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第四章 矩陣特征值與特征向量的計算,4.0 問題描述 4.1 乘冪法與反冪法 4.2 雅可比方法,4.0 問題描述,設(shè)A為nn矩陣，所謂A的特征問題是求數(shù)?和非零向量x，使,Ax＝ ?x,成立。數(shù)?叫做A的一個特征值，非零向量x叫做與特征值?對應(yīng)的特征向量。這個問題等價于求使方程組(A- ?I)x=0有非零解的數(shù)?和相應(yīng)的非零向量x。,線性代數(shù)理論中是通過求解特征多項式det(A-?I)=0的零點而得到?，然后通過求解退化的方程組(A-?I)x=0而得到非零向量x。當(dāng)矩陣階數(shù)很高時，這種方法極為困難。目前用數(shù)值方法計算矩陣的特征值以及特征向量比較有效的方法是迭代法和變換法。,4.1 乘冪法與反冪法,一、乘冪法,通過求矩陣特征向量求出特征值的一種迭法方法，它用以求按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量。,設(shè)實矩陣A的特征值為?1,?2,…,?n，相應(yīng)的特征向量 線性無關(guān)。設(shè)A的特征值按模排序為：,令 ，可以構(gòu)造一個向量序列，,根據(jù)特征值的定義,若 由于 ，故k充分大時，,是相應(yīng)于 的近似特征向量,設(shè) 表示,綜上可知，求矩陣主特征值及相應(yīng)的特征向量的計算步驟如下：,Step1:任給n維初始向量U(0)?0;,Step2:按U(k)=AU(k-1)(k=1,2,…)計算U(k);,Step3:如果k從某個數(shù)后分量比,則取?1?c，而U(k)就是與?1對應(yīng)的一個近似特征向量。,上述方法即乘冪法。,Remark1:具體計算時，U(0)的選取很難保證一定有?1?0。但是，由于舍入誤差的影響，只要迭代次數(shù)足夠多，如 ，就會有 ，因而最后結(jié)論是成立的。對于 的情形，由于對任意l均有上面的結(jié)論，故只要取另外的l使 即可。,Remark2:以上討論只是說明了乘冪法的基本原理。當(dāng) 太小或太大時，將會使U(k)分量的絕對值過小或過大，以致運算無法繼續(xù)進行。因此，實際計算時，常常是每進行m步迭代進行一次規(guī)范化，如用,其中，max(U(m))表示向量U(m)的絕對值最大的分量。,代替U(k)繼續(xù)迭代。由于特征向量允許差一個非零常數(shù)因子，因而從V(k)往后繼續(xù)迭代與從U(k)往后繼續(xù)迭代的收斂速度是相同的，但規(guī)范化的做法有效防止了溢出現(xiàn)象。至于m的選取，可以自由掌握，如取m＝1，5等等。,Remark3:若主特征值是重特征值，如,則有,從而,由此可得乘冪法的算法。但是應(yīng)該注意到，在重特征值的情形下，從不同的非零初始向量出發(fā)迭代，可能得到主特征值的幾個線性無關(guān)的特征向量。,Remark4:由上述推導(dǎo)可知，乘冪法收斂的快慢取決于比值 的大小，該比值越小收斂越快。 由此便提出了乘冪法的加速收斂方法，如Rayleigh商加速法、原點平移法等。,Remark5:對于?1＝-?2，或?1與?2共軛等情形，也可類似進行計算，具體可參閱相關(guān)教材。,對 用反冪法求解按模最大的特征值是 ，特,征向量是 ，即是A的按模最小的特征值和特征向量。,二、反冪法,計算矩陣按模最小的特征值及相應(yīng)的特征向量。,Step2：計算U(k)=A-1U(k-1)(k=1,2,…)；,Step3:如果k從某個數(shù)后分量比,則取 ，而U(k)就是與?n對應(yīng)的一個近似特征向量。,反冪法的計算步驟如下：,Step1：任取 ；,Remark2：若已知矩陣A的某個特征值?i的相對分離較好的近似值p。不要求p的近似程度有多好，只要求j?i時， ，則 便是 的主特征值。 這樣一來，就可以使用反冪法求解矩陣的在某點附近的特征值及其特征向量。,Remark1:實際計算時一般并不求A-1，而是將算法中的迭代公式U(k)=A-1U(k-1)改為解方程組AU(k)=U(k-1)。由于每步所解方程組具有相同的系數(shù)矩陣A，故常常是先將A進行三角分解，然后轉(zhuǎn)化為每步只需用回代公式求解兩個三角方程組。這樣可以減少計算工作量。,