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2019-2020年高三數學上學期第二次月考試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎知識和基本技能為主，以能力測試為主導，在注重考查學科核心知識的同時，突出考查的基本運算能力，重視學生科學素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點考查：集合、不等式、復數、向量、三視圖、導數、簡單的線性規(guī)劃、、圓錐曲線、立體幾何、數列、函數的性質及圖象、三角函數的性質、命題、統計概率等；考查學生解決實際問題的能力，是份較好的試卷. 【題文】一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 【題文】1、已知集合，，則（ ） A、 B、 C、 D、 【知識點】集合及其運算A1 【答案解析】D 根據并集的定義知：A∪B={x|x＜4}，故選D． 【思路點撥】根據并集的定義解答． 【題文】2、復數滿足，則（ ） A、 B、 C、 D、 【知識點】復數的基本概念與運算L4 【答案解析】B ∵z（2+i）=1-2i∴z= = = = =-i故選B 【思路點撥】由z（2+i）=1-2i可得z= ，然后利用復數的基本運算進行化簡即可求解。 【題文】3、給定下列兩個命題： ①“”為真是“”為假的必要不充分條件； ②“，使”的否定是“，使”.其中說法正確的（ ） A、 ①真②假 B、①假②真 C 、 ①和②都為假 D、 ①和②都為真 【知識點】命題及其關系A2 【答案解析】D ①“p∨q”為真，則p，q中至少有一個為真，推不出“p”為假； 若“p”為假，則p為真，“p∨q”為真， 故“p∨q”為真是“p”為假的必要不充分條件，故①正確； ②“?x∈R，使sinx＞0”的否定是“?x∈R，使sinx≤0”．故②正確． 故選D． 【思路點撥】①“p∨q”為真，則p，q中至少有一個為真，推不出“p”為假；反之成立，由充分必要條件即可判斷； ②由存在性命題的否定是全稱性命題，即可判斷． 【題文】4、已知向量，，若與共線，則的值為( ) A、 B、 C、 D、 【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2 【答案解析】D 由題意可知=m（2，3）+4（-1，2）=（2m-4，3m+8） =（2，3）-2（-1，2）=（4，-1）∵與與共線 ∴（2m-4）（-1）=（3m+8）4∴m=-2故選D． 【思路點撥】先由向量的坐標運算表示出與，再根據向量共線定理的坐標表示可得答案． 【題文】5、某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（　　） A、 B、 4 C.、2 D、 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】B 由三視圖可知：該三棱錐的側面PBC⊥底面ABC，PD⊥交線BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2 ∴VP-ABC= S△ABCPD=432=4．故選B． 【思路點撥】由三視圖可知：該三棱錐的側面PBC⊥底面ABC，PD⊥交線BC，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．據此即可計算出其體積． 【題文】6、已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，則該雙曲線的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 【知識點】雙曲線及其幾何性質H6 【答案解析】C ∵拋物線y2=8x的焦點是（2，0），∴c=2，a2=4-1=3， ∴e=＝＝．故選C． 【思路點撥】先求出拋物線y2=8x的焦點坐標，由此得到雙曲線?y2＝1的一個焦點，從而求出a的值，進而得到該雙曲線的離心率． 【題文】7、已知函數向左平移個單位后，得到函數，下列關于的說法正確的是（　　） A、圖象關于點中心對稱 B、圖象關于軸對稱 C、在區(qū)間單調遞增 D、在單調遞減 【知識點】三角函數的圖象與性質C3 【答案解析】C 函數y=sin2x的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應的函數為 y=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）．對于A，當x=? 時， y=sin（- ）≠0．圖象不關于點(?，0)中心對稱，∴A不正確； 對于B，當x＝? 時，y=sin0=0，圖象不關于x＝? 軸對稱，∴B不正確 對于C，y=sin（2x+ ）的周期是π．當x= 時，函數取得最大值，x=? 時，函數取得最小值，∵[?，?]?[?，]，∴在區(qū)間[?，?]單調遞增，∴C正確； 對于D，y=sin（2x+）的周期是π．當x=時，函數取得最大值，∴在[?，]單調遞減不正確，∴D不正確；故選C． 【思路點撥】根據函數圖象的平移變換法則“左加右減，上加下減”，易得到函數y=sin2x的圖象向左平移個單位后，得到的圖象對應的函數解析式，然后利用函數的對稱性，單調性判斷選項即可． 【題文】8、若變量x，y滿足約束條件則的取值范圍是（　?。? A、 (，7) B、[，5 ] C、[，7] D、[，7] 【知識點】簡單的線性規(guī)劃問題E5 【答案解析】D 不等式組滿足表示的區(qū)域如圖，則z＝的幾何意義是可行域內的點與點（-1，-3）構成的直線的斜率問題． 當取得點A（0，4）時， 則z＝的值為7， 當取得點B（3，0）時， 則z＝的取值為， 所以答案為[，7]，故選D． 【思路點撥】本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數的最值，而是求可行域內的點與原點（-1，-3）構成的直線的斜率范圍． 【題文】9、已知函數，若，則的取值范圍是( ) A、 B、 C、 D、 【知識點】冪函數與函數的圖像B8 【答案解析】A 由題意可作出函數y=|f（x）|的圖象，和函數y=ax的圖象， 由圖象可知：函數y=ax的圖象為過原點的直線，當直線介于l和x軸之間符合題意，直線l為曲線的切線，且此時函數y=|f（x）|在第二象限的部分解析式為y=x2-2x， 求其導數可得y′=2x-2，因為x≤0，故y′≤-2，故直線l的斜率為-2， 故只需直線y=ax的斜率a介于-2與0之間即可，即a∈[-2，0]故選A 【思路點撥】由函數圖象的變換，結合基本初等函數的圖象可作出函數y=|f（x）|的圖象，和函數y=ax的圖象，由導數求切線斜率可得l的斜率，進而數形結合可得a的范圍． 【題文】10、甲、乙兩位運動員在5場比賽的得分情況如莖葉圖所 示，記甲、乙兩人的平均得分分別為，則下列判斷正確的是（ ） A、；乙比甲成績穩(wěn)定 B、；乙比甲成績穩(wěn)定 C、；甲比乙成績穩(wěn)定 D、；甲比乙成績穩(wěn)定 【知識點】用樣本估計總體I2 【答案解析】A 5場比賽甲的得分為16、17、28、30、34， 5場比賽乙的得分為15、26、28、28、33 ∴甲= （16+17+28+30+34）=25， 乙=（15+26+28+28+33）=26 s甲2=（81+64+9+25+81）=52，s乙2=（121+4+4+49）=35.6 ∴甲＜乙，乙比甲成績穩(wěn)定故選A． 【思路點撥】由莖葉圖，得出5場比賽甲、乙的得分，再計算平均數與方差，即可得到結論． 第Ⅱ卷（非選擇題 滿分100分） 【題文】二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共 25分．把答案填在答題卡的相應位置） 【題文】11、直線與圓的相切，則 【知識點】直線與圓、圓與圓的位置關系H4 【答案解析】-3 圓x2+y2-4x+2y=0的圓心坐標為（2，-1），半徑為 因為直線x-y+m=0與圓x2+y2-4x+2y=0的相切，所以= ，所以m=-3．故答案為：-3． 【思路點撥】利用直線x-y+m=0與圓x2+y2-4x+2y=0的相切，圓心到直線的距離等于半徑，即可求出m的值． 【題文】12、已知角，且，則 【知識點】同角三角函數的基本關系式與誘導公式C2 【答案解析】 因為，所以， -= 【思路點撥】利用同角之間的三角函數關系，然后利用誘導公式求解。 【題文】13、在執(zhí)行右邊的程序框圖時，如果輸入， 則輸出___________ 【知識點】算法與程序框圖L1 【答案解析】 執(zhí)行程序框圖，有N=6，k=1，S=1 第1次執(zhí)行循環(huán)體，S=1+， k＜N成立，有k=2，第2次執(zhí)行循環(huán)體，S=1++ k＜N成立，有k=3，第3次執(zhí)行循環(huán)體，S=1+++ k＜N成立，有k=4，第4次執(zhí)行循環(huán)體，S=1++++ k＜N成立，有k=5，第5次執(zhí)行循環(huán)體，S=1+++++ k＜N成立，有k=6，第6次執(zhí)行循環(huán)體，S=1++++++= k＜N不成立，輸出S的值，故答案為． 【思路點撥】執(zhí)行程序框圖，寫出每一次循環(huán)k，S的值，當有k=6，第6次執(zhí)行循環(huán)體，有S=1++++ ++，此時k＜N不成立，從而輸出S的值． 【題文】14、已知定義在上的函數的對稱中心為，且，當 時，，則在閉區(qū)間，上的零點個數為 . 【知識點】函數與方程B9 【答案解析】6043 ∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故函數f（x）是T=4的周期函數，又∵函數f（x-1）的對稱中心為（1，0）， ∴函數f（x）的對稱中心為（0，0），即函數f（x）為奇函數， ∵當x∈（0，1]時，f（x）=2x-1，∴在一個周期[-2，2）上 的圖象如下圖所示 由圖可得在一個周期[-2，2）上函數有6個零點， 故每個周期[4k-2，4k+2），k∈Z上函數都有6個零點， [-xx，xx）上共有[xx-（-xx）]4=1007個周期， 故[-xx，xx）共有61007=6042個零點， 由f（xx）=0， 故f（x）在閉區(qū)間[-xx，xx]上的零點個數為6043， 故答案為6043 【思路點撥】分析函數的周期性和對稱性，進而畫出函數在一個周期上的圖象，分析一個周期內零點的個數，進而得到f（x）在閉區(qū)間[-xx，xx]上的零點個數． 【題文】15、給出以下四個結論： ①函數的對稱中心是； ②若不等式對任意的都成立，則； ③已知點在直線兩側，則； ④若將函數的圖像向右平移（0）個單位后變?yōu)榕己瘮?，則的最小值是.其中正確的結論是____ ______. 【知識點】函數的奇偶性與周期性,三角函數的圖象與性質 B4 C3 【答案解析】③④ 函數f(x)＝的對稱中心是（- ，），故①錯誤； 若不等式mx2-mx+1＞0對任意的x∈R都成立，則0≤m＜4，故②錯誤； 點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x-3y+1=0兩側， ∵把Q（1，0）代入2x-3y+1=3＞0，∴2a-3b+1＜0，∴3b-2a＞1，故③正確； 將函數f（x）=sin（2x- ）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后， f（x）=sin（2x-2θ- ），∵此時f（x）變?yōu)榕己瘮担? ∴2θ+ =kπ+ ，k∈Z．解得θ= + ，k∈Z， ∵θ＞0，∴k=0時，θ取最小值，故④正確．故答案為③④． 【思路點撥】根據函數的對稱中心、平移等基本性質，對①②②③④四個命分別進行分析判斷，能求出正確結果． 【題文】三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內） 【題文】16、（本小題滿分12分） 在中，角所對的邊分別是，且 ． （Ⅰ）求角的大?。? （Ⅱ）若，，求的面積． 【知識點】解三角形C8 【答案解析】C=60（Ⅱ）10 ． （1）由已知和正弦定理得：（a+c）（a-c）=b（a-b） 故a2-c2=ab-b2，故a2+b2-c2=ab，故cosC＝＝， 故C=60 （2）由（1）中a2-c2=ab-b2，得25-49=5b-b2，得b2-5b-24=0，解得b=8或b=-3（舍），故b=8．所以，△ABC的面積為：S＝absinC＝10 ． 【思路點撥】（1）由已知和正弦定理求得a2+b2-c2=ab，由此求得cosC= ， 從而求得C的值． （2）由（1）中a2-c2=ab-b2求得b的值，再根據△ABC的面積為S＝absinC，運算求得結果． 【題文】17、（本小題滿分12分） 從某學校的男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數相同，第六組的人數為4人. （I）求第七組的頻率； （II）估計該校的800名男生的身高的中位數以及身高在180cm以上（含180cm）的人數； （III）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為，事件. 【知識點】用樣本估計總體,隨事件的概率 I2 K1 【答案解析】（Ⅰ）0.06（Ⅱ）144人（Ⅲ） （Ⅰ）第六組的頻率為＝0.08， 所以第七組的頻率為1-0.08-5（0.0082+0.016+0.042+0.06）=0.06； （Ⅱ）身高在第一組[155，160）的頻率為0.0085=0.04， 身高在第二組[160，165）的頻率為0.0165=0.08， 身高在第三組[165，170）的頻率為0.045=0.2， 身高在第四組[170，175）的頻率為0.045=0.2， 由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5 估計這所學校的800名男生的身高的中位數為m，則170＜m＜175 由0.04+0.08+0.2+（m-170）0.04=0.5得m=174.5 所以可估計這所學校的800名男生的身高的中位數為174.5 由直方圖得后三組頻率為0.06+0.08+0.0085=0.18， 所以身高在180cm以上（含180cm）的人數為0.18800=144人． （Ⅲ）第六組[180，185）的人數為4人，設為a，b，c，d，第八組[190，195]的人數為2人，設為A，B， 則有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15種情況， 因事件E={|x-y|≤5}發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組， 所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況， 故P(E)＝． 由于|x-y|max=195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，P（F）=0 由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)＝P(E)+P(F)＝． 【思路點撥】（Ⅰ）先由第六組的人數除以樣本容量得到第六組的頻率，然后用1減去出第七組外各組的頻率和即可得到第七組的頻率； （Ⅱ）因為過中位數的直線兩側的矩形的面積相等，經計算前三組的頻率和小于0.5，后四組的頻率和大于0.5，由此斷定中位數位于第四組，設出中位數m，由0.04+0.08+0.2+（m-170）0.04=0.5即可求得中位數m的值； （Ⅲ）分別求出第六組和第八組的人數，利用列舉法列出從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生的總的方法，再分別求出事件E和事件F的概率，最后利用互斥事件的概率加法公式進行計算． 【題文】18、（本小題滿分12分） 如圖，四邊形為矩形，平面，，平面于點，且點在上. （I）求證； （II）求四棱錐的體積； （III）設點在線段上，且，試在線段上確定一點，使得平面. 【知識點】空間中的平行垂直關系G4 G5 【答案解析】（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA∴BC⊥平面ABE， ∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF ∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BEC，又∵BE?平面BEC，∴AE⊥BE ∵AD⊥BE，AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE，∵DE?面DAE，∴DE⊥BE （2）作EH⊥AB于H， ∵DA⊥平面ABE，DA?面ABCD，∴面ABCD⊥面ABE， ∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，∴EH⊥面ABCD ∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，∴等腰Rt△AEB中，EH＝因此，VE?ABCD＝EH?SABCD＝222＝ （3）設P是BE的中點，連接MP，FP∵BE=BC，BF⊥CE，∴F是EC的中點 ∵△ECB中，FP是中位線，∴FP∥BC∥DA∵DA?平面DAE，FP?平面DAE ∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE，∵AE∩DA=A，∴平面MPF∥面DAE， 因此，直線MF∥面DAE，可得點N就是點F所以CE的中點N滿足MN∥平面DAE. 【思路點撥】（1）根據BC的平行線DA⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，從而AE⊥BC，再結合AE⊥BF，利用線面垂直的判定定理得到AE⊥面BEC，從而AE⊥BE，再用一次線面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE； （2）作EH⊥AB于H，根據面面垂直的性質可得EH⊥面ABCD，再在等腰Rt△AEB中結合已知條件的數據，算出EH＝，最后用錐體體積公式可求出四棱錐E-ABCD的體積； （3）設P是BE的中點，連接MP，FP．利用三角形中位線定理結合線面平行的判定，得到FP∥平面DAE且MP∥平面DAE，從而平面MPF∥面DAE，由此得到直線MF∥面DAE，可得點N就是點F 【題文】19、（本小題滿分12分） 已知函數,,(為常數) （Ⅰ）當時，求的最小值； （Ⅱ）若在上是單調函數，求的取值范圍。 【知識點】導數的應用B12 【答案解析】（Ⅰ）1（Ⅱ）a≤- ，或a≥0 （Ⅰ）當a=0時，f（x）=lnx+ （x＞0），所以f′（x）= ． 所以，當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0． 所以，當x=1時，函數有最小值f（1）=1．　　　　 （Ⅱ）f′（x）= ． 當a≥0時，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求． 當a＜0時，要使f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調函數， 當且僅當x∈[2，+∞）時，ax2+x-1≤0恒成立．即a≤恒成立． 設g（x）= ，則g′(x)＝，又x∈[2，+∞），所以g′（x）≥0， 即g（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，所以g（x）的最小值為g（2）=- ， 所以a≤- ．綜上，a的取值范圍是a≤- ，或a≥0． 【思路點撥】（Ⅰ）當a=0時，求導數，確定函數的單調性，即可求f（x）的最小值； （Ⅱ）分類討論，利用f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調函數，可利用導數的正負，建立不等式，分離參數，求最值，即可求a的取值范圍． 【題文】20、（本小題滿分13分） 如圖，橢圓：的右焦點為，右頂點、 上頂點分別為點、，且. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）若斜率為2的直線過點，且交橢圓于 、兩點，.求直線的方程及橢圓的方程. 【知識點】橢圓及其幾何性質H5 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）+y2＝1 （Ⅰ）由已知|AB|＝|BF|，即＝a，4a2+4b2=5a2， 4a2+4（a2-c2）=5a2，∴e＝＝． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴橢圓C：+＝1． 設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l的方程為y-2=2（x-0），即2x-y+2=0． 由?x2+4(2x+2)2?4b2＝0，即17x2+32x+16-4b2=0． △＝322+1617(b2?4)＞0?b＞．x1+x2＝?，x1x2＝． ∵OP⊥OQ，∴?＝0， 即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0． 從而+4＝0，解得b=1，∴橢圓C的方程為+y2＝1． 【思路點撥】（Ⅰ）利用|AB|=|BF|，求出a，c的關系，即可求橢圓C的離心率； （Ⅱ）直線l的方程為y-2=2（x-0），即2x-y+2=0與橢圓C：+＝1聯立，OP⊥OQ，可得?＝0，利用韋達定理，即可求出橢圓C的方程． 【題文】21、（本題滿分14分） 已知數列的前項和滿足：，，又設， （Ⅰ）求數列和的通項公式； （Ⅱ）若，且恒成立，求和常數的范圍； （Ⅲ）證明：對任意的，不等式. 【知識點】等差數列及等差數列前n項和等比數列及等比數列前n項和數列求和D2 D3 D4 【答案解析】（Ⅰ）an=Sn-3n=2n，bn=1+2log2an=1+2n（Ⅱ）m≤5（Ⅲ）略 （Ⅰ）∵Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），又s1-31=2， ∴數列{Sn-3n}是首項為2，公比為2的等比數列，∴Sn-3n=2n，∴Sn=3n+2n， ∴an=Sn-3n=2n，bn=1+2log2an=1+2n． （Ⅱ）Tn=b1a1+b2a2+…+bnan=3?2+5?22+…+（2n-1）?2n-1+（2n+1）?2n， ∴2Tn=3?22+5?23+…+（2n-1）?2n+（2n+1）?2n+1 ∴-Tn=6+2（22+23+…+2n）-（2n+1）?2n+1=6+2 -（2n+1）?2n+1=-1+（1-2n）?2n+1， ∴Tn=1+（2n-1）?2n+1 ∵Tn=1+（2n-1）?2n+1≥5，∴要使Tn≥m恒成立，只需m≤5即可． （Ⅲ）∵bn=1+2n．∴=+=, 【思路點撥】（Ⅰ）由題意得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），又s1-31=2，數列{Sn-3n}是首項為2，公比為2的等比數列，求得sn，即可求得結論； （Ⅱ）利用錯位相減法求數列的和即可； （Ⅲ）利用放縮法=+=, 累乘即可得出結論．