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2019-2020年高三12月聯(lián)考 數(shù)學(xué)理 含答案 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時(shí) 120 分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．選出符合題目要求的一項(xiàng)填在機(jī)讀卡上． 1． 若集合，且，則集合可能是 A．　 B．　 C．　 D． 2． 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 A． B． C． D． 3． 已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是 A． B． C． D． 4． 一個(gè)棱錐的三視圖如圖（尺寸的長(zhǎng)度單位為）， 則該棱錐的體積是 A． B． C． D． 正視圖 側(cè)視圖 5．設(shè)變量滿足約束條件， 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A． B． C． D． 6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則的值為 A． B． C． D． 7． 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，，若，則的取值范圍是 A． B． C． D． 8．設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非選擇題，共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．已知，且為第二象限角，則的值為 ． 10．已知向量．若為實(shí)數(shù)，∥，則的值為 ． 11．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，的小大為 ． 12．若曲線的某一切線與直線平行，則切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，切線方程為 ． 13． 若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的恒成立的是 ． （寫出所有正確命題的編號(hào)）． ①； ②； ③ ； ④； ⑤ 14． 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．（本小題滿分分） 已知：在中, 、、分別為角、、所對(duì)的邊，且角為銳角， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求及的長(zhǎng)． 16．（本小題滿分分） 已知：函數(shù)的部分圖象如圖所示． （Ⅰ）求 函 數(shù)的 解 析 式； （Ⅱ）在△中，角的 對(duì) 邊 分 別 是，若 的 取 值 范 圍． 17．（本小題滿分分） 已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點(diǎn)． （Ⅰ）證明：//平面； （Ⅱ）證明：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正弦值． 18．（本小題滿分13分） 已知：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，． （Ⅰ）求：，的值； （Ⅱ）求：數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的 前項(xiàng)和． 19．（本小題滿分14分） 已知：函數(shù)，其中． （Ⅰ）若是的極值點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍． 20．（本小題滿分分） 已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦 點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn)． ①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；②若點(diǎn)，求證：為定值． 參考答案 （以下評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)僅供參考，其它解法自己根據(jù)情況相應(yīng)地給分） 一、選擇題 1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． D 7． B 8． D 二、填空題 9． 10． 11． 12．（1，2）， 13．①③⑤ 14． 15．（本小題滿分分） 解：（Ⅰ）解：因?yàn)閏os2C=1-2sin2C=，及 所以sinC=． ………………………… 4分 （Ⅱ）解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC時(shí)，由正弦定理，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos2C-1=，及得 cosC= ………………………9分 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2－b-12=0 …………………… 12分 解得 b=2 ……………………13分 16．（本小題滿分分） 解：（Ⅰ）由圖像知，的最小正周期，故 …… 2分 將點(diǎn)代入的解析式得，又 故 所以 ……………… 5分 （Ⅱ）由得 所以……………………8分 因?yàn)? 所以 ………………9分 ……………………11分 ……………………13分 17．（本小題滿分分） 解： （Ⅰ） 證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO． ……………………1分 O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)， ∴EO//P B． ……………………2分 EO平面AEC，PB平面AEC， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C． （Ⅱ） 證明： PA⊥平面ABC D． 平面ABCD， ∴． ……………………4分 又在正方形ABCD中且， ……………………5分 ∴CD平面PA D． ……………………6分 又平面PCD， ∴平面平面． ……………………7分 （Ⅲ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空 間直角坐標(biāo)系． ………8分 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為 A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ． ……………9分 PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）． 設(shè)平面AEC的法向量為, , 則 即 ∴ ∴ 令,則． ………………11分 ∴, …………………12分 二面角的正弦值為 …………………13分 18．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ） 令 ，解得；令，解得 ……………2分 （Ⅱ） 所以，（） 兩式相減得 ……………4分 所以，（） ……………5分 又因?yàn)? 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 ……………6分 所以，即通項(xiàng)公式 （） ……………7分 （Ⅲ），所以 所以 ……9分 令 ① ② ①－②得 ……………11分 ……………12分 所以 ……13分 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：． 依題意，令，解得 ． 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意． ……4分 （Ⅱ）解：① 當(dāng)時(shí)，． 故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是． …………………5分 ② 當(dāng)時(shí)，令，得，或． 當(dāng)時(shí)，與的情況如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和． 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是． 當(dāng)時(shí)，，與的情況如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和． ③ 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是． 綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和； 當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和． ……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意． 當(dāng)時(shí)，在的最大值是， 由，知不合題意． 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減， 可得在上的最大值是，符合題意． 所以，在上的最大值是時(shí)，的取值范圍是． …………14分 20．（本題滿分分） 解：（Ⅰ）因?yàn)闈M足， ，…………2分 。解得，則橢圓方程為 ……………4分 （Ⅱ）（1）將代入中得 ……………………………………………………6分 ………………………………………… …………………7分 因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得…………9分 （2）由（1）知， 所以 ……………11分 ………………………………………12分