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2019-2020年高三“臨門一腳”數(shù)學(xué)（理）試題 含答案 吳華棠、湯斌 、左克虎、 黃京城 統(tǒng)稿人：吳華棠 xx.5. 本試卷共4頁，21小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。 參考公式：一組數(shù)據(jù)的方差： 第Ⅰ卷 選擇題（共40分） 1． 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 設(shè)表示復(fù)數(shù)集，，則集合的子集個數(shù)是 A． 　　　　　　　 B．　　　　　 　C．　　　　　　　　D． 2. 已知雙曲線的中心在平面直角坐標(biāo)系的原點，實軸長為，一個焦點是，則雙曲線的方程是 A． 　　　B．　　　　C．　　　D． 3. 已知實數(shù)，滿足約束條件：，設(shè)，則 A．有最大值　　　　B．最大值　 　 C．最小值　　　　　　D．最小值 4. 如圖空間四邊形中，，，，且，則 A． 　　　　　 　 B．3　　　　　 C．　　　　　　　D． 5.某單位有名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法, 抽取42人做問卷調(diào)查, 將840人按1, 2,...... , 840隨機(jī)編號, 則抽取的42人中, 編號落入?yún)^(qū)間[481, 720]的人數(shù)為 A．11 B．12 C．13 D．14 6.已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖像不可能是 A. B．　　　　　　　　　　　C. D. 7. 已知棱長為1的正方體中，、分別是、的中點，點分別在棱、上，且(），設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中錯誤的是 A．平面 　　　　　　　　B． C．存在，使平面與平面垂直 D．當(dāng)變化時，是定直線 8. 如圖一個倒三角形數(shù)表： 它的排列規(guī)則是：第行的 第個數(shù)， 現(xiàn)設(shè)，其中，若，則 A．　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D． 第Ⅱ卷 非選擇題（共110分） 2、 填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分． （一）必做題（9－13題） 9. 不等式的解集是____________________． 10.函數(shù)有大于的極值點，則的取值范圍是_____________． 11.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，，且，則公比． 12.在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎，將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種(用數(shù)字作答)． 13.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度BC約等于 ． （用四舍五入法將結(jié)果精確到個位。參考數(shù)據(jù)：，，，，） （二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題。） 14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線（為參數(shù)）與直線有兩個公共點，則的取值范圍是________. 15.（幾何證明選講選做題）如圖，圓的半徑為是圓周上的三點，，過點做圓的切線與的延長線交于點，則． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且． (1) 求的值； (2）若，求的最大值． 17.(本小題滿分12分)A,B兩名學(xué)生在5次英語口語測試中的成績統(tǒng)計如莖葉圖所示（十位作為莖)． （1) 現(xiàn)要從中選派一人參加英語口語競賽，從兩位同學(xué)的平均分 和方差分析，選派誰參加更合適？說明理由. （2) 若將頻率視為概率,對(1)中選派的學(xué)生在今后的三次英語口語競賽成績進(jìn)行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為，求的概率. P O A B C D 第18題圖 18.（本小題滿分14分）如圖，在圓錐中，已知，的直徑，AB上的點C平分該?。? （1）證明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 19.在數(shù)列中，已知. （1）求的值及數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，，求的值． 20. （本小題滿分14分）如圖，已知定點，點是定直線上的動點，∠的角平分線交于． （1）求點的軌跡方程； （2）若（1）中軌跡上 是否存在一點，直線與, 使得∠是直角？如果存在，求點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。 21.已知函數(shù) (1)若 求函數(shù)在點處的切線方程； (2)討論函數(shù)的單調(diào)性； (3)是否存在實數(shù)使在上恒成立？若存在，求出實數(shù)a；若不存在，請說明理由． xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷.模擬３) 理科數(shù)學(xué)答案 一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C B C C A 二、填空題： 9. 10. 11. 12.60 13. 60 14. 15. 三、解答題 16.解：(1)在中，，....................................1分 .............................................3分 ............................................................4分 ...................................................6分 (2） 由余弦定理....................................7分 及 得.......................................................8分 由..........................................................9分 ...........................................11分 當(dāng)時，的最大值為..........................................12分 17.解：(1）.................................1分 ..........................................2分 ，..................................3分 ....................................4分 因，所以選派A去更合適。..................................6分 (2） A高于80分的頻率是，從而每次成績高于80分的概率...............7分 可取值，由題知.........................................9分 .............................11分 所以的概率是.....................................................12分 18.解法一：(1)連結(jié)OD，因為OA＝OC，D是AC的中點， AC⊥OD. ............................................................................................................................1分 又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，AC⊥PO. ..................................................................2分 OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線， AC⊥平面POD，.................................................................................................................3分 又AC?平面PAC， 平面POD⊥平面PAC. .......................................................................................4分 (2)在平面POD中，過O作OH⊥PD于H， 由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以O(shè)H⊥平面PAC......................................................6分 又PA?面PAC，所以PA⊥OH． 在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連結(jié)HG，則有PA⊥平面OGH． 從而PA⊥HG，.......................................................................................................................8分 故∠OGH為二面角B－PA－C的平面角.............................................................................9分 在Rt△ODA中，. 在Rt△POD中，． 在Rt△POA中，............................................11分 在Rt△OHG中，．...................................12分 cos∠OGH＝＝. .....................................................13分 二面角B－PA－C的余弦值為. .......................................14分 解法二：(1)同解法一 (1) ． (2) 如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB， OP所在直線分別為x軸， z軸，過 O與AB垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系． ------------------------------------------------------------------------------5分 則O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0, 1,0)，P(0,0，)，D. ---------6分 設(shè)m＝(x，y，z)是平面PAC的一個法向量，則由m＝0，m＝0，得 取，得m＝． ---------8分 因為y軸⊥平面PAB，所以平面PAB的一個法向量為n＝(0,1,0)．------10分 設(shè)向量n2和n3的夾角為θ，則cosθ＝＝， ---------13分 又二面角B－PA－C為銳二面角， 故二面角B－PA－C的余弦值為. ---------14分 由，得........................1分 即...................................................3分 ，所以是以1為首項公差為1的等差數(shù)列，............4分 ，...................................................5分 又，，即(）................6分 解法2：數(shù)學(xué)歸納法(略) (2） 由(1）當(dāng) ..........................................................................7分 ..........................................................................8分 .........................................................................10分 且 .........................................................................11分 而 所以.........................................................13分 ..................................................................14分 20.解：（1）設(shè)，直線和的方程分別為 ，直線的方程為：。 設(shè)，則，到直線和的距離相等。 ∴ ，① .......................................................………2分 又在直線上，所以： ，即，代入①得： ，整理得：…….................................…4分 若y≠0，則； .......................................………5分 若y＝0，則b=0，∠AOB＝π，點C為(0，0)，滿足上式．..............................…6分 綜上，點C的軌跡方程為：?！?.............................................…….7分 （2設(shè)點，則直線的方程分別為： 令得，∴.............……….9分 ∴直線的斜率分別為： 若∠是直角，則 整理得 ③ ............................………..…11分 ∵，∴， ∴ ， ∴③式無解，從而∠不可能是直角，（1）中軌跡上不存在點滿足題設(shè) ． ………………...................................…………………………14分 21.解：(1)因為，所以 .....................................................…1分 ..........................................................................................................................…2分 又故函數(shù)在點A處的切線方程為即................…3分 (2) 且 .................................................................................................................................................…4分 ①當(dāng)時，則則在R上為增函數(shù)....................…5分 ②當(dāng)時，令解得 在或時， 在時，..............................................................................................................................…6分 ③當(dāng)時， 在或時， 在時，...........................................................................................................................…7分 綜上所述：當(dāng)時，的增區(qū)間為R，無減區(qū)間； 當(dāng)時，的增區(qū)間為和減區(qū)間為 當(dāng)時，的增區(qū)間為減區(qū)間為和...................................................................................................................…8分 (3)在上恒成立，即.................................................…9分 當(dāng)時， 由(2)知在上單減，在上單增 所以當(dāng)時，...........................…10分 ，即.............................................…11分 令 設(shè). 則所以在上單調(diào)遞減，..............................12分 于是即這與矛盾，...................13分 因此，符合條件的實數(shù)a不存在..........................................................................................14分