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2019-2020年高三12月聯(lián)考 理科數(shù)學(xué) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時 120 分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．選出符合題目要求的一項(xiàng)填在機(jī)讀卡上． 1． 若集合，且，則集合可能是 A．　 B．　 C．　 D． 【答案】A 【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋源鸢高xA. 2． 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】復(fù)數(shù)，所以對應(yīng)的點(diǎn)位,選D. 3． 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，B正確。 4． 一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為）， 則該棱錐的體積是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三視圖可以看出，此幾何體是一個側(cè)面與底面垂直且底面與垂直于底面的側(cè)面全等的三棱錐由圖中數(shù)據(jù)知此兩面皆為等腰直角三角形，高為2，底面邊長為2，底面面積 故此三棱錐的體積為，選A. 5．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】做出約束條件對應(yīng)的可行域如圖，，由得。做直線，平移直線得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，直線的截距最大，此時最大，所以最大值，選C. 6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則的值為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在等比數(shù)列中，，所以公比，又，解得或。由，解得，此時。由，解得，此時，綜上，選D. 7． 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，，若，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，此時為減函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增。因?yàn)?，所以有，解得，即，選B. 8．設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知可知，根據(jù)雙曲定義可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得= ∴雙曲線漸進(jìn)線方程為，即。故選D. 第Ⅱ卷（非選擇題，共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．已知，且為第二象限角，則的值為 ． 【答案】 【解析】因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以? 10．已知向量．若為實(shí)數(shù)，，則的值為 ． 【答案】 【解析】，因?yàn)?，所以，解得? 11．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，的小大為 ． 【答案】 【解析】橢圓的，，所以。因?yàn)椋?，所以。所?所以。 12．若曲線的某一切線與直線平行，則切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，切線方程為 ． 【答案】， 【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，已知直線的斜率，由，解得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即。 13． 若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是 ． （寫出所有正確命題的編號）． ①； ②； ③ ； ④； ⑤ 【答案】①，③，⑤． 【解析】對于命題①由，得，命題①正確； 對于命題②令時，不成立，所以命題②錯誤； 對于命題③，命題③正確； 對于命題④令時，不成立，所以命題④錯誤； 對于命題⑤，命題⑤正確． 所以正確的結(jié)論為①，③，⑤． 14． 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 【答案】 【解析】，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，因?yàn)?，所以，，即函?shù)圖象在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，即在內(nèi)恒成立。由定義域可知，所以，即，所以成立。設(shè)，則，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為15，所以，即的取值范圍為。 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分分） 已知：在中, 、、分別為角、、所對的邊，且角為銳角， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當(dāng)，時，求及的長． 16．（本小題滿分分） 已知：函數(shù)的部分圖象如圖所示． （Ⅰ）求 函 數(shù)的 解 析 式； （Ⅱ）在△中，角的 對 邊 分 別 是，若 的 取 值 范 圍． 17．（本小題滿分分） 已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點(diǎn)． （Ⅰ）證明：//平面； （Ⅱ）證明：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正弦值． 18．（本小題滿分13分） 已知：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，． （Ⅰ）求：，的值； （Ⅱ）求：數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的 前項(xiàng)和． 19．（本小題滿分14分） 已知：函數(shù)，其中． （Ⅰ）若是的極值點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍． 20．（本小題滿分分） 已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦 點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)． ①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；②若點(diǎn)，求證：為定值． 參考答案 （以下評分標(biāo)準(zhǔn)僅供參考，其它解法自己根據(jù)情況相應(yīng)地給分） 一、選擇題 1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． D 7． B 8． D 二、填空題 9． 10． 11． 12．（1，2）， 13．①③⑤ 14． 15．（本小題滿分分） 解：（Ⅰ）解：因?yàn)閏os2C=1-2sin2C=，及 所以sinC=． ………………………… 4分 （Ⅱ）解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC時，由正弦定理，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos2C-1=，及得 cosC= ………………………9分 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2－b-12=0 …………………… 12分 解得 b=2 ……………………13分 16．（本小題滿分分） 解：（Ⅰ）由圖像知，的最小正周期，故 …… 2分 將點(diǎn)代入的解析式得，又 故 所以 ……………… 5分 （Ⅱ）由得 所以……………………8分 因?yàn)? 所以 ………………9分 ……………………11分 ……………………13分 17．（本小題滿分分） 解： （Ⅰ） 證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO． ……………………1分 O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)， ∴EO//P B． ……………………2分 EO平面AEC，PB平面AEC， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C． （Ⅱ） 證明： PA⊥平面ABC D． 平面ABCD， ∴． ……………………4分 又在正方形ABCD中且， ……………………5分 ∴CD平面PA D． ……………………6分 又平面PCD， ∴平面平面． ……………………7分 （Ⅲ）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空 間直角坐標(biāo)系． ………8分 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為 A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） ． ……………9分 PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）． 設(shè)平面AEC的法向量為, , 則 即 ∴ ∴ 令,則． ………………11分 ∴, …………………12分 二面角的正弦值為 …………………13分 18．（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ） 令 ，解得；令，解得 ……………2分 （Ⅱ） 所以，（） 兩式相減得 ……………4分 所以，（） ……………5分 又因?yàn)? 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 ……………6分 所以，即通項(xiàng)公式 （） ……………7分 （Ⅲ），所以 所以 ……9分 令 ① ② ①－②得 ……………11分 ……………12分 所以 ……13分 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：． 依題意，令，解得 ． 經(jīng)檢驗(yàn)，時，符合題意． ……4分 （Ⅱ）解：① 當(dāng)時，． 故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是． …………………5分 ② 當(dāng)時，令，得，或． 當(dāng)時，與的情況如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和． 當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是． 當(dāng)時，，與的情況如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和． ③ 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是． 綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是； 當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和； 當(dāng)時，的減區(qū)間是； 當(dāng)時，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和． ……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 時，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意． 當(dāng)時，在的最大值是， 由，知不合題意． 當(dāng)時，在單調(diào)遞減， 可得在上的最大值是，符合題意． 所以，在上的最大值是時，的取值范圍是． …………14分 20．（本題滿分分） 解：（Ⅰ）因?yàn)闈M足， ，…………2分 。解得，則橢圓方程為 ……………4分 （Ⅱ）（1）將代入中得 ……………………………………………………6分 ………………………………………… …………………7分 因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得…………9分 （2）由（1）知， 所以 ……………11分 ………………………………………12分