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2019-2020年高三模擬考試 數(shù)學（理）試題 （注意：請將答案填在答題卡上） 一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．設全集，， 則右圖中陰影部分表示的集合為 （ ） A． B． C． D． 3．已知條件：，條件：，則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件 4．如果數(shù)列，，，…，，…是首項為， 公比為的等比數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． 5．若右邊的程序框圖輸出的是，則條件①可為 （ ） A． B． C． D． 6．右圖是xx年在某大學自主招生考試的面試中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為 （ ） A． B． C． D． 7．設 ，且，，則等于（ ） A． B． C． D．或 8．過雙曲線的一個焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率為 （ ） A． B． C． D． 9．設定義在上的函數(shù)，若關于的方程 有3個不同實數(shù)解、、，且，則下列說法中錯誤的是（ ） A． B． C． D． 10．定義在上的可導函數(shù)，當時，恒成立，，則的大小關系為 （ ） A． B． C． D． A N M D C B 第12題 二、填空題（本題共5個小題，每小題5分，共25分，請把正確答案填在題中橫線上） 11．已知二項式展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則= ． 12．如右圖，在直角梯形中，，， ，，點是梯形內(nèi)（包括邊界）的 242 3 4 2 2 4 主視圖 俯視圖 左視圖 一個動點，點是邊的中點，則 的最大值是____． 13．若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的 體積是 ． 14．已知，，，…， 第13題 均為正實數(shù)，類比以上等式，可推測的值， 則 ． 15．選做題（請考生在下列兩題中任選一題作答，若兩題都做，則按做的第一題評閱計分） （1）（極坐標與參數(shù)方程）在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為 為參數(shù)，．以為極點，軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為．當圓上的點到直線的最大距離為時，圓的半徑 ． （2）（不等式）對于任意實數(shù)，不等式恒成立時，若實數(shù)的最大值為3，則實數(shù)的值為 ． 三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答寫出必要的文字說明、演算過程及步驟） 16．（本小題12分）已知滿足. （1）將表示為的函數(shù)，并求的單調遞增區(qū)間； （2）已知三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，且，求面積的最大值． 17．（本小題12分）為豐富高三學生的課余生活，提升班級的凝聚力，某校高三年級6個班（含甲、乙）舉行唱歌比賽．比賽通過隨機抽簽方式?jīng)Q定出場順序． 求：（1）甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率； （2）比賽中甲、乙兩班之間的班級數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望． A B C D E F 第18題 18．（本小題12分）如圖，已知平面，，為等邊三角形，，為的中點． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求直線和平面所成角的正弦值． 19．（本小題12分）已知函數(shù)． (1)證明函數(shù)的圖像關于點對稱; （2）若，求； （3）在（2）的條件下，若 ，為數(shù)列的前項和，若對一切都成立，試求實數(shù)的取值范圍． 20．（本小題13分）已知離心率為的橢圓 經(jīng)過點． （1）求橢圓的方程； （2）過左焦點且不與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，若 （為坐標原點），求直線的方程． 21．（本小題14分）已知函數(shù). （1）若在上的最大值為，求實數(shù)的值； （2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點、，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。 宜春市xx屆高三模擬考試數(shù)學（理科）答案及評分標準 一、選擇題 1．D 2．B 3．A 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C 9．C 10．A 二、填空題 11． 2或14 12． 6 13． 14． 41 15．（1） 1 ；（2） 或 三、解答題 16．解：（1） 所以，………………………3分 令，得即為的單調遞增區(qū)間. ………………6分 （2）又 ………………………………8分 在中由余弦定理有, 可知(當且僅當時取等號), 即面積的最大值為 ………………………………12分 17．解：（1）設“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事件，則 所以 甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率為………………………………4分 （2）隨機變量的可能取值為. ， ， ， ……………………10分 隨機變量的分布列為： 0 1 2 3 4 因此， 即隨機變量的數(shù)學期望為. …………………………12分 18．（1）證明：取的中點，連、． ∵為的中點，∴且 ∵平面，平面. ∴，∴ 又，∴ ∴四邊形為平行四邊形，因此 ∵平面，平面. ∴平面 …………………………………4分 （2）證明：∵是等邊三角形，為的中點， ∴ ∵平面，平面，∴ 又，故平面 ∵，∴平面 ∵平面， ∴平面平面 ………………………………………………………8分 （3）解：在平面內(nèi)，過作于，連 ∵平面平面，∴平面 ∴為和平面所成的角 ………………………………10分 設，則 ， 中， ∴直線和平面所成角的正弦值為………………………………………12分 （用空間向量法解答對應給分） 19．（1） 證明：因為函數(shù)的定義域為， 設、是函數(shù)圖像上的兩點, 其中且, 則有 因此函數(shù)圖像關于點對稱 ……………………………………4分 （2）由（1）知當時， ① ② ①+②得 ………………………………………………………………8分 （3）當時， 當時，， 當時， …= ∴ （） 又對一切都成立，即恒成立 ∴恒成立，又設,所以在上遞減,所以在處取得最大值 ∴，即 所以的取值范圍是 ………………12分 20．解：（1）依題意得：，且 解得： 故橢圓方程為 ……………………………………………………4分 （2）橢圓的左焦點為，則直線的方程可設為 代入橢圓方程得： 設 …………6分 由 得：， 即 ……………………………………………………………………9分 又，原點到的距離， 則 解得 的方程是 ………………………………13分 （用其他方法解答參照給分） 21．解：（1）由，得， 令，得或． 列表如下： 0 0 0 極小值 極大值 ∵，，， 即最大值為，．………………………………………………4分 （2）由，得． ，且等號不能同時取，， 恒成立，即． 令，求導得，， 當時，，從而， 在上為增函數(shù)，，．………………………………8分 （3）由條件，， 假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側， 不妨設，則，且． 是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形， ， ，……………………………………10分 是否存在等價于方程在且時是否有解． ①若時，方程為，化簡得， 此方程無解； ………………………………………………………………………11分 ②若時，方程為，即， 設，則， 顯然，當時，，即在上為增函數(shù)， 的值域為，即， 當時，方程總有解． 對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．………………14分