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2019-2020年高三下學(xué)期第一次模擬考試 數(shù)學(xué)文 含答案 一、選擇題（每小題5分，共50分） 1. 設(shè)則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 2. 設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合，如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)的和為，當(dāng)首項(xiàng)與d變化時(shí)，是一個(gè)定值，則下列各數(shù)中也為定值的是（ ） A. B. C. D. 5. 如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（ ） A. AC∥截面PQ∥MN B. AC＝BD C. AC⊥BD D. 異面直線(xiàn)PM與BD所成的角為45 6. 某同學(xué)在電腦上進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，共10道題，答完第n題（n＝1，2，3，…，10）電腦都會(huì)自動(dòng)顯示前n題的正確率，則下列關(guān)系不可能成立的是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 已知，對(duì)以下不等式 ① ② ③ ④ ⑤， 其中成立的是（ ） A. ①②⑤ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 8. 已知F1、F2為雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠＝60，則＝（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 已知函數(shù)（a、b為常數(shù)，）在處取得最小值，則函數(shù)是（ ） A. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 10. 如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)（說(shuō)明：“正方形PABC沿x軸滾動(dòng)”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動(dòng)。沿x軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)。類(lèi)似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動(dòng)。向右為順時(shí)針，向左為逆時(shí)針）。設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是y＝f（x），則關(guān)于f（x）的最小正周期T及y＝f（x）在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是 （ ） A. B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共25分） 11. 如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是________。 12. 方程的根，，則k＝_________。 13. 在△ABC中，O為中線(xiàn)AM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，則的最小值是_________。 14. 若曲線(xiàn)存在垂直于y軸的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________。 15. 關(guān)于x的不等式的解集為，若，則實(shí)數(shù)k的值等于________。 三、解答題 16. （12分）已知，其中，若函數(shù)，且的對(duì)稱(chēng)中心到對(duì)稱(chēng)軸的最近距離不小于。 （Ⅰ）求的取值范圍； （Ⅱ）在△ABC中，分別是角A，B，C的對(duì)邊，且，當(dāng)取最大值時(shí)，，求△ABC的面積。 17. （12分）一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4。 （Ⅰ）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率； （Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求的概率。 18. （12分）已知長(zhǎng)方體中，棱，棱，連結(jié)，過(guò)B點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于E，交于F。 （1）求證：⊥平面EBD； （2）求三棱錐的體積。 19. （12分）數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為。 （1）求； （2），求數(shù)列的前n項(xiàng)和。 20. （13分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為A，線(xiàn)段OA的中點(diǎn)為B（O為原點(diǎn)），如圖，若拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)，N為拋物線(xiàn)C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交橢圓與P，Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值。 21. （14分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值。 （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； （Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得，試用這個(gè)結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對(duì)任意，都有。  三、解答題 16. 解：（Ⅰ） （2分） 函數(shù)的周期，由題意知，即， 又。故的取值范圍是 （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知的最大值為1，。， 。而。（9分） 由余弦定理可知：，又。 聯(lián)立解得：。。 （12分） 17. 解析：（Ⅰ）從袋子中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個(gè)。 從袋中隨機(jī)取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有1和2，1和3兩個(gè)。 因此所求事件的概率為1/3。 （Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果（m，n）有： （1，1）（1，2），（1，3），（1，4），（2，1）（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）（3，4），（4，1）（4，2），（4，3）（4，4），共16個(gè) 所有滿(mǎn)足條件的事件為（1，3）（1，4）（2，4），共3個(gè) 所以滿(mǎn)足條件的事件的概率為 故滿(mǎn)足條件的事件的概率為。 18. 解：（1）證：以A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），，， 設(shè)，則： ＝0，，， ，又平面EBD。 （6分） （2）連結(jié)到平面的距離，即三棱錐的高，設(shè)為h， ，由 得：，∴點(diǎn)A到平面的距離是。（12分） 19. 解：（1）由于，故 ， ， 故 （6分） （2）， ，兩式相減得 ， 故。（12分） 20. （Ⅰ）解：由題意可知B（0，－1），則A（0，－2），故。 令得即，則，故。 所以，于是橢圓C1的方程為： （4分） （Ⅱ）設(shè)，由知直線(xiàn)PQ的方程為：。即。代入橢圓方程整理得：， ， ， （6分） 故 ＝ （8分） 設(shè)點(diǎn)M到直線(xiàn)PQ的距離為d，則 （10分） 所以，△MPQ的面積 （12分） 當(dāng)時(shí)取到“＝”，此時(shí)，滿(mǎn)足題意△MPQ的面積的最大值為（13分） 21. 解：（Ⅰ）。由，得，此時(shí)。 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間（－1，0）上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。 ∴函數(shù)在處取得極大值，故 （6分） （Ⅱ）令， 則。 （8分） 函數(shù)在上可導(dǎo)，∴存在，使得。 （10分） 又 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，； 故對(duì)任意，都有 （14分）