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2019-2020年高三下學(xué)期第一次模擬考試 數(shù)學(xué)理 含答案 一、選擇題（每小題5分，共50分） 1. 設(shè)則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 2. 設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合，如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A. 1 B. 4246 C. 4245 D. 46 5. 如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（ ） A. O-ABC是正三棱 B. 直線OB∥平面ACD C. 直線AD與OB所成的角是45 D. 二面角D-OB-A為45 6. 某同學(xué)在電腦上進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，共10道題，答完第n題（n＝1，2，3，…，10）電腦都會(huì)自動(dòng)顯示前n題的正確率，則下列關(guān)系不可能成立的是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 已知，對(duì)以下不等式 ① ② ③ ④ ⑤， 其中成立的是（ ） A. ①②⑤ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ③④⑤ 8. 已知函數(shù)（a、b為常數(shù)，）在處取得最小值，則函數(shù)是（ ） A. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B. 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D. 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 9. 過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 10. 如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)（說明：“正方形PABC沿x軸滾動(dòng)”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動(dòng)。沿x軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)。類似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動(dòng)。向右為順時(shí)針，向左為逆時(shí)針）。設(shè)頂點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程是y＝f（x），則關(guān)于f（x）的最小正周期T及y＝f（x）在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積S的正確結(jié)論是 （ ） A. B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共25分） 11. 方程的根，則k＝________。 12. 在△ABC中，O為中線AM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，則的最小值是_________。 13. 向平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在曲線下方的概率為_________。 14. 已知數(shù)組（）是1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，如數(shù)組（1，4，3，5，2）是符合題意的一個(gè)排列。規(guī)定每一個(gè)排列只對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)組，且在每個(gè)數(shù)組中有且僅有一個(gè)i使，則所有不同的數(shù)組中的各數(shù)字之和為_________。 15. ①（極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講選做題）已知點(diǎn)，參數(shù)，點(diǎn)Q在曲線C：上，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值為________。 ②（不等式選講選做題）若不等式，對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________。 三、解答題 16. （12分）已知，其中，若函數(shù)，且的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最近距離不小于。 （Ⅰ）求的取值范圍； （Ⅱ）在△ABC中，分別是角A，B，C的對(duì)邊，且，當(dāng)取最大值時(shí)，，求△ABC的面積。 17. （12分）QQ先生的魚缸中有7條魚，其中6條青魚和1條黑魚，計(jì)劃從當(dāng)天開始，每天中午從該魚缸中抓出1條魚（每條魚被抓到的概率相同）并吃掉。若黑魚未被抓出，則它每晚要吃掉1條青魚（規(guī)定青魚不吃魚）。 （1）求這7條魚中至少有5條被QQ先生吃掉的概率； （2）以表示這7條魚中被QQ先生吃掉的魚的條數(shù)，求。 18. （12分）已知長方體中，棱，棱，連接，過B點(diǎn)作的垂線交于E，交于F。 （1）求證：⊥平面EBD； （2）求點(diǎn)A到平面的距離； （3）求平面與直線DE所成角的正弦值。 19. （12分）數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為。 （1）求； （2），求數(shù)列的前n項(xiàng)和。 20. （13分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為原點(diǎn)），如圖，若拋物線與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)，N為拋物線C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線的切線交橢圓與P，Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值。 21. （14分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值。 （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； （Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得。試用這個(gè)結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對(duì)任意，都有； （Ⅲ）已知正數(shù)，滿足，求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意大于－1，且互不相等的實(shí)數(shù)，都有  三、解答題 16. 解：（Ⅰ） （2分） 函數(shù)的周期，由題意知，即， 又。故的取值范圍是 （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知的最大值為1，。， 。而。（9分） 由余弦定理可知：，又。 聯(lián)立解得：。 。 （12分） 17. 解：（1）QQ先生能吃到的魚的條數(shù)可取4，5，6，7，最壞的情況是只能吃到4條魚：前3天各吃掉1條青魚，其余3條青魚被黑魚吃掉，第4天QQ先生吃掉黑魚，其概率為 故QQ先生至少吃掉5條魚的概率是。 （2）與（1）相仿地可得， （6分） 故，故所求期望值為5。（12分） 18. 解：（1）證：以A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），，， 設(shè)，則： ＝0，，， ，又平面EBD。 （4分） （2）連接到平面的距離，即三棱錐的高，設(shè)為h， ，由 得：，∴點(diǎn)A到平面的距離是。（8分） （3）連接DF，⊥⊥⊥平面是DE在平面上的射影，∠EDF是DE與平面所成的角，設(shè)，那么 ① ∥ ② 由①、②得， 在Rt△FDE中，?！鄐in∠EDF＝，因此，DE與平面所成的角的正弦值是。（幾何方法略）（12分） 19. 解：（1）由于，故 ， ， 故 （6分） （2）， ，兩式相減得 ， 故。（12分） 20. （Ⅰ）解：由題意可知B（0，－1），則A（0，－2），故。 令得即，則，故。 所以，于是橢圓C1的方程為： （Ⅱ）設(shè)，由知直線PQ的方程為：。即。 代入橢圓方程整理得：， ， ， 故 ＝ 設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則 所以，△MPQ的面積 當(dāng)時(shí)取到“＝”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)，滿足題意。 綜上所知，△MPQ的面積的最大值為。 21. 解：（Ⅰ）。由，得，此時(shí)。 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間（－1，0）上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。 ∴函數(shù)在處取得極大值，故 （Ⅱ）令， 則。 函數(shù)在上可導(dǎo)，∴存在，使得。 又 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，； 故對(duì)任意，都有 （Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明。 ①當(dāng)時(shí)，，且， 由（Ⅱ）得，即 ， ∴當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立 ②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)時(shí)，設(shè)正數(shù)，滿足，令， ， 則，且。 ∴當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立。 綜上由①②，對(duì)任意，，結(jié)論恒成立。