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1,積分變換,Fourier變換,Recall: 周期函數(shù)在一定條件下可以展開為Fourier級數(shù)； 但全直線上的非周期函數(shù)不能用Fourier表示； 引進類似于Fourier級數(shù)的Fourier積分 (周期趨于無窮時的極限形式),2,1 Fourier積分公式,1.1 Recall:,在工程計算中, 無論是電學還是力學, 經(jīng)常要和隨時間 變化的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:,具有性質fT(t+T)=fT(t), 其中T稱作周期, 而1/T代表 單位時間振動的次數(shù), 單位時間通常取秒, 即每秒重復 多少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).,3,最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn), 所有 的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的 線性組合來逼近.—— Fourier級數(shù),,,方波,4個正弦波的逼近,100個正弦波的逼近,4,研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的 情況即可, 通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的 情況.,Dirichlet條件：,連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；,只有有限個極值點；,可展開成Fourier級數(shù)，且在連續(xù)點t處成立：,5,引進復數(shù)形式：,6,級數(shù)化為：,7,合并為：,級數(shù)化為：,若以 描述某種信號，,則 可以刻畫 的特征頻率。,8,對任何一個非周期函數(shù)f (t)都可以看成是由某個周期 函數(shù)fT(t)當T??時轉化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上, 則T 越大, fT(t)與f (t)相等的范圍也越大, 這就說明當T?? 時,周期函數(shù)fT(t)便可轉化為f (t), 即有,9,,,例 矩形脈沖函數(shù)為,如圖所示:,1,-1,O,t,f (t),1,10,現(xiàn)以f (t)為基礎構造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則,11,則,12,,,sinc(x),x,,sinc函數(shù)介紹,13,,,前面計算出,,,,,,,,,,,w,可將 以豎線標在頻率圖上,14,,,,1,-1,7,,,T=8,f8(t),t,現(xiàn)在將周期擴大一倍, 令T=8, 以f (t)為基礎構造 一周期為8的周期函數(shù)f8(t),15,則,16,,,則在T=8時,,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,再將 以豎線標在頻率圖上,17,,,如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計算出,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,再將 以豎線標在頻率圖上,18,一般地, 對于周期T,19,當周期T越來越大時, 各個頻率的正弦波的頻率間 隔越來越小, 而它們的強度在各個頻率的輪廓則總是 sinc函數(shù)的形狀, 因此, 如果將方波函數(shù)f (t)看作是周 期無窮大的周期函數(shù), 則它也可以看作是由無窮多個無 窮小的正弦波構成, 將那個頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的 形狀看作是方波函數(shù)f (t)的各個頻率成份上的分布, 稱 作方波函數(shù)f (t)的傅里葉變換.,20,,1.2 Fourier積分公式與Fourier積分存在定理,21,22,23,24,付氏積分公式也可以轉化為三角形式,25,又考慮到積分,26,2 Fourier變換 2.1 Fourier變換的定義,,,,27,,Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的 一種充分條件.,28,在頻譜分析中, 傅氏變換F(?)又稱為f(t)的頻譜函 數(shù), 而它的模|F(?)|稱為f (t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜). 由于?是連續(xù)變化的, 我們稱之為連續(xù)頻譜, 對一個時間 函數(shù)f (t)作傅氏變換, 就是求這個時間函數(shù)f (t)的頻譜.,29,例 1 求矩形脈沖函數(shù) 的付氏變換及其 積分表達式。,30,31,32,2.2 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術中, 常常會碰到單位脈沖函數(shù). 因為有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質, 如在電學中, 要 研究線性電路受具有脈沖性質的電勢作用后產(chǎn)生的電 流; 在力學中, 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運 動情況等. 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位 脈沖函數(shù).,33,在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(設為t=0)進入 一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t) 表示上述電路中的電荷函數(shù), 則,當t?0時, i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通 導數(shù)意義下, q(t)在這一點是不能求導數(shù)的.,34,如果我們形式地計算這個導數(shù), 則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能 夠表示這樣的電流強度. 為了確定這樣的電流強度, 引進 一個稱為狄拉克(Dirac)函數(shù), 簡單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù), 對于許多集中于一點或一瞬時的量, 例 如點電荷, 點熱源, 集中于一點的質量及脈沖技術中的 非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以 統(tǒng)一的方式加以解決.,35,,（在極限與積分可交換意義下）,工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。,36,可將d-函數(shù)用一個長度等于1的有向線段表示, 這個 線段的長度表示d-函數(shù)的積分值, 稱為d-函數(shù)的強度.,,,t,O,d (t),,1,d-函數(shù)有性質：,可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實軸上的積分 都有明確意義。,37,d-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d (t)與常數(shù)1構成了一傅氏變換對.,證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得,例1 證明：1和2pd (w)構成傅氏變換對.,證法1：,38,由上面兩個函數(shù)的變換可得,39,例如常數(shù), 符號函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函數(shù) 等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用單位脈 沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換. 所謂 廣義是相對于古典意義而言的, 在廣義意義下, 同樣可 以說,象原函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構成一個傅氏變換對.,在物理學和工程技術中, 有許多重要函數(shù)不滿足傅 氏積分定理中的絕對可積條件, 即不滿足條件,40,例4 求正弦函數(shù)f (t)=sinw0t的傅氏變換。,41,例 5 證明：,證：,42,,43,3 Fourier變換與逆變換的性質,這一講介紹傅氏變換的幾個重要性質, 為了敘述方 便起見, 假定在這些性質中, 凡是需要求傅氏變換的函 數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質時, 不再重述這些條件.,1.線性性質:,44,2. 位移性質:,證明：,為實常數(shù)，則,45,3. 相似性質：,證明：,46,例1 計算 。,方法1：（先用相似性質，再用平移性質）,47,方法2：（先用平移性質，再用相似性質）,48,4.微分性質：,像原函數(shù)的微分性質：,則,49,5.積分性質：,,,6. 帕塞瓦爾(Parserval)等式,50,實際上, 只要記住下面五個傅里葉變換, 則所有的 傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的 性質導出.,51,例2 利用傅氏變換的性質求d (t-t0),性質,性質,52,例3 若 f (t)=cosw0t ? u(t), 求其傅氏變換。,53,7.卷積與卷積定理,卷積定義：,卷積的簡單性質：,54,例1 求下列函數(shù)的卷積：,由卷積的定義有,55,,卷積定理：,56,例2 求 的傅氏變換。,性質,57,利用卷積公式來證明積分公式：,證明：,