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2019-2020年高三數學一輪復習 第13篇 第2節(jié) 參數方程課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 參數方程與普通方程互化 1、5、9 參數方程及其應用 2、3、10、12 極坐標方程與參數方程的綜合 4、6、7、8、11、12 一、選擇題 1.(xx北京模擬)參數方程(t為參數)與極坐標方程ρ=sin θ所表示的圖形分別是(　B　) (A)直線、直線 (B)直線、圓 (C)圓、圓 (D)圓、直線 解析:將參數方程消去參數t得2x-y-5=0,所以對應圖形為直線. 由ρ=sin θ得ρ2=ρsin θ, 即x2+y2=y, 即x2+（y-）2=,對應圖形為圓. 2.(xx安慶模擬)若直線(t是參數)與圓(θ是參數)相切,則直線的傾斜角α為(　C　) (A) (B) (C)或 (D) 解析:直線(t是參數)的普通方程為y=xtan α, 圓(θ是參數)的普通方程為(x-4)2+y2=4, 由于直線與圓相切, 則=2,即tan2α=, 解得tan α=, 由于α∈[0,π), 故α=或. 3.(xx高考安徽卷)以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數方程是(t為參數),圓C的極坐標方程是ρ=4cos θ,則直線l被圓C截得的弦長為(　D　) (A) (B)2 (C) (D)2 解析:直線l的參數方程化為普通方程是x-y-4=0,圓C的直角坐標方程是(x-2)2+y2=4,圓心(2,0)到直線l的距離d==,而圓C的半徑為2,所以直線l被圓C截得的弦長為2=2,故選D. 4.在極坐標系中,以極點為原點,極軸為x軸的正方向,將曲線按伸縮變換φ:變換后得到曲線C,則曲線C上的點到直線ρ(cos θ+sin θ)=6的距離的最小值是(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:將曲線按φ:變換得到曲線C: 化為普通方程為x′2+y′2=1, 直線ρ(cos θ+sin θ)=6的直角坐標方程為 x+y-6=0, 圓心(0,0)到直線的距離為d==3>r=1,所以直線與圓相離,圓上的點到直線的距離的最小值為2. 二、填空題 5.(xx高考湖北卷)已知曲線C1的參數方程是(t為參數).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是ρ=2.則C1與C2交點的直角坐標為　　　　. 解析:由題意,得(t為參數)?x2=3y2(x≥0,y≥0),曲線C2的普通方程為x2+y2=4,聯立 得即C1與C2的交點的直角坐標為(,1). 答案:(,1) 6.(xx廣州模擬)已知曲線C的參數方程是(α為參數),以直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,并取相同的長度單位建立極坐標系,則曲線C的極坐標方程是　　　　. 解析:曲線C的參數方程為(α為參數),它表示以點(0,1)為圓心,以1為半徑的圓,則曲線C的標準方程為x2+(y-1)2=1,化為一般方程即x2+y2-2y=0,化為極坐標方程得ρ2-2ρsin θ=0,即ρ2=2ρsin θ,兩邊約去ρ得ρ=2sin θ. 答案:ρ=2sin θ 7.(xx高考重慶卷)已知直線l的參數方程為(t為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),則直線l與曲線C的公共點的極徑ρ=　　　　. 解析:依題意,直線l與曲線C的直角坐標方程分別是x-y+1=0,y2=4x. 由得x2-2x+1=0, 解得x=1,則y=2, 因此直線l與曲線C的公共點的直角坐標是(1,2),該點與原點的距離為=, 即直線l與曲線C的公共點的極徑ρ=. 答案: 8.若直線l的極坐標方程為ρcos=3,圓C:(θ為參數)上的點到直線l的距離為d,則d的最大值為　　　　. 解析:∵ρcos（θ-）=3, ∴ρcos θ+ρsin θ=6, ∴直線l的直角坐標方程為x+y=6. 由圓C的參數方程知圓C的圓心為C(0,0),半徑r=1. 圓心C(0,0)到直線l的距離為=3. ∴dmax=3+1. 答案:3+1 三、解答題 9.(xx高考福建卷)已知直線l的參數方程為(t為參數),圓C的參數方程為(θ為參數). (1)求直線l和圓C的普通方程; (2)若直線l與圓C有公共點,求實數a的取值范圍. 解:(1)直線l的普通方程為2x-y-2a=0, 圓C的普通方程為x2+y2=16. (2)因為直線l與圓C有公共點, 故圓C的圓心到直線l的距離d=≤4, 解得-2≤a≤2.即a的取值范圍為[-2,2]. 10.(xx高考新課標全國卷Ⅱ)已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數)上,對應參數分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點. (1)求M的軌跡的參數方程; (2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數,并判斷M的軌跡是否過坐標原點. 解:(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數方程為(α為參數,0<α<2π). (2)M點到坐標原點的距離 d==(0<α<2π). 當α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標原點. 11.(xx保定模擬)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(t為參數),以該直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系下,曲線P的方程為ρ2-4ρcos θ+3=0. (1)求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標方程. (2)設曲線C和曲線P的交點為A,B,求|AB|. 解:(1)曲線C的普通方程為x-y-1=0,曲線P的直角坐標方程為x2+y2-4x+3=0. (2)曲線P可化為(x-2)2+y2=1,表示圓心在(2,0),半徑r=1的圓, 則圓心到直線C的距離為d==, 所以|AB|=2=. 12.(xx高考遼寧卷)將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C. (1)寫出C的參數方程; (2)設直線l:2x+y-2=0與C的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程. 解:(1)設(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)镃上的點(x,y),依題意,得 由+=1得x2+（）2=1, 即曲線C的方程為x2+=1. 故C的參數方程為(t為參數). (2)由解得或 不妨設P1(1,0),P2(0,2), 則線段P1P2的中點坐標為（,1）, 所求直線斜率為k=, 于是所求直線方程為y-1=（x-）, 化為極坐標方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=.