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第 27 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷 本卷共九題，滿(mǎn)分 160 分．計(jì)算題的解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、方程式和重要的演算步驟．只寫(xiě)出最后結(jié)果的不能得分．有數(shù)字計(jì)算的題．答案中必須明確寫(xiě)出數(shù)值和單位．填空題把答案填在題中的橫線(xiàn)上，只要給出結(jié)果，不需寫(xiě)出求解的過(guò)程． 一、（ 15 分）蛇形擺是一個(gè)用于演示單擺周期與擺長(zhǎng)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)儀器（見(jiàn)圖）．若干個(gè)擺球位于同一高度并等間距地排成一條直線(xiàn)，它們的懸掛點(diǎn)在不同的高度上，擺長(zhǎng)依次減小．設(shè)重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．試設(shè)計(jì)一個(gè)包含十個(gè)單擺的蛇形擺（即求出每個(gè)擺的擺長(zhǎng)），要求滿(mǎn)足： ( a ）每個(gè)擺的擺長(zhǎng)不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始時(shí)將所有擺球由平衡點(diǎn)沿 x 軸正方向移動(dòng)相同的一個(gè)小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同時(shí)釋放，經(jīng)過(guò) 40s 后，所有的擺能夠同時(shí)回到初始狀態(tài)． 2 ．在上述情形中，從所有的擺球開(kāi)始擺動(dòng)起，到它們的速率首次全部為零所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為_(kāi)_______________________________________. 二、（ 20 分）距離我們?yōu)?L 處有一恒星，其質(zhì)量為 M ，觀(guān)測(cè)發(fā)現(xiàn)其位置呈周期性擺動(dòng)，周期為 T ，擺動(dòng)范圍的最大張角為 △θ．假設(shè)該星體的周期性擺動(dòng)是由于有一顆圍繞它作圓周運(yùn)動(dòng)的行星引起的，試給出這顆行星的質(zhì)量m所滿(mǎn)足的方程． 若 L=10 光年， T =10 年， △θ = 3 毫角秒， M = Ms （Ms為太陽(yáng)質(zhì)量），則此行星的質(zhì)量和它運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r各為多少？分別用太陽(yáng)質(zhì)量 Ms 和國(guó)際單位 AU （平均日地距離）作為單位，只保留一位有效數(shù)字．已知 1 毫角秒=角秒，1角秒=度，1AU=1.5108km,光速 c = 3.0 105km/s. 三、（ 22 分）如圖，一質(zhì)量均勻分布的剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m，半徑為 R ，螺距H =πR ，可繞豎直的對(duì)稱(chēng)軸OO′，無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，連接螺旋環(huán)與轉(zhuǎn)軸的兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計(jì)．一質(zhì)量也為 m 的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無(wú)摩擦地滑動(dòng),首先扶住小球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點(diǎn) A ，這時(shí)螺旋環(huán)也處于靜止?fàn)顟B(tài)．然后放開(kāi)小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸 OO′，轉(zhuǎn)動(dòng)．求當(dāng)小球下滑到離其初始位置沿豎直方向的距離為 h 時(shí)，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和小球?qū)β菪h(huán)作用力的大?。? 四、（ 12 分）如圖所示，一質(zhì)量為m、電荷量為 q ( q > 0 ）的粒子作角速度為ω、半徑為 R 的勻速圓周運(yùn)動(dòng).一長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線(xiàn)位于圓周所在的平面內(nèi)，離圓心的距離為d ( d > R ) ，在導(dǎo)線(xiàn)上通有隨時(shí)間變化的電流I, t= 0 時(shí)刻，粒子速度的方向與導(dǎo)線(xiàn)平行，離導(dǎo)線(xiàn)的距離為d+ R .若粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于電流 i ,的磁場(chǎng)對(duì)粒子的作用力，試求出電流 i 隨時(shí)間的變化規(guī)律．不考慮變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的感生電場(chǎng)及重力的影響．長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度表示式中的比例系數(shù) k 已知． 五、（20分）如圖所示，兩個(gè)固定的均勻帶電球面，所帶電荷量分別為+Q和-Q (Q >0) ，半徑分別為R和R/2，小球面與大球面內(nèi)切于C點(diǎn)，兩球面球心O和O’的連線(xiàn)MN沿豎直方在MN與兩球面的交點(diǎn)B、0和C 處各開(kāi)有足夠小的孔因小孔損失的電荷量忽略不計(jì)，有一質(zhì)量為m，帶電荷為q(q>0的質(zhì)點(diǎn)自MN線(xiàn)上離B點(diǎn)距離為R的A點(diǎn)豎直上拋。設(shè)靜電力常量為k，重力加度為g. 1．要使質(zhì)點(diǎn)從 A 點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)B點(diǎn)，所需的最小初動(dòng)能為多少？ 2．要使質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)O點(diǎn)，在不同條件下所需的最小初動(dòng)能各為多少？ 六、（ 20 分）由單位長(zhǎng)度電阻為r的導(dǎo)線(xiàn)組成如圖所示的正方形網(wǎng)絡(luò)系列．n=1時(shí)，正方形網(wǎng)絡(luò)邊長(zhǎng)為L(zhǎng),n= 2時(shí)，小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)/3；n=3 時(shí)，最小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)/9．當(dāng) n=1、2、3 時(shí)，各網(wǎng)絡(luò)上A、B兩點(diǎn)間的電阻分別為多少？ 七、（15分）地球上的能量從源頭上說(shuō)來(lái)自太陽(yáng)輻射到達(dá)地面的太陽(yáng)輻射（假定不計(jì)大氣對(duì)太陽(yáng)輻射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收．被吸收的部分最終轉(zhuǎn)換成為地球熱輻射（紅外波段的電磁波）．熱輻射在向外傳播過(guò)程中，其中一部分會(huì)被溫室氣體反射回地面，地球以此方式保持了總能量平衡。作為一個(gè)簡(jiǎn)單的理想模型，假定地球表面的溫度處處相同，且太陽(yáng)和地球的輻射都遵從斯忒蕃一玻爾茲曼定律：?jiǎn)挝幻娣e的輻射功率 J與表面的熱力學(xué)溫度 T 的四次方成正比，即 J=σT4 ,其中σ是一個(gè)常量．已知太陽(yáng)表面溫度Ts=5.78103 K ，太陽(yáng)半徑 Rs=6.69105 km ,地球到太陽(yáng)的平均距離d=1.50108 km ．假設(shè)溫室氣體在大氣層中集中形成一個(gè)均勻的薄層，并設(shè)它對(duì)熱輻射能量的反射率為ρ=0.38 . 1．如果地球表面對(duì)太陽(yáng)輻射的平均反射率α=0.30 ，試問(wèn)考慮了溫室氣體對(duì)熱輻射的反射作用后，地球表面的溫度是多少？ 2．如果地球表面一部分被冰雪覆蓋，覆蓋部分對(duì)太陽(yáng)輻射的反射率為α1=0.85 ，其余部分的反射率處α2=0.25 ．間冰雪被蓋面占總面積多少時(shí)地球表面溫度為 273K . 八、（20分）正午時(shí)太陽(yáng)的入射光與水平面的夾角θ=450 ．有一座房子朝南的墻上有一個(gè)直徑 W =10cm 的圓窗，窗口中心距地面的高度為 H ．試設(shè)計(jì)一套采光裝置，使得正午時(shí)刻太陽(yáng)光能進(jìn)人窗口，并要求進(jìn)入的光為充滿(mǎn)窗口、垂直墻面、且光強(qiáng)是進(jìn)人采光裝置前 2 倍的平行光．可供選用的光學(xué)器件如下：一個(gè)平面鏡，兩個(gè)凸透鏡，兩個(gè)凹透鏡；平面鏡的反射率為 80 % ，透鏡的透射率為 70 % ，忽略透鏡表面對(duì)光的反射．要求從這些器件中選用最少的器件組成采光裝置．試畫(huà)出你所設(shè)計(jì)的采光裝置中所選器件的位置及該裝置的光路圖，并求出所選器件的最小尺寸和透鏡焦距應(yīng)滿(mǎn)足的條件. 九、（ 16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的靜止質(zhì)量都是 m0 ，粒子 1 靜止，粒子 2 以速度v0與粒子 1 發(fā)生彈性碰撞． 1.若碰撞是斜碰，考慮相對(duì)論效．試論證：碰后兩粒子速度方向的夾角是銳角、直角還是鈍角．若不考慮相對(duì)論效應(yīng)結(jié)果又如何？ 2.若碰撞是正碰，考慮相對(duì)論效應(yīng)，試求碰后兩粒子的速度. 解答 一、參考解答： 1．以表示第i個(gè)單擺的擺長(zhǎng)，由條件（b）可知每個(gè)擺的周期必須是40s的整數(shù)分之一，即 （Ni為正整數(shù)） （1） [(1)式以及下面的有關(guān)各式都是在采用題給單位條件下的數(shù)值關(guān)系.]由(1)可得，各單擺的擺長(zhǎng) （2） 依題意，，由此可得 （3） 即 （4） 因此，第i個(gè)擺的擺長(zhǎng)為 （5） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 2． 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分． 第1小問(wèn)11分．（2）式4分，（4）式4分，10個(gè)擺長(zhǎng)共3分． 第2小問(wèn)4分． 二、參考解答： 設(shè)該恒星中心到恒星－行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離為，根據(jù)題意有 （1） 將有關(guān)數(shù)據(jù)代入（1）式，得．又根據(jù)質(zhì)心的定義有 （2） 式中為行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，即行星與恒星之間的距離.根據(jù)萬(wàn)有引力定律有 （3） 由（2）、（3）兩式得 （4） [若考生用表示行星到恒星行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離，從而把(2)式寫(xiě)為，把(3)式寫(xiě)為，則同樣可得到(4)式，這也是正確的.] 利用（1）式，可得 （5） （5）式就是行星質(zhì)量所滿(mǎn)足的方程． 可以把(5)試改寫(xiě)成下面的形式 （6） 因地球繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得 （7） 注意到，由（6）和（7）式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 (8) 由（8）式可知 由近似計(jì)算可得 （9） 由于小于1/1000，可近似使用開(kāi)普勒第三定律，即 （10） 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 （11） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分． （1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分． 三、參考解答： 圖1 h q m 解法一 一傾角為的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為的圓柱面，圓柱面的軸線(xiàn)與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，若把此三角形薄片卷繞在柱面上，則三角形薄片的斜邊就相當(dāng)于題中的螺線(xiàn)環(huán)．根據(jù)題意有 （1） 可得 ， （2） 設(shè)在所考察的時(shí)刻，螺旋環(huán)繞其轉(zhuǎn)軸的角速度為，則環(huán)上每一質(zhì)量為的小質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)線(xiàn)速度的大小都相同，用u表示， （3） 該小質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 整個(gè)螺旋環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 （4） 小球沿螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)可視為在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的合成．在螺旋環(huán)的角速度為時(shí)，設(shè)小球相對(duì)螺旋環(huán)的速度為，則小球在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的速度為 （5） 沿豎直方向的速度 （6） 對(duì)由小球和螺旋環(huán)組成的系繞，外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為0，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒，故有 （7） 由（4）、（5）、（7）三式得 （8） 在小球沿螺旋環(huán)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有 （9） 由（3）、（5）、（6）、（9）四式得 （10） 解（8）、（10）二式，并利用（2）式得 （11） （12） 由（6）、（12）以及（2）式得 （13） 或有 （14） （14）式表明，小球在豎直方向的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其加速度 （15） 若小球自靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到所考察時(shí)刻經(jīng)歷時(shí)間為，則有 （16） 由（11）和（16）式得 （17） （17）式表明，螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角加速度 （18） C R m 圖2 小球?qū)β菪h(huán)的作用力有：小球?qū)β菪h(huán)的正壓力，在圖1所示的薄片平面內(nèi)，方向垂直于薄片的斜邊；螺旋環(huán)迫使小球在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力的反作用力．向心力在水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸C，如圖2所示．、兩力中只有對(duì)螺旋環(huán)的轉(zhuǎn)軸有力矩，由角動(dòng)量定理有 （19） 由（4）、（18）式并注意到得 （20） 而 （21） 由以上有關(guān)各式得 （22） 小球?qū)β菪h(huán)的作用力 （23） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題22分． 圖1 h q m （1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式給6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分． 解法二 一傾角為的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為的圓柱面，圓柱面的軸線(xiàn)與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，若把此三角形薄片卷繞在柱面上，則三角形薄片的斜邊就相當(dāng)于題中的螺線(xiàn)環(huán)．根據(jù)題意有 （1） 可得 ， （2） 螺旋環(huán)繞其對(duì)稱(chēng)軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，環(huán)上每點(diǎn)線(xiàn)速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移動(dòng)的速度．小球沿螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)可視為在豎直方向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的合成．在考察圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)可以把圓周運(yùn)動(dòng)看做沿水平方向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，結(jié)果小球的運(yùn)動(dòng)等價(jià)于小球沿直角三角形斜邊的運(yùn)動(dòng)．小球自靜止開(kāi)始沿螺旋環(huán)運(yùn)動(dòng)到在豎直方向離初始位置的距離為的位置時(shí)，設(shè)小球相對(duì)薄片斜邊的速度為，沿薄片斜邊的加速度為．薄片相對(duì)地面向左移動(dòng)的速度為，向左移動(dòng)的加速度為．就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的線(xiàn)速度，若此時(shí)螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則有 （3） 而就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度，若此時(shí)螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為，則有 （4） 小球位于斜面上的受力情況如圖2所示：重力，方向豎直向下，斜面的支持力，方向與斜面垂直，以薄片為參考系時(shí)的慣性力，方向水平向右，其大小 （5） 由牛頓定律有 （6） （7） （8） 解（5）、（6）、（7）、（8）四式得 （9） （10） （11） 利用（2）式可得 （12） （13） （14） 由（4）式和（14）式，可得螺旋環(huán)的角加速度 （15） 若小球自靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到所考察時(shí)刻經(jīng)歷時(shí)間為，則此時(shí)螺旋環(huán)的角速度 （16） 因小球沿螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)可視為在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的合成，而小球沿豎直方向的加速度 （17） 故有 （18） 由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得 （19） 小球在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由螺旋環(huán)提供，向心力位于水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸，故向心力與圖2中的紙面垂直，亦即與垂直．向心力的大小 （20） 式中是小球相對(duì)地面的速度在水平面內(nèi)的分量.若為小球相對(duì)地面的加速度在水平面內(nèi)的分量，則有 （21） 令為在水平面內(nèi)的分量，有 （22） 由以上有關(guān)各式得 （23） 小球作用于螺旋環(huán)的力的大小 （24） 由（13）、（23）和（24）式得 （25） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題22分． d R q w t O x y i （1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分． 四、參考解答： 以v表示粒子的速率，以B表示電流i產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)題意粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為粒子受到的磁場(chǎng)洛侖茲力，因此有 （1） 而 （2） 由（1）、（2）兩式得 （3） 如圖建立坐標(biāo)系，則粒子在時(shí)刻的位置 ， （4） 取電流的正方向與y軸的正向一致，設(shè)時(shí)刻t長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)上的電流為，它產(chǎn)生的磁場(chǎng)在粒子所在處磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 （5） 方向垂直圓周所在的平面.由（4）、（5）式，可得 （6） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題12分． （3）式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分． 五、參考解答： O C A B R R Q M q N 圖1 1．質(zhì)點(diǎn)在應(yīng)作減速運(yùn)動(dòng)（參看圖1）．設(shè)質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的最小初動(dòng)能為，則根據(jù)能量守恒，可得質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)B點(diǎn)的條件為 （1） 由此可得 （2） 2． 質(zhì)點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)有三種可能情況： i．質(zhì)點(diǎn)在作加速運(yùn)動(dòng)（參看圖1），對(duì)應(yīng)條件為 （3） 此時(shí)只要質(zhì)點(diǎn)能過(guò)B點(diǎn)，也必然能到達(dá)O點(diǎn)，因此質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)O點(diǎn)所需的最小初動(dòng)能由（2）式給出，即 （4） 若（3）式中取等號(hào)，則最小初動(dòng)能應(yīng)比（4）式給出的略大一點(diǎn)． ii．質(zhì)點(diǎn)在作減速運(yùn)動(dòng)（參看圖1），對(duì)應(yīng)條件為 （5） 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)O點(diǎn)的條件為 （6） 由此可得 O C A B R R Q M q D x N 圖2 （7） iii．質(zhì)點(diǎn)在之間存在一平衡點(diǎn)D（參看圖2），在質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)，在質(zhì)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)條件為 （8） 設(shè)D到O點(diǎn)的距離為，則 （9） 即 （10） 根據(jù)能量守恒，質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)D點(diǎn)的條件為 （11） 由（10）、（11）兩式可得質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)D點(diǎn)的最小初動(dòng)能為 （12） 只要質(zhì)點(diǎn)能過(guò)D點(diǎn)也必然能到達(dá)O點(diǎn)，所以，質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)O點(diǎn)的最小初動(dòng)能也就是（12）式（嚴(yán)格講應(yīng)比（12）式給出的略大一點(diǎn)．） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分． 第1小問(wèn)5分．求得（2）式給5分． 第2小問(wèn)15分．算出第i種情況下的初動(dòng)能給2分；算出第ii種情況下的初動(dòng)能給5分；算出第iii種情況下的初動(dòng)能給8分，其中（10）式占3分． rL rL rL rL A B 圖 1 六、參考解答： 時(shí)，A、B間等效電路如圖1所示， A、B間的電阻 （1） A B 圖2 時(shí)，A、B間等效電路如圖2所示，A、B間的電阻 （2） 由（1）、（2）兩式得 (3) A B 圖3 時(shí)，A、B間等效電路如圖3所示，A、B間的電阻 （4） 由（3）、（4）式得 （5） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分． （1）式4分，（3）式6分，（5）式10分． 七、參考解答： １．根據(jù)題意，太陽(yáng)輻射的總功率．太陽(yáng)輻射各向同性地向外傳播．設(shè)地球半徑為，可以認(rèn)為地球所在處的太陽(yáng)輻射是均勻的，故地球接收太陽(yáng)輻射的總功率為 （1） 地球表面反射太陽(yáng)輻射的總功率為．設(shè)地球表面的溫度為，則地球的熱輻射總功率為 （2） 考慮到溫室氣體向地球表面釋放的熱輻射，則輸入地球表面的總功率為．當(dāng)達(dá)到熱平衡時(shí)，輸入的能量與輸出的能量相等，有 　 （3） 由以上各式得 （4） 代入數(shù)值，有 （5） 2．當(dāng)?shù)厍虮砻嬉徊糠直槐└采w后，以表示地球表面對(duì)太陽(yáng)輻射的平均反射率，根據(jù)題意這時(shí)地球表面的平均溫度為．利用（4）式，可求得 （6） 設(shè)冰雪覆蓋的地表面積與總面積之比為x，則 （7） 由（6）、（7）兩式并代入數(shù)據(jù)得 （8） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分． 第1小問(wèn)11分．（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，（4）式2分，（5）式1分． 第2小問(wèn)4分．（6）式2分，（8）式2分． H 南 圖1 M 八、參考解答： 方案一：采光裝置由平面鏡M和兩個(gè)凸透鏡L1、L2組成．透鏡組置于平面鏡M后面，裝置中各元件的相對(duì)方位及光路圖如圖1所示． L1、L2的直徑分別用D1、D2表示，其焦距的大小分別為f1 、f2．兩透鏡的距離 （1） 直徑與焦距應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系 （2） 設(shè)射入透鏡L1的光強(qiáng)為，透過(guò)透鏡L1的光強(qiáng)為，考慮到透鏡L1對(duì)光的吸收有 （3） 從透鏡L1透出的光通量等于進(jìn)入L2的光通量，對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)與透鏡的直徑平方成反比，進(jìn)入L2的光強(qiáng)用表示，即 故有 （4） 透過(guò)L2的光強(qiáng)，考慮到（3）式，得 （5） 由于進(jìn)入透鏡L1的光強(qiáng)是平面鏡M的反射光的光強(qiáng)，反射光是入射光的，設(shè)射入裝置的太陽(yáng)光光強(qiáng)為，則 代入（5）式有 （6） 按題設(shè)要求 代入（6）式得 從而可求得兩透鏡的焦距比為 （7） L2的直徑應(yīng)等于圓形窗戶(hù)的直徑W，即，由（2）式得 （8） 由圖可知，平面鏡M參與有效反光的部分為一橢圓，其半短軸長(zhǎng)度為 （9） 半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為 （10） 根據(jù)裝置圖的結(jié)構(gòu)，可知透鏡組的光軸離地應(yīng)與平面鏡M的中心等高，高度為． 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分． 作圖8分（含元件及其相對(duì)方位，光路），求得（7）、（8）兩式共10分，（9）、（10）式共2分． H 南 圖2 M W 方案二：采光裝置由平面鏡M和兩個(gè)凸透鏡L1、L2組成，透鏡組置于平面鏡M前面，裝置中各元件的相對(duì)方位及光路圖如圖2所示． 對(duì)透鏡的參數(shù)要求與方案一相同． 但反射鏡M的半短軸、半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度分別為 和 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：參照方案一． H 南 圖3 W M 方案三、采光裝置由平面鏡M和一個(gè)凸透鏡L1、一個(gè)凹透鏡L2組成，透鏡組置于平面鏡M后面（也可在M前面），裝置中各元件的相對(duì)方位及光路圖如圖3所示． 有關(guān)參數(shù)與方案一相同，但兩透鏡的距離 如果平面鏡放在透鏡組之前，平面鏡的尺寸和方案一相同；如果平面鏡放在透鏡組之后，平面鏡的尺寸和方案二相同． 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：參照方案一． 九、參考解答：m 0 v 1 v 2 v0 m 0 0 a 1．假設(shè)碰撞后球1和球2的速度方向之間的夾角為（見(jiàn)圖），則由能量守恒和動(dòng)量守恒可得 （1） （2） 其中，，． 由（1）、（2）式得 （3） （4） 由（3）、（4）式得 （5） （6） 即為銳角． 在非相對(duì)論情況下，根據(jù)能量守恒和動(dòng)量守恒可得 （7） （8） 對(duì)斜碰，的方向與的方向不同，要同時(shí)滿(mǎn)足（1）和（2）式，則兩者方向的夾角 （9） 即為直角． 2．根據(jù)能量守恒和動(dòng)量守恒可得 （10） （11） 令 ，， 則有 ，， 代入（10）、（11）式得 （12） （13） 解（12）、（13）兩式得 （14） 或 （15） 即 ， （16） （或，，不合題意） 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題16分． 第1小問(wèn)10分．（1）、（2）式各2分，（6）式4分，（9）式2分． 第2小問(wèn)6分．（10）、（11）式各1分，（16）式4分． 全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽20--20