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2016-2017學年度 九年級數(shù)學期中測試 2016年11月 考 生 須 知 1.本試卷共8頁，共三道大題，29道小題，滿分120分。考試時間120分鐘。 2.在答題紙和機讀卡上認真填寫班級、姓名和準考證號。 3.試題答案一律填涂在機讀卡或書寫在答題紙上，在試卷上作答無效。 4.在答題紙上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。 5.考試結(jié)束，請將答題紙和機讀卡一并交回。 一、選擇題（本題共30分，每小題3分） 第1-10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。 1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）. 　A. B. C. D. 　　　 2．在平面直角坐標系中，將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線解析式為（ ）. A． B． C． D． 3．如果（ab≠0），那么下列比例式變形正確的是（ ） A． B． C． D． 4．如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，且 DE∥BC，如果 AD∶DB=3∶2，那么AE∶AC等于（ ） A．3∶2　 　 B．3∶1 　 C．2∶3　 　D．3∶5 5．在平面直角坐標系xoy中，如果⊙O是以原點O（0，0）為圓心，以5為半徑的圓，那么點A（-3，-4）與⊙O的位置關(guān)系是（ ） A. 在⊙O內(nèi) B.在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能確定 6．如圖，將△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)20， B點落在位置，A點落在位置，若， 則的度數(shù)是（ ）． A．50 B．60 C． 70 D．40 7．如右圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20，則∠AOD等于（ ） A．120 B． 140 C．150 D． 160 8．二次函數(shù)的最小值為（ ） A. 5 B. 0 C. -3 D. -4 9．如圖，是⊙的切線，為切點，的延長線交⊙于點， 連接，如果，，那么的長等于( ) ． A. 6 B. 4 C. D. 10．如圖1，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發(fā)沿圖中某一個扇形順時針勻速運動，設(shè)∠APB=y（單位：度），如果y與點P運動的時間x（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，那么點P的運動路線可能為( ). A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O 二、填空題（本題共18分，每小題3分） 11．寫出一個拋物線開口向下，與y軸交于（0，2）點的函數(shù)表達式 . 12. 把二次函數(shù)的表達式y(tǒng) = x2－6x+5化為的形式，那么=_____. 13．頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園．該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個地基的面積是 米2． 14．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？” 用數(shù)學語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O 的直徑，弦于E，如果CE = 1， AB = 10，那么直徑CD的長為 .” 15.弦AB的長等于⊙O的半徑，那么弦AB所對的圓周角的度數(shù)是____________. 16．閱讀下面材料： 在數(shù)學課上，老師提出如下問題： 尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線. 已知：⊙O和點P. 求作：過點P的⊙O的切線. 小涵的主要作法如下： 如圖：（1）連結(jié)OP，作線段OP的中點A； （2）以A為圓心，OA長為半徑作圓，交⊙O于點B，C； （3）作直線PB和PC. 所以PB和PC就是所求的切線. 老師說：“小涵的作法正確．” 請回答：小涵的作圖依據(jù)是　 ?。? 三、解答題（本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分，第28分7分，第9題8分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。 17．解方程：． 18．如圖，以□ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作⊙A，分別交BC，AD于E，F(xiàn)兩點，交BA的延長線于G，判斷弧EF和弧FG是否相等，并說明理由. 19．已知拋物線y= (m -2)x2 + 2mx + m +3與x軸有兩個交點． (1) 求m的取值范圍； (2) 當m取滿足條件的最大整數(shù)時，求拋物線與x軸兩個交點的坐標． 第20題圖 20．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到△AB1C1． (1) 在網(wǎng)格中畫出△AB1C1； (2) 計算點B旋轉(zhuǎn)到B1的過程中所經(jīng)過的路徑長．（結(jié)果保留） 21．下表是二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標（x）和縱坐標（y）. x … -1 0 1 2 3 4 5 … y … 8 3 0 -1 0 m 8 … （1）觀察表格，直接寫出m=____； （2）其中A（，）、B（，）在函數(shù)的圖象上，且-1< x1 <0， 2< x2 <3， 則_____（用“>”或“<”填空）； （3）求這個二次函數(shù)的表達式． 22. “母親節(jié)”前夕，我市某校學生積極參與“關(guān)愛貧困母親”的活動，他們購進了一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，并將所得利潤捐給貧困母親．在義賣的過程中發(fā)現(xiàn)，這種文化衫每天的銷售件數(shù)（件）與銷售單價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：．如果義賣這種文化衫每天的利潤為（元），那么銷售單價定為多少元時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 23．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，直線l與⊙O相切與點P，且l∥BC． l P A O B C (1) 請僅用無刻度的直尺，在⊙O中畫出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分(保留作圖痕跡，不寫作法)； (2) 請寫出證明△ABC被所作弦分成的兩部分面積相等． 24. 密蘇里州圣路易斯拱門是座雄偉壯觀的拋物線形的建筑物，是美國最高的獨自挺立的紀念碑，如圖．拱門的地面寬度為200米，兩側(cè)距地面高150米處各有一個觀光窗，兩窗的水平距離為100米，求拱門的最大高度． 25. 如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC 于點E． （1）求證：DE 是⊙O的切線； （2）若△ABC的邊長為4，求EF 的長度． 26．閱讀下面解題過程，解答相關(guān)問題. 求一元二次不等式＞0的解集的過程. ① 構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象： 根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)；并在坐 標系中畫出二次函數(shù)的圖象(如圖1). ② 求得界點，標示所需： 當y=0時，求得方程的解為， ；并用鋸齒線標示出函數(shù)圖象 中y＞0的部分(如圖2). ③ 助圖象，寫出解集： 由所標示圖象，可得不等式＞0的解集為. 請你利用上面求一元二次不等式解集的過程， 求不等式≥4的解集. 27．在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸是直線． （1）求拋物線的表達式； （2）點，在拋物線上，若，請直接寫出的取值范圍； （3）設(shè)點為拋物線上的一個動點，當時， 點關(guān)于軸的對稱點都在直線的上方，求的取值范圍． 28. 已知，點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OB，OC. （1） 如圖1，已知∠AOB=150，∠BOC=120，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得△ADC. ①∠DAO的度數(shù)是 ； ②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； （2） 設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β. ①當α，β滿足什么關(guān)系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由； ②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值. 29．在平面直角坐標系xOy中，定義點P（x,y）的變換點為P′(x+y, x-y) ． (1) 如圖1，如果⊙O的半徑為， ①請你判斷 M (2,0)，N (-2,-1)兩個點的變換點與⊙O的位置關(guān)系； ②若點P在直線y=x+2上，點P的變換點P′在⊙O的內(nèi)，求點P橫坐標的取值范圍. (2) 如圖2，如果⊙O的半徑為1,且P的變換點P’在直線y=-2x+6上，求點P與⊙O上任意一點距離的最小值． 草 稿 紙 北京市第十三中學2016-2017學年度 九年級數(shù)學期中測試評分標準 2016年11月 一、選擇題（本題共30分，每小題3分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D B C B D A C 二、填空題（本題共18分，每題3分） 11．不唯一； 12．-1； 13．； 14．26； 15．30和150； 16．直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 三、解答題（本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分，第28分7分，第9題8分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。 17.解方程： . 解：. …………1分 . …………2分 . …………3分 . ∴ . …………5分 18. 如圖，以□ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作⊙A，分別交BC，AD于E，F(xiàn)兩點，交BA的延長線于G，判斷和是否相等，并說明理由. 結(jié)論：. ………………… 1分； 證法一：連接AE. ∴， ∴，………………… 2分； ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴，，………………… 3分； ∴， ………………… 4分； 在⊙A中， ∴. ………………… 5分. 結(jié)論：. ………………… 1分； 證法二：連接GE. ∵BG是⊙A的直徑， ∴. ………………… 2分； ∴. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ………………… 3分； ∴ ………………… 4分； ∴. ………………… 5分. 證法三：參考上面給分 19．（1）解：在 y= (m -2)x2 + 2mx + m +3 中，令y=0 由題意得------------------------------------------2分 整理，得 解得 -----------------------------------3分 （2）滿足條件的m的最大整數(shù)為5．-------------------------4分 ∴y=3x2+10x+8 令y=0，3x2+10x+8=0，解得 ∴拋物線與x軸有兩個交點的坐標分別為（-2,0）、（，0）-------5分 20．解：(1)畫出△AB1C1，如圖． ………………………………2分 (2)由圖可知△是直角三角形，AC＝4，BC＝3， 所以AB＝5． ………………3分 點B旋轉(zhuǎn)到B1的過程中所經(jīng)過的路徑是一段弧， 且它的圓心角為90，半徑為5． …………4分 ∴＝． …………5分 所以點B旋轉(zhuǎn)到B1的過程中所經(jīng)過的路徑長為． 21．解（1）3； --------------------------------------------------1分 （2）>； -----------------------------2分 （3）觀察表格可知拋物線頂點坐標為（2，-1）且過（0，3）點， 設(shè)拋物線表達式為--------------3分 把（0，3）點代入，4a-1=3， 解得a=1--------------------------------------------------4分 ∴ -----------------------------------5分 22．解：每天獲得的利潤為： …… ……………………… 1分 ……………………………… 3分 ∵ ∴當銷售價定為28元時，每天獲得的利潤最大，…… 4分 最大利潤是192元. . ……5分 23. （1）解：如圖所示. O P l A C B F E D -----2分 （2）思路： a．由切線性質(zhì)可得PO⊥l； b．由l∥BC可得PD⊥BC； c．由垂徑定理知，點E是BC的中點； d．由三角形面積公式可證S△ABE = S△AEC . -----5分 24. 解法一：如圖所示建立平面直角坐標系．--------------------------- 1分 此時，拋物線與x軸的交點為C(-100,0), D(100,0)． 設(shè)這條拋物線的解析式為．-------------------- 2分 ∵ 拋物線經(jīng)過點B (50,150)， 可得 ． 解得． ------------------------- 3分 ∴．-------4分 頂點坐標是（0，200） ∴ 拱門的最大高度為200米．-------------------------------------- 5分 解法二：如圖所示建立平面直角坐標系．-------------------------------- 1分 設(shè)這條拋物線的解析式為．--------------------------------- 2分 設(shè)拱門的最大高度為h米，則拋物線經(jīng)過點B(50,-h+150), D(100,-h) 可得 解得． ----------------------- 4分 ∴ 拱門的最大高度為200米．--------------------- 5分 25.（1）證明：連接， ∵是等邊三角形， ∴． ∵， ∴．…………………………………………………………1分 ∵， ∴． ∴． ∴． ∴于點． ∵點在⊙上， ∴是⊙的切線． ……………………………………………………………2分 （2）連接，， ∵為⊙直徑， ∴． ∴，． ∵是等邊三角形， ∴，． …………………………………………3分 ∵， ∴．……………………………………………………………4分 ∴． ………………………………………………5分 26. 解：①構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象： 根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)或 ；并在坐標系中畫出二次函數(shù) 或；的圖象(如圖). ………………… 2分； ②求得界點，標示所需： 當y=4時，求得方程的解為， ；并用鋸齒線標示出函數(shù)圖象 中y≥4的部分(如圖). 或當y=0時，求得方程的解為， ；并用鋸齒線標示出函數(shù)圖象 中y≥0的部分(如圖). …………… 4分； ③借助圖象，寫出解集： ∴不等式≥4的解集為≤-1或≥3. ………………… 5分； 27． 解： （1）∵拋物線的對稱軸是 ∴ ∴ …………. ………...1分 ∴． ………. ………...2分 （2）或． ………. ………...4分 （3） 由題意得拋物線 關(guān)于軸對稱的拋物線為. 當； 當直線經(jīng)過點時， 可得 ………5分 當； 當直線經(jīng)過點時， 可得 ……6分 綜上所述，的取值范圍是． ………7分 28．解：（1）①90. …………………………………………… 1分 ②線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是. 如圖1，連接OD. ∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得△ADC， ∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60. ∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120, AD= OB. ∴△OCD是等邊三角形. ∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60. ∵∠AOB=150，∠BOC=120， ∴∠AOC=90. ∴∠AOD=30，∠ADO=60. ∴∠DAO=90. 在Rt△ADO中，∠DAO=90， ∴. ∴. ………………… 3分 （2）①如圖2，當α=β=120時，OA+OB+OC有最小值. 作圖如圖2的實線部分. …………………… 4分 如圖2，將△AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得△A’O’C，連接OO’. ∴△A’O’C≌△AOC，∠OCO’=∠ACA’=60. ∴O’C= OC, O’A’ = OA，A’C = BC, ∠A’O’C =∠AOC. ∴△OC O’是等邊三角形. ∴OC= O’C = OO’，∠COO’=∠CO’O=60. ∵∠AOB=∠BOC=120， ∴∠AOC =∠A’O’C=120. ∴∠BOO’=∠OO’A’=180. ∴四點B，O，O’，A’共線. ∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 時值最小. …………… 6分 ②當?shù)冗叀鰽BC的邊長為1時，OA+OB+OC的最小值A(chǔ)’B=. … 7分 29.解：（1）①由題意得， ∴ ∴在⊙O上，在⊙O外. ----2分 ②設(shè)點,則. ∵點在⊙O內(nèi)， ∴,解得. ∴點P橫坐標的取值范圍是. -----5分 （2）設(shè)點,則. 由題意，得 整理，得 ∴ ∴點O到直線y= -3x+6的距離是 ∴點P與⊙O上任意一點的最短距離是. -----8分 九年級數(shù)學測試 第 16 頁 共 16 頁