《2019-2020年高考數(shù)學 專題10.4 圓錐曲線的綜合應用試題 文.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高考數(shù)學 專題10.4 圓錐曲線的綜合應用試題 文.doc（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高考數(shù)學 專題10.4 圓錐曲線的綜合應用試題 文 【三年高考】 1. 【xx山東，文21】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為. (Ⅰ)求橢圓C的方程； (Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點,圓N的半徑為|NO|. 設D為AB的中點,DE,DF與圓N分別相切于點E,F,求EDF的最小值. 【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，又當時，，得，所以，因此橢圓方程為. （Ⅱ）設，聯(lián)立方程，得，由 得 （*） 且 ，因此 ，所以 ，又 ，所以 ，整理得： ，因為 ，所以 ，令 ，故 ，所以 .令 ，所以 .當時，,從而在上單調遞增，因此 ，等號當且僅當時成立，此時，所以，由（*）得 且，故，設，則 ，所以得最小值為.從而的最小值為，此時直線的斜率時.綜上所述：當，時，取得最小值為. 2. 【xx天津，文20】已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為. （I）求橢圓的離心率； （II）設點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為. （i）求直線的斜率； （ii）求橢圓的方程. （ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得點，進而可得，所以.由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.所以，橢圓的方程為. 3 . 【xx高考山東文數(shù)】已知橢圓C:（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2. （I）求橢圓C的方程； (Ⅱ)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B. (i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. 【解析】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為c，由題意知，所以，所以橢圓C的方程為. (Ⅱ)(i)設，由，可得 所以 直線PM的斜率 ，直線QM的斜率.此時，所以為定值. (ii)設，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以， ，所以 由，可知，所以 ，等號當且僅當時取得.此時，即，符號題意.所以直線AB 的斜率的最小值為 . 4．【xx高考四川文科】已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上. (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：． 【解析】（I）由已知，a=2b.又橢圓過點，故，解得. 所以橢圓E的方程是. （II）設直線l的方程為， ，由方程組 得，① 方程①的判別式為，由，即，解得.由①得.所以M點坐標為，直線OM方程為，由方程組得.所以.又.所以. 5．【xx高考上海文科】有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點或河邊運走。于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運到河邊較近，中的蔬菜運到點較近，而菜地內和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點為的中點，點的坐標為（1,0），如圖 （1） 求菜地內的分界線的方程 （2） 菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗值”為。設是上縱坐標為1的點，請計算以為一邊、另一邊過點的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值 【解析】（1）因為上的點到直線與到點的距離相等，所以是以為焦點、以為準線的拋物線在正方形內的部分，其方程為（）． （2）依題意，點的坐標為．所求的矩形面積為，而所求的五邊形面積為．矩形面積與“經(jīng)驗值”之差的絕對值為，而五邊形面積與“經(jīng)驗值”之差的絕對值為，所以五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗值”． 6．【xx高考新課標1，文5】已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準線與E的兩個交點，則 ( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 7. 【xx高考山東，文21】平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，且點（，）在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設橢圓：，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點. （i）求的值； (ii)求面積的最大值. 【解析】（I）由題意知又，解得，所以橢圓的方程為 （II）由（I）知橢圓的方程為. （i）設由題意知.因為又，即所以，即 （ii）設將代入橢圓的方程，可得，由可得……① 則有所以因為直線與軸交點的坐標為，所以的面積 設將直線代入橢圓的方程，可得，由可得……② 由①②可知故.當且僅當，即時取得最大值由（i）知，的面積為，所以面積的最大值為 8. 【xx高考重慶，文21】如題（21）圖，橢圓（>>0）的左右焦點分別為,,且過的直線交橢圓于P,Q兩點，且PQ. (Ⅰ)若||=2+，||=2-，求橢圓的標準方程. (Ⅱ)若|PQ|=||，且，試確定橢圓離心率的取值范圍. 【解析】 (1)由橢圓的定義，設橢圓的半焦距為，由已知，因此即從而，故所求橢圓的標準方程為. (2)如題(21)圖，由,得，由橢圓的定義，,進而，于是. 解得，故.由勾股定理得,從而,兩邊除以，得,若記，則上式變成.由，并注意到關于的單調性，得，即，進而，即. 9. 【xx高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且＝－1 (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由. 【解析】(Ⅰ)由已知，點C，D的坐標分別為(0，－b)，(0，b)，又點P的坐標為(0，1)，且＝－1，于是，解得a＝2，b＝，所以橢圓E方程為. (Ⅱ)當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以，從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－，所以，當λ＝1時，－＝－3，此時，＝－3為定值，當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時＝－2－1＝－3，故存在常數(shù)λ＝－1，使得為定值－3. 【xx考試大綱】 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質應用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關系、直線與拋物線的位置關系是考查的重點和熱點，考查的知識點多，能力要求高，尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目. 【xx年高考復習建議與高考命題預測】 由前三年的高考命題形式,橢圓、雙曲線、拋物線的性質綜合問題是高考考試的重點，每年必考，一般是兩小一大的布局，試題難度往往是有一道基礎題，另一道是提高題，難度中等以上，有時作為把關題．考查方面離心率是重點，其它利用性質求圓錐曲線方程，求焦點三角形的周長與面積，求弦長，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等．從近三年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標準方程及幾何性質是高考的熱點，題型大多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質，考查基本運算能力及等價轉化思想，而橢圓、拋物線的性質一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有時作為把關題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預測xx年求曲線的方程和研究曲線的性質、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質應用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關系、直線與拋物線的位置關系仍是考查的重點和熱點，考查的知識點仍然較多，能力要求高，尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法，加大練習力度，提高運算能力和綜合運用知識分析解決問題能力，要特別關注與向量、導數(shù)等知識的結合，關注函數(shù)思想、數(shù)形結合思想及分類討論思想等數(shù)學思想在解題中的應用． 【xx年高考考點定位】 高考對圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識運用；三是直線與圓錐曲線的位置關系，這是高考中考查的重點和難點，主要涉及的題型為中點弦問題、最值與取值范圍問題、定點與定值問題、探索性問題，從涉及的知識上講，常與平面向量、函數(shù)與導數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系，考查知識點多，運算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征. 【考點1】求軌跡方程 【備考知識梳理】 1．曲線與方程 在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上．那么，這個方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個方程的曲線. 2．直接法求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當?shù)淖鴺讼担? (2)設點——設軌跡上的任一點P(x，y)． (3)列式——列出動點P所滿足的關系式． (4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程． 【規(guī)律方法技巧】 1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類是不知曲線類型常用的方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F(x，y)＝0； (2)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； (3)代入法(相關點法)：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (4)參數(shù)法：當動點P(x，y)坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 2. 求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等 【考點針對訓練】 1. 【湖南省衡陽市xx屆高三第三次聯(lián)考】已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點逆時針方向旋轉角得到點.設平面內曲線上的每一點繞原點沿逆時針方向旋轉后得到點的軌跡是曲線，則原來曲線的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【福建省三明市xx屆5月質量檢查】已知直線與拋物線相切，且與軸的交點為，點.若動點與兩定點所構成三角形的周長為6． (Ⅰ) 求動點的軌跡的方程； (Ⅱ) 設斜率為的直線交曲線于兩點，當，且位于直線的兩側時，證明： . 【解析】(Ⅰ) 因為直線與拋物線相切，所以方程有等根， 則，即，所以． 又因為動點與定點所構成的三角形周長為6,且，所以 根據(jù)橢圓的定義，動點在以為焦點的橢圓上，且不在軸上，所以，得，則， 即曲線的方程為（）. (Ⅱ)設直線方程 ，聯(lián)立 得，△=-3+12>0，所以， 此時直線與曲線有兩個交點, ，設 ， ，則， ∵，不妨取，要證明恒成立，即證明，即證，也就是要證 即證由韋達定理所得結論可得此式子顯然成立，所以成立. 【考點2】圓錐曲線間的綜合 【備考知識梳理】 1.要熟記橢圓的定義、標準方程與幾何性質. 2.要熟練掌握雙曲線的定義、標準方程與幾何性質. 3.要熟練掌握拋物線的定義、標準方程與幾何性質. 【規(guī)律方法技巧】 1. 解圓錐曲線間的綜合問題時，要結合圖像進行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關系，實現(xiàn)不同曲線間基本量的轉化. 2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、簡單幾何性質是解題的關鍵. 【考點針對訓練】 1. 【xx屆四川省資陽市高三一?！恳阎p曲線的右頂點為，拋物線的焦點為．若在的漸近線上存在點，使得，則的離心率的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意得， ，設，由，得 ,因為在的漸近線上存在點，則，即 ，又因為為雙曲線，則 ，故選B. 2. 【安徽省亳州市xx屆高三質量檢測】已知拋物線，直線傾斜角是且過拋物線的焦點，直線被拋物線截得的線段長是16，雙曲線： 的一個焦點在拋物線的準線上，則直線與軸的交點到雙曲線的一條漸近線的距離是（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【考點3】直線與圓錐曲線位置關系的綜合問題 【備考知識梳理】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關于x的方程. (1) 若≠0，當△＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點. 當△=0時，直線與圓錐曲線有且只有一個公共點，此時直線與雙曲線相切. 當△＜0時，直線與圓錐曲線無公共點. （2）當=0時，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線的對稱軸平行. （3）設直線與圓錐曲線的交點A（，），B（，），則，. 2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 【規(guī)律方法技巧】 1.在處理直線與圓錐曲線的位置關系問題時，常用設而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關于（或）的一元二次方程，設出直線與圓錐曲線的交點坐標，則交點的橫（縱）坐標即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關系，將，表示出來，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問題，再通過配湊將其化為關于與的式子，將，代入再用有關方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題. 2.再處理直線與圓錐曲線位置關系問題時，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設為，避免分類討論. 3.定點與定值問題處理方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定點（定值），再證明這個定點（定值）與變量無關. (2)直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點（定值）. 4.最值問題常見解法有兩種： （1）幾何法：若題中的條件與結論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等. (2)代數(shù)法：利用相關知識和方法結合題中的條件，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質、不等式或導數(shù)知識求出這個函數(shù)的最值. 5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種： （1）不等式法：利用題意結合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏. (2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關知識，將所討論參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論這個函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍. 6.對探索性問題，先假設存在，依此為基礎推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在. 7. 直線與圓錐曲線位置關系中的中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓練】 1.【安徽省淮北市xx屆高三最后一卷】已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線， 為切點，若直線經(jīng)過拋物線的焦點， 的面積為，則以直線為準線的拋物線標準方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由拋物線的對稱性知， ，則，解得，直線方程為，所以所求拋物線標準方程為，故選D． 2.【xx屆河河南省鄭州一中等高三百校聯(lián)考】已知橢圓： 的離心率為，且過點. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓相交于， 兩點，試問在軸上是否存在定點，使得直線與直線關于軸對稱？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由. 【解析】（Ⅰ）由題意得，，故橢圓的方程為. （Ⅱ）假設存在點滿足題設條件.當直線與軸不垂直時，設的方程為， 代入橢圓方程化簡得： ，設， ，則， ，所以 ，因為 ，所以當時， ，直線與直線關于軸對稱，當軸時，由橢圓的對稱性可知恒有直線與直線關于軸對稱，綜上可得，在軸上存在定點，使得直線與直線關于軸對稱. 【應試技巧點撥】 １．求圓錐曲線方程的方法 求曲線方程的常見方法： (1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解根據(jù)相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點的坐標()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程. 注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念. (5)待定系數(shù)法：①頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設為或()，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義． ②中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，橢圓方程可設為 ()，雙曲線方程可設為 ()．這樣可以避免繁瑣的計算． 利用以上設法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質求出參數(shù)，即得方程． 2．最值或范圍問題的解決方法 解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種： (1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值； (2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值； (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值； (4)利用判別式求最值； (5)利用數(shù)形結合，尤其是切線的性質求最值． 3．求定值問題的方法 定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題． 4． 有關弦的問題 (1)有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關系，即作如下變形： ，. ②當斜率不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)． (2)弦的中點問題 有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算． 5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質的基礎.因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求. 6.解決直線與圓錐曲線位置關系問題的步驟： (1)設方程及點的坐標； (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零)； (3)應用根與系數(shù)的關系及判別式； (4)結合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解 7.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應用問題的解題關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?，合理建立曲線模型，然后轉化為相應的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數(shù)形結合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等. 8.避免繁復運算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設的幾何特征，靈活運用曲線的有關定義、性質等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標系下運算復雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”. 9. 解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內容： （1）給出直線的方向向量或； （2）給出與相交,等于已知過的中點; （3）給出,等于已知是的中點; （4）給出,等于已知與的中點三點共線; （5） 給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù),等于已知三點共線； （6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即； （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角； （8）給出,等于已知是的平分線； （9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）； （12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）； （14）在中，給出等于已知通過的內心； （15）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）； （16）在中，給出,等于已知是中邊的中線. 10．定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 11．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關系，根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關系．建立目標函數(shù)或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理. 1. 【xx屆云南省師范大學附中高三適應性（五）】已知拋物線的焦點為，準線為，拋物線的對稱軸與準線交于點， 為拋物線上的動點， ，當最小時，點恰好在以為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知， ，過點作垂直于準線，則．記，則，當最小時， 有最小值，此時直線 與拋物線相切于點．設，可得，所以，則，∴， ，∴，故選D． 2. 【江西省南昌市xx屆高三三?！恳阎菣E圓和雙曲線的公共焦點， 是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.【河南省新鄉(xiāng)市xx屆高三三?！吭谄矫嬷苯亲鴺讼抵校p曲線： 與圓： 相切， ， ，若圓上存在一點滿足，則點到軸的距離為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】聯(lián)立雙曲線： 與圓： ，消去 得∵雙曲線與圓相切，∴判別式 ，易知 分別為雙曲線的左右焦點，又，故由雙曲線的定義知在雙曲線上，且為右切點，由韋達定理得 即點到軸的距離為 故選：A 4. 【xx屆陜西省渭南市高三二模】已知分別是雙曲線的左、右焦點，若點關于直線的對稱點恰好落在以為圓心， 為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可知直線為的中位線所在線，所以直線為圓的切線， ，所以直線的傾斜角為， ，選B. 5.【云南省昆明市xx屆高三5月二檢】設為拋物線的焦點，曲線與相交于點，直線恰與曲線相切于點， 交的準線于點，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由解得，又對， ，所以，化簡得，所以， ，故選B． 6.【河北省石家莊市xx屆高三二?！咳鐖D，兩個橢圓的方程分別為和（， ），從大橢圓兩個頂點分別向小橢圓引切線、，若、的斜率之積恒為，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意知，外層橢圓方程為 ，設切線的方程為代入內層橢圓消去得: 由化簡得同理得所以選A. 7. 【xx屆安徽省宣城市高三二?！咳鐖D，已知橢圓： 的離心率為， 、為橢圓的左右頂點，焦點到短軸端點的距離為2， 、為橢圓上異于、的兩點，且直線的斜率等于直線斜率的2倍． （Ⅰ）求證：直線與直線的斜率乘積為定值； （Ⅱ）求三角形的面積的最大值． 【解析】（Ⅰ）．，故． （Ⅱ）當直線的斜率存在時，設： 與軸的交點為，代入橢圓方程得，設， ，則， ， 由，得，得， ，得或． 或，所以過定點或，點為右端點，舍去， ， 令（），， ， ， 當直線的斜率不存在時， ， ，，即，解得， ，，所以的最大值為. 8. 【黑龍江省大慶學xx屆高三考前得分訓練】已知橢圓的離心率為，四個頂點構成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點（不同于點），直線的斜率分別為. （1）求橢圓的方程； （2）當變化時，①求的值；②試問直線是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由. 【解析】（1）由題設知， ， ，又，解得.故所求橢圓的方程是. （2）①，則有，化簡得，對于直線，同理有，于是是方程的兩實根，故.考慮到時，是橢圓的下頂點，趨近于橢圓的上頂點，故若過定點，則猜想定點在軸上.由，得，于是有.直線的斜率為，直線的方程為，令，得， 故直線過定點. 9. 【xx屆山東省濟寧市高三3月模擬】在平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率是，且直線： 被橢圓截得的弦長為． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）若直線與圓： 相切： （i）求圓的標準方程； （ii）若直線過定點，與橢圓交于不同的兩點、，與圓交于不同的兩點、，求的取值范圍． （ii）由題可得直線的斜率存在，設： ，與橢圓的兩個交點為、，由消去得，由，得，， ，∴．又圓的圓心到直線： 的距離，∴圓截直線所得弦長，∴， 設， ，則， ∵的對稱軸為，在上單調遞增， ，∴，∴． 10.【重慶市xx屆高三二?！恳阎獧E圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點，且直線恰好通過橢圓的右焦點， （1）求橢圓的標準方程； （2）經(jīng)過的直線和橢圓交于兩點,交拋物線于兩點， 是拋物線的焦點，是否存在直線，使得,若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 【解析】（1）由知，可設，其中，由已知，代入橢圓中得： 即，解得，從而，故橢圓方程為 （2）易知，直線的斜率存在。設直線為， ， ， ， 。由條件知。，故。由， ， ，，，，。存在直線： 或者滿足條件。 11. 【山西省榆林市高三第二次模擬】已知拋物線的準線與雙曲線交于、兩點，點為拋物線的焦點，若為直角三角形，則雙曲線離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得：而，選C. 12. 【xx年山西省四校高三聯(lián)考】已知雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，. 若以為直徑的圓內切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵雙曲線的虛軸兩端點為，兩焦點為．∴，可得直線的方程為，即．∵雙曲線的兩頂點為，以為直徑的圓內切于菱形，∴點到直線的距離等于半徑，即，化簡得，∵，∴上式化簡為，整理得．兩邊都除以，得，解之得，∵雙曲線的離心率，∴，可得，故答案為C. 13.【xx屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】已知雙曲線的漸近線上的一點到其右焦點的距離等于2，拋物線過點，則該拋物線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 14. 【xx屆廣西柳州市高三下4月模擬理】在平面直角坐標系中，動點到點的距離與它到直線的距離之比為. （1）求動點的軌跡的方程； （2）設直線與曲線交于兩點，與軸、軸分別交于兩點（且 在之間或同時在之外）. 問：是否存在定值，對于滿足條件的任意實數(shù)，都有的面積與的面積相等，若存在，求的值；若不存在，說明理由. 【解析】（1）設，則，整理得.∴軌跡的方程為. （2）聯(lián)立消去得：，，由得 （） 設，，則.由題意，不妨設，,的面積與的面積總相等恒成立線段的中點與線段的中點重合.∴，解得，即存在定值，對于滿足條件，且（據(jù)（））的任意實數(shù)，都有的面積與的面積相等. 15. 【xx屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考理】如圖, 在平面直角坐標系中, 拋物線的準線與軸交于點,過點的直線與拋物線交于兩點, 設到準線的距離. （1）若,求拋物線的標準方程； （2）若,求證：直線的斜率的平方為定值. 【解析】（1）,設拋物線的焦點為,,即軸,, 即,得,所以拋物線的方程為. （2）設,直線的方程為,將直線的方程代入,消去得,由得.所以.,又,所以,所以,即直線的斜率的平方為定值. 【一年原創(chuàng)真預測】 1. 如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，在雙曲線上，且軸，直線，與軸分別交于，兩點，若，則雙曲線的漸近線被圓：所截弦長為 A．B．C. D． 【答案】D 【解析】由已知，，，.由可得，，即，解得.由可得，，即，解得.由已知.解得.所以，故.該雙曲線的漸近線方程為.而圓的圓心為，半徑，由圓與雙曲線的對稱性可知，兩漸近線被圓所截弦長相等，而圓心到漸近線的距離.所以漸近線被圓所截弦長為. 【入選理由】本題考查雙曲線的定義、方程與幾何性質以及直線和圓的位置關系等，意在考查基本的邏輯推理與運算能力、數(shù)形結合的數(shù)學思想等.本題是雙曲線與線和圓結合，體現(xiàn)學科內綜合,故選此題. 2. 已知雙曲線的標準方程，直線與雙曲線交于不同的兩點，若兩點在以點為圓心的同一個圓上，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. ，或 【答案】D 【解析】聯(lián)立，得，首先應有，即（※），設點，線段的中點為，由根與系數(shù)的關系得，所以，，所以點，所以直線的斜率為， 由題意應有直線與直線垂直，所以，即，化簡得，因為，所以，解得．將代入（※）式得，解得或．故的取值范圍是，或．故選D. 【入選理由】本題考查直線與雙曲線的位置關系等基礎知識，意在考查學生的分析問題、解決問題的能力，基本運算能力及推理能力．本題是雙曲線與圓結合，體現(xiàn)學科內綜合,故選此題. 3．已知一拋物線的焦點為，其對稱軸與準線的交點為，在拋物線上且滿足，當取最大值時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則雙曲線的漸近線為 （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】由題意得拋物線的標準方程為，過點作準線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，又由得，所以，設直線的傾斜角為，則，當取最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設直線的方程為，代入，可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線中，，進而可得，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選C． 【入選理由】本題考查拋物線與雙曲線的定義、方程與幾何性質等，意在考查基本的邏輯推理與運算能力、數(shù)形結合的數(shù)學思想等．本題是拋物線與雙曲線結合，體現(xiàn)學科內綜合,故選此題. 4. 已知是橢圓：的左，右焦點． （1）當時，若是橢圓上在第一象限內的一點，且，求點的坐標； （2）當橢圓的焦點在軸上且焦距為2時，若直線：與橢圓相交于兩點，且，求證：的面積為定值． 【解析】（1）當時，橢圓方程為，則．設，則，由，得，與橢圓方程聯(lián)立解得，即點的坐標為． （2）當橢圓的焦距為2時，，則，所以橢圓的方程為．由得：． ∵，∴，∴，，∴，由，得，∴．∵．又點到直線的距離， ∴．即的面積為定值． 【入選理由】本題主要考查橢圓方程與幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，意在考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問題的能力、運算求解能力．本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 5. 已知橢圓：的左焦點為，設是橢圓的兩個短軸端點，是橢圓的長軸左端點． （Ⅰ）當時，設點，直線交橢圓于，且直線的斜率分別為，求的值； （Ⅱ）當時，若經(jīng)過的直線與橢圓交于兩點，O為坐標原點，求與的面積之差的最大值． 【解析】（Ⅰ）由條件，不妨設，則直線的斜率為，所以直線的方程為，代入，得，解得，所以，，所以． 【入選理由】本題考查橢圓的方程與幾何性質、直線斜率、直線與橢圓的位置關系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運算求解能力、方程思想與分類討論的思想．本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.