．從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：①會(huì)畫圖——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；②會(huì)識(shí)圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會(huì)析圖——對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會(huì)用圖——對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力.從高考試題來看，線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時(shí)還考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力．直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考查重點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題又有解答題，在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重.預(yù)測xx年高考，第一問以線面垂直，面面垂直為主要考查點(diǎn)，第二問可能給出一個(gè)角，求點(diǎn)的位置或設(shè)置一個(gè)探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力．復(fù)習(xí)建議;證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時(shí)要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路. 【xx年高考考點(diǎn)定位】 高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn).）考題既有選擇題，填空題，又有解答題；在考題上的特點(diǎn)為：熱點(diǎn)問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關(guān)系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主，考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力. 【考點(diǎn)1】空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 【備考知識(shí)梳理】 1．平面概述：（1）平面的兩個(gè)特征：①無限延展 ②平的（沒有厚度）；（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面；（3）平面的表示：用一個(gè)小寫的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面AC. 2．三公理三推論: 公理1：若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)： A,B,A,B 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線. 公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面 3．空間直線:（1）空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線——有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).相交直線和平行直線也稱為共面直線.異面直線的畫法常用的有下列三種： （2）平行直線： 在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個(gè)結(jié)論在空間也是成立的.即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. （3）異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線.推理模式：與是異面直線. 異面直線所成的角：①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)作直線，，把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．②范圍：. 4．直線和平面的位置關(guān)系 （1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）； （2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）； （3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）——用兩分法進(jìn)行兩次分類. 它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示為，，. 5．兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點(diǎn)） 【規(guī)律方法技巧】 1．求異面直線所成角的方法 (1)平移法：即選點(diǎn)平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題，這是求異面直線所成角的常用方法． (2)補(bǔ)形法：即采用補(bǔ)形法作出平面角． 2．證明共面問題的兩種途徑 (1)首先由條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，再證其他線(或點(diǎn))在此平面內(nèi)； (2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個(gè)平面重合． 3．證明共線問題的兩種途徑：(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他點(diǎn)都在這條直線上； (2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上． 4．證明共點(diǎn)問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【湖南省長沙市xx屆高三模擬試卷（二）】已知三棱錐的各棱長都相等，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】問題等價(jià)于：三棱錐A?BCD的棱長全相等,E是AD中點(diǎn),則直線CE與直線BD所成角的余弦值是多少.下處理該問題：如圖,取AB中點(diǎn)F,連接EF,因?yàn)镋. F分別為AD、AB的中點(diǎn),則EF為三角形ABD的中位線,所以EF∥BD，所以直線EF與CE所成的角即為直線CE與直線BD所成角，因?yàn)槿忮FA?BCD的棱長全相等，設(shè)棱長為2a，則EF=a，在等邊三角形ABC中，因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以CF為邊AB上的高，所以，則CE=CF= ，在三角形CEF中, . 所以,直線CE與直線BD所成角的余弦值為.本題選擇B選項(xiàng). 2. 【湖北省黃岡xx年高三三模】設(shè)是空間兩條直線， 是空間兩個(gè)平面，則下列命題中不正確的是（ ） A. 當(dāng)時(shí)，“”是“”的充要條件 B. 當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件 C. 當(dāng)時(shí)，“”是“”的必要不充分條件 D. 當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件 【答案】C 【解析】當(dāng) 時(shí)，“ ” “ ”或 與 異面“” “ 或 ”，所以當(dāng) 時(shí)，“ ”是 “ ”的即不必要又不充分條件，故C錯(cuò)誤；當(dāng) 時(shí)，“ ” “ ” ，“ ”推不出“ ”，所以當(dāng) 時(shí)，“ ”是 “ ” ，的充分不必要條件，故正確；當(dāng)時(shí) ，“ ” “ ” ，所以當(dāng)時(shí) ，“ ”是 “ ” ，成立的充要條件，故A正確；當(dāng) 時(shí)，“ ” “ ” ，“ ”推不出“” ，當(dāng)時(shí)，“”是“”的充分不必要條件,故正確，故選C. 【考點(diǎn)2】直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1. 線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.推理模式：． 2.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.推理模式：． 3.兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.定理的模式： 推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面互相平行. 推論模式： 4.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行. 易錯(cuò)點(diǎn)：1．直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件． 2．面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件． 3．如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交． 【規(guī)律方法技巧】 1. 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 2.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量互相平行；證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行； 3.面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個(gè)平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.；⑤向量法：證明兩個(gè)平面的法向量平行. 4.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)有五條： （1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”.用符號(hào)表示是：，，則. （2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，這個(gè)定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”.用符號(hào)表示是：，，，則. （3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面.這個(gè)定理可用于證線面垂直.用符號(hào)表示是：，，則. （4）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等 （5）過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知平面平行 5.證明空間線面平行需注意以下幾點(diǎn)：①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論.關(guān)鍵在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)行平行之間的轉(zhuǎn)化. 6．“升降維”思想 直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的.運(yùn)用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進(jìn)行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決.運(yùn)用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的重要方法.平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過程. 7．反證法：反證法是立體幾何中常用的間接證明方法.其步驟是：①否定結(jié)論；②進(jìn)行推理；③導(dǎo)出矛盾；④肯定結(jié)論．用反證法證題要注意：①宜用此法否；②命題結(jié)論的反面情況有幾種. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【重慶市巴蜀中學(xué)xx屆高三三診】設(shè)是空間中不同的直線， 是不同的平面，則下列說法正確的是（ ） A. ，則 B. ，則 C. ，則 D. ，則 【答案】D 2.【安徽省安慶市xx屆高三三?！咳鐖D，在四棱錐中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3． （1）求到平面的距離 （2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 【解析】（1）方法一：因?yàn)槠矫妫?又,所以平面，又，所以到平面的距離為. （2）在線段上存在一點(diǎn)，使平面，下面給出證明：設(shè)為線段上的一點(diǎn)，且, 過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則,因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所?所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面,平面， 所以平面. 【考點(diǎn)3】直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1．線線垂直 判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條. 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直. 三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直.推理模式： . 注意：⑴三垂線指都垂直內(nèi)的直線其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理⑵要考慮的位置，并注意兩定理交替使用. 2．線面垂直：定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線和平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足.直線與平面垂直記作：. 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行. 3．面面垂直 兩個(gè)平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面. 兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直） 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面. 【規(guī)律方法技巧】 1.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性. 2.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行. 線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直. 3.面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直. 解題時(shí)要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)行垂直之間的轉(zhuǎn)化. 4.證面面垂直，關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理.已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計(jì)算的方式（如勾股定理）證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，這個(gè)定理已知的是兩個(gè)平面垂直，結(jié)論是線面垂直． 5.證明線面垂直，就考慮證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線；而證明異面的線線垂直，很多題都要通過線面垂直來證明；對(duì)相交直線垂直的證明，一般考慮用平面幾何里的方法.常見的有以下幾種，若是等腰三角形，則底邊上的中線與底邊垂直；若是錐形、菱形（正方形），則對(duì)角線互相垂直；若是矩形，則鄰邊互相垂直；有時(shí)還用到以下結(jié)論：如下圖，在矩形中，若，則； 若告訴了線段的長度，或者是告訴了邊與邊之間的關(guān)系，則用勾股定理. 6．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化．注意以下幾點(diǎn)：①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論.④三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮.應(yīng)用時(shí)常需先認(rèn)清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計(jì)算證明線線垂直也是常用的方法之一. 7．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可．每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達(dá)到目的.例如：有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. 8.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）證明線面垂直時(shí)，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件．（2）面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視．（3）面面垂直的性質(zhì)定理在使用時(shí)易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【湖南省長沙市xx屆模擬（二）】已知正方體，點(diǎn)分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列結(jié)論 ①對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；②對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得； ③對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；④對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得。 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 2.【甘肅省蘭州xx屆高三沖刺模擬】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線段上，且， ，M在線段上，且． （Ⅰ）證明： 平面； （Ⅱ）在線段AD上確定一點(diǎn)F，使得平面平面，并求三棱錐的體積． 【解析】（Ⅰ）證明：在中， ， ， ，由余弦定理得．　 所以，從而有. 由平面，得.所以平面. （Ⅱ）取是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，，則.在中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，則，所以.因?yàn)槠矫?，所以平?又平面，所以平面平面. . V = . 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1.線線平行與垂直的證明 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性. 2.線面平行與垂直的證明方法 線面平行與垂直位置關(guān)系的確定，也是高考考查的熱點(diǎn)，在小題中考查關(guān)系的確定，在解答題考查證明細(xì)節(jié). 線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量互相平行；證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行. 線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直. 3.面面平行與垂直的證明 （1）面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個(gè)平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④向量法：證明兩個(gè)平面的法向量平行. （2）面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直. 解題時(shí)要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)行垂直之間的轉(zhuǎn)化. 1. 【xx屆廣西南寧市高三一?！恳阎獮閮蓷l直線， 為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【答案】D 【解析】A中，有可能，故A錯(cuò)誤；B中，顯然可能與斜交，故B錯(cuò)誤；C中，有可能，故C錯(cuò)誤；D中，由得， ，又 所以，故D正確. 2. 【貴州省遵義市xx屆高三一?！恳阎莾蓷l不重合的直線， 是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若， ，則；②若， ，則； ③若， ， ，則；④若是異面直線， ， ， ，則． 其中真命題是（ ） A. ①和④ B. ①和③ C. ③和④ D. ①和② 【答案】A 3.【xx屆湖南省郴州市高三第四次質(zhì)檢】如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)成（平面）．若、分別為線段、的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A. 與平面垂直的直線必與直線垂直 B. 異面直線與所成角是定值 C. 一定存在某個(gè)位置，使 D. 三棱錐外接球半徑與棱的長之比為定值 【答案】C 【解析】取CD的中點(diǎn)F，連BF,MF,如下圖：可知面MBF//,所以A對(duì)。取中點(diǎn)G,可知，如下圖，可知B對(duì)。點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)為F,則面，即過O與DE垂直的直線在平面上。故C錯(cuò)。三棱錐外接球的球心即為O點(diǎn)，所以外接球半徑為。故D對(duì)。選C 4. 【江西省南昌市xx屆高三二?！恳阎本€與平面滿足，則下列判斷一定正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因?yàn)?，所以成立，但可能異面，故答案A不正確； 也有可能 ，故答案 B不正確；對(duì)于答案C，也有 的可能，故答案C也不正確，對(duì)于答案D，因?yàn)?，應(yīng)選答案D 。 5. 【福建省泉州市xx屆高三高考考前適應(yīng)性模擬】設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形, 用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面 A. 有無數(shù)多個(gè) B. 恰有個(gè) C. 只有個(gè) D. 不存在 【答案】A 6. 【四川省大教育聯(lián)盟xx屆第三次診斷性】若， 是兩條不同的直線， 是一個(gè)平面，則下列說法正確的是（ ） A. 若， ，則 B. 若， ，則 C. 若， ，則 D. 若， ，則 【答案】B 【解析】對(duì)于A， ，則直線， 的關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤；由線面垂直性質(zhì)定理可知：若， ，則正確，即B正確；根據(jù)線面垂直的判定定理，可知C不正確；對(duì)于D，可能線在面內(nèi)，故D錯(cuò)誤；故選B. 7. 【山西省孝義市xx屆高三考前熱身】如圖,在四棱柱中,已知, 是的中點(diǎn) （1）求證: ； （2）求三棱錐的體積. 【解析】（1）證明:在正四棱柱中,底面是正方形，可得，又，所以 ① 由平面，可得 ② 由①②，且，所以平面,而平面，所以 （2）由是中點(diǎn)，可得,由（1）中平面，可知平面，即平面，所以 8. 【xx屆江蘇省南京市高三高考熱身】如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD底面ABCD， ； （1）求證：平面PAB平面PCD； （2）若過點(diǎn)B的直線垂直平面PCD，求證： //平面PAD. 【解析】（1）證明：因?yàn)闉榫匦?，所以，?cè)面底面，側(cè)面底面， 平面，所以平面，平面，所以，又， ， 、平面，所以平面，又平面，所以平面平面． （2）由（1）知， 平面，又平面，所以，又平面， 平面，所以平面． 9. 【江蘇省南京市xx屆高三考前模擬】如圖，在四棱錐中, . （1）若是的中點(diǎn)，求證： 平面； （2）若，求證：平面平面. 10. 【山東省日照市xx屆高三聯(lián)合模擬】如圖，菱與四邊形BDEF相交于BD， 平面ABCD，DE//BF,BF=2DE，AF⊥FC，M為CF的中點(diǎn)， ． (I)求證：GM／／平面CDE； (II)求證：平面ACE⊥平面ACF． 【解析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榱庑螌?duì)角線的交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，所以平面平面，又平面，所以平面? （Ⅱ）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又平面，所以，所?設(shè)菱形的邊長為2， ，則， 又因?yàn)?，所以，則， ，且平面， ，得平面，在直角三角形中， ，又在直角梯形中，得，從而，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面. 11. 【xx屆河南省鄭州一中高三考前沖刺五】已知是兩個(gè)不同的平面，m ，n是兩條不同的直線給出下列命題： ①若則；②若，則；③如果是異面直線，那么n與α相交；④若則n∥α且. 其中的真命題是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【解析】若由線面垂直的可得面面垂直，即，①正確；若，由線面垂直與線面平行的相關(guān)性質(zhì)可得，，②錯(cuò)誤；如果是異面直線，也可出現(xiàn)n與α平行，③錯(cuò)誤；若由線面平行的相關(guān)性質(zhì)可得且.④正確.故本題答案選D. 12. 【xx屆山東省濰坊一中高三下三輪沖刺模擬二】已知是兩個(gè)不同的平面，是三條不同的直線，則下列條件中，是的充分條件的個(gè)數(shù)為（ ） ①； ②且；③；④且. A．2 B．0 C．3 D．1 【答案】A 【解析】對(duì)于①，可能出現(xiàn)在平面內(nèi)的情況,不是 的充分條件；對(duì)于②，由平行的傳遞性,可推出.是的充分條件；對(duì)于③，由據(jù)線面平行的性質(zhì)可得,,可理得,再由平行傳遞性得.是 的充分條件；對(duì)于④，當(dāng),異面垂直時(shí),可能不平行,故不是的充分條件. 13. 【xx屆云南昆明高三適應(yīng)性檢測三】如圖，在正方體中，，分別是的中點(diǎn)，過直線的平面平面，則平面截該正方體所得截面的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題設(shè)可知截面的形狀是等腰梯形,且上底長為,下底長為,高,故其面積為,選B. 14. 【xx屆山東省冠縣武訓(xùn)高中高三5月月考】如圖，在四棱錐中，平面，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面． 【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，∵分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面 （2）證明：連接，由，得四邊形為菱形，∴，∵平面，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面. 15．【xx屆河北省衡水中學(xué)高三下六調(diào)】如圖1，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐． （1）證明：平面； （2）當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積為，求的值． 【解析】（1）在圖1中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，即在圖2中，,從而平面,又,所以平面; 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1. 已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若直線平面，直線平面，可得平面平面.所以“直線平面”是“平面平面”的充分條件；若平面平面，又直線平面，那么直線平面，直線平面都可能成立.如正方體中中，平面平面，直線平面，但直線平面；直線平面，但直線與平面不垂直.所以“直線平面”是“平面平面”的不必要條件.綜上，“直線平面”是“平面平面”的充分不必要條件.故選A. 【入選理由】本題考察空間直線和平面的位置關(guān)系，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考察學(xué)生空間想象能力. 線面的平行與垂直，是立體幾何的主體內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)，一般選擇題多考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題. 2．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（　　?。? A．若，，，則　　　B．若，，，則 C．若，，，則　　　D．若直線與所成角相等，則 【答案】B 【解析】A中，滿足條件的兩條直線也可是異面，不正確；B中，由知，同時(shí)由知，過的一個(gè)與平面相交平面，其交線與平行，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及平行公理知，正確；C中，滿足條件的兩個(gè)平面也可能平行，或相交但不垂直，不正確；D中，滿足條件的兩個(gè)平面也可能相交，故選B． 【入選理由】本題考查空間直線、平面間的平行與垂直間關(guān)系的辨析，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維求解能力．線面的平行與垂直，是立體幾何的主體內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)，一般選擇題多考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題. 3. 如圖，在三棱柱中，已知分別為線段的中點(diǎn)，，且. 求證：（1）平面平面； （2）∥平面. 【解析】（1）因?yàn)椋覟榫€段的中點(diǎn)，所以.又，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫? （2）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以∥，且.在三棱柱中，∥，且.又為線段的中點(diǎn)，故∥，且.所以∥，且，于是四邊形是平行四邊形，從而∥.又平面，平面，故∥平面 【入選理由本題考查面面垂直判定定理、線面垂直判定定理、線面平行判定定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查空間想象能力、分析問題、解決問題的能力、推理論證能力. 高考對(duì)立體幾何的考查，主要以柱體、錐體或其組合體為載體，考查線面位置關(guān)系的判定與證明，特別是解答題的第一問，主要考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題. 4. 如圖，平面平面，是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)． （1）若是中點(diǎn)，求證：平面； （2）若平面，求證：是中點(diǎn)． P N M E C B A 【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面? 所以平面．因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，又，所以，所以平面． （2）設(shè)平面平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以? 因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又平面平面，平面，所以，從而，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是中點(diǎn)． 【入選理由】本題考查線面垂直判定定理，面面垂直性質(zhì)定理，線面平行判定與性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查空間想象能力、分析問題、解決問題的能力及推理論證能力． 高考對(duì)立體幾何的考查，主要以柱體、錐體或其組合體為載體，考查線面位置關(guān)系的判定與證明，特別是解答題的第一問，主要考查線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題. 5. 四棱錐中，，且平面，， ，是棱的中點(diǎn). （Ⅰ）證明： 平面 ； （Ⅱ）求四棱錐的體積. （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接， 是正三角形，∴. 平面，∴.∴平面，由（Ⅰ）知底面為直角梯形， ∴，∴四棱錐的體積． 【入選理由】本小題主要考查空間直線與平面、直線與直線垂直的判定，及錐體的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力，以及數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題是高考考試題型,第一問證明平行與垂直，第二問求體積，故選此題.