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“湖南省五市十校教研教改共同體”xx屆高三12月聯(lián)考 2019-2020年高三12月聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理） 含答案 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1. 已知集合，，若，則b等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或2 2. 復(fù)數(shù)（ ） A． B． C． D． 3. 已知向量，，若⊥，則實數(shù)的值為 （ ） A． B． C．－ D．2 4. 若，則是的 （ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5. 交通管理部門為了解機動車駕駛員對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查。假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為 ，其中甲社區(qū)有駕駛員96人。若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為（ ） A．101 B．808 C．1212 D．xx 6. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ） A．1 B． C． D． 7. 已知，則的最小值是（ ） A．6 B．5 C． D． 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為23，則輸入的值為 （ ） A． B．1 C． D．11 9. 某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是（ ） A． B． C． D． 10. 等比數(shù)列中，，函數(shù)，則＝（ ） A． B． C． D． 11. 設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線分別交于A,B兩點，F(xiàn)為該雙曲線的右焦點．若, 則該雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A． B． C． D． 12. 設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題～第(21)題為必考題,每個試題考生都必須作答.第(22)題～第(24)題為選考題,考生根據(jù)要求作答. 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分. 13. 定積分= . 14. 已知a>0，且二項式展開式中含項的系數(shù)是135，則a= . 15. 將正整數(shù) 排成一個三角形數(shù)陣： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的規(guī)律，第行的所有數(shù)之和為 . 16. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值的最小值是 . 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17. (本小題滿分12分)設(shè)向量，函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）中邊所對的角為A,B,C,若當取最大值時，求的面積。 18. （本小題滿分12分）十八屆五中全會公報指出：努力促進人口均衡發(fā)展，堅持計劃生育的基本國策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實施一對夫婦可生育兩個孩子的政策，提高生殖健康、婦幼保健、托幼等公共服務(wù)水平。為了解適齡公務(wù)員對放開生育二胎政策的態(tài)度，某部門隨機調(diào)查了100位30到40歲的公務(wù)員，得到情況如下表： 男公務(wù)員 女公務(wù)員 生二胎 40 20 不生二胎 20 20 （Ⅰ）是否有95%以上的把握認為“生二胎與性別有關(guān)”，并說明理由； （Ⅱ）把以上頻率當概率，若從社會上隨機抽取3位30到40歲的男公務(wù)員，記其中生二胎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列，數(shù)學(xué)期望。 附：K2＝ P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19. （本小題滿分12分）如圖，已知是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折疊，使二面角為直二面角. 　?。á瘢┳C明： ； A B C D O O1 A B O C O1 D （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 20.（本小題滿分12分）已知橢圓過點，且長軸長等于4. （1）求橢圓的方程； （2）是橢圓的兩個焦點，圓是以為直徑的圓，直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點，若，求的值. 21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)， （Ⅰ）若，求函數(shù)的極小值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若在區(qū)間上存在一點，使得成立，求的取值范圍．（） 請考生從第(22)、（23）、（24）題中任選一題作答.多答按所答的首題進行評分. 22.(本小題滿分10分)在中，，過點的直線與其外接圓交于點，交 延長線于點。 （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）若，求的值. 23.(本小題滿分10分)已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是（ 為參數(shù)）． （Ⅰ）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程； （Ⅱ）設(shè)點，若直線與曲線交于兩點，且，求實數(shù)的值． 24. (本小題滿分10分)設(shè)實數(shù)，滿足． （Ⅰ）若，求的取值范圍； （Ⅱ）求的最小值． “湖南省五市十校教研教改共同體”xx屆高三12月聯(lián)考 理科數(shù)學(xué)評分標準 一、選擇題 1.D 2. A 3. A 4.A 5.B 6.C 7.C 8. C 9.A 10.C 11.B 12.D 二、填空題 13. 14.3 15. 16. 三、解答題 17. 解：（1） …………（4分） …………（6分） （2） 即 ,…………（9分） 又 ， 時取到最大值…………（10分） 此時,又 …………（12分） 18. 解：（Ⅰ）沒有95%以上的把握認為“生二胎與性別有關(guān)”, …………（2分） 由K2＝得 …………（6分） （Ⅱ）由已知得男公務(wù)員“生二胎”的概率為，并且由已知的，分布列： X 0 1 2 3 P x z y A B O O1 D (圖3) …………（12分） 19. 解法一（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系， 如圖3，則相關(guān)各點的坐標是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，），O1（0，0，）. 從而 所以AC⊥BO1. …………（6分） （II）解：因為所以BO1⊥OC， 由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量. 設(shè)是平面O1AC的一個法向量， 由 得. F E A B C O1 D (圖4) 設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，>，所以cos，>=即二面角O—AC—O1的余弦值是 （12分） 解法二（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 從而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影. 因為 ， 所以∠OO1B=60，∠O1OC=30，從而平面 可得AC⊥BO1. …………（6分） （II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. 設(shè)OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC 內(nèi)的射影，由平面 可得. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. 由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1， 所以， 從而， 又O1E=OO1sin30=， 所以 即二面角O—AC—O1的余弦值…………（12分） 20. 解：（1）由題意，橢圓的長軸長，得， 因為點在橢圓上，所以得， 所以橢圓的方程為.…………（4分） （2）由直線l與圓O相切，得，即，…………（5分） 設(shè)，由消去y，整理得 由題意可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交，所以.…………（7分） …………（9分） 所以 因為，所以. 又因為，所以，，得k的值為.………（12分） 21. 解：（Ⅰ）的定義域為， 當時，， ， 1 — 0 + 極小 所以在處取得極小值1．…………（3分） （Ⅱ）， …………（4分） ①當時，即時，在上，在上， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； ②當，即時，在上， 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增． 綜上所述，①當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； ②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增． …………（7分） （Ⅲ）在上存在一點，使得成立，即 在上存在一點，使得，即 函數(shù)在上的最小值小于零． 由（Ⅱ）可知 ①即，即時， 在上單調(diào)遞減， 所以的最小值為，由可得， 所以； ②當，即時， 在上單調(diào)遞增， 所以最小值為，由可得； ③當，即時， 可得最小值為， 因為，所以， 故 ，此時，不成立． 綜上討論可得所求的范圍是：或．…………（12分） 22. 解：連結(jié)BP，∵四邊形ABCP內(nèi)接于圓， ∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴∴又∵∴ …………（5分） （2）連結(jié),∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB 又∵四邊形內(nèi)接于圓 ∴∠ACB=∠APB 從而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD ∴ ∴ ∴ 又∵AB=AC=3 ∴= …………（10分） 23.解：（1）曲線C的極坐標方程是，化為，可得直角坐標方程：． 直線L的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得．…（5分） （2）把（t為參數(shù)），代入方程：化為：，由△＞0，解得．∴． ∵，∴， 解得．又滿足△＞0．∴實數(shù)．…………（10分） 24.解：（1）由得，即，所以可化為，即，解得，所以的取值范圍是…………（5分） （2）代入，當且僅當，時，等號成立（或）的最小值為……（10分）