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2015-2016學年河南省平頂山市寶豐縣八年級（下）期中數(shù)學試卷 　 一、選擇題：每小題3分，共24分 1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　） A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2 2．下列是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 3．如圖，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72，∠ACB=∠DBC=36，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。? A． B． C． D． 5．下列定理中逆定理不存在的是（　?。? A．全等三角形的對應角相等 B．如果在一個三角形中，兩邊相等，那么它們所對的角也相等 C．同位角相等，兩直線平行 D．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 6．現(xiàn)有43本書，計劃分給各學習小組，若每組8本有剩余，每組9本卻不足，則學習小組共有（　?。? A．4個 B．5個 C．6個 D．7個 7．如圖，△ABC中，∠C=90，AC=3，∠B=30，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（　?。? A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 8．在如圖44的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（　?。? A．點A B．點B C．點C D．點D 　 二、填空題：每小題3分，共21分 9．“x的3倍與2的差是非負數(shù)”用不等式表示為　?。? 10．有一個三角形的兩邊長是4和5，要使這個三角形成為直角三角形，則第三邊長為　　． 11．如圖，將△ABC平移到△A′B′C′的位置（點B′在AC邊上），若∠B=55，∠C=100，則∠AB′A′的度數(shù)為　?。? 12．邊長相等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF如圖所示擺放，重疊部分的周長為6，等邊三角形ABC的邊長為　?。? 13．已知關于x，y的方程組的解滿足x+y＞0，則a的取值范圍是　?。? 14．一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象如圖所示，則不等式kx+b＞0的解集是　?。? 15．如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標是（1，0），若點A的坐標為（a，b），將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段BA′，則點A′的坐標是　?。? 　 三、解答題：共9個小題，滿分75分 16．解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來． 17．解不等式組，并求出它的整數(shù)解的和． 18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）連接AP，當∠B為　　度時，AP平分∠CAB． 19．在直角坐標平面內(nèi)，已點A（3，0）、B（﹣5，3），將點A向左平移6個單位到達C點，將點B向下平移6個單位到達D點． （1）寫出C點、D點的坐標：C　　，D　??； （2）把這些點按A﹣B﹣C﹣D﹣A順次連接起來，這個圖形的面積是　?。? 20．閱讀材料： 解分式不等式． 解：根據(jù)實數(shù)的除法法則，同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為： ①，②． 解不等式組①，得：x＞3． 解不等式組②，得：x＜﹣2． 所以原分式不等式的解集是x＞3或x＜﹣2． 請仿照上述方法解分式不等式：＜0． 21．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E為AC上一點，BE交AD于F，且BF=AC，F(xiàn)D=CD，AD=3，求AB的長． 22．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于點D，∠DCB=∠B．若AC=10，AB=25，求CD的長． 23．某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用．該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動： A超市：所有商品均打九折（按標價的90%）銷售； B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球． 設在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）．請解答下列問題： （1）分別寫出yA、yB與x之間的關系式； （2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？ （3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設計出最省錢的購買方案． 24．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90，AC=BC=10cm，等腰直角三角形DEF的頂點D為AB的中點． （1）如圖（1）所示，DE⊥AC于M，BC⊥DF于N，則DM與DN在數(shù)量上有什么關系？兩個三角形重疊部分的面積是多少？ （2）在（1）的基礎上，將三角形DEF繞著點D旋轉(zhuǎn)一定的角度，且AC與DE相交于M，BC與DF相交于N，如圖（2），則DM與DN在數(shù)量上有什么關系？兩個三角形重疊部分的面積是多少？ 　  2015-2016學年河南省平頂山市寶豐縣八年級（下）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題3分，共24分 1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　?。? A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2 【考點】不等式的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)2，可判斷B、C；根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可判斷D． 【解答】解：A、不等式的兩邊都加2，不等號的方向不變，故A正確； B、不等式的兩邊都乘以2，不等號的方向不變，故B正確； C、不等式的兩條邊都除以2，不等號的方向不變，故C正確； D、當0＞m＞n時，不等式的兩邊都乘以負數(shù)，不等號的方向改變，故D錯誤； 故選：D． 【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，．“0”是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的問題時，應密切關注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱．不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變 　 2．下列是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是中心對稱圖形．故選項錯誤； B、不是中心對稱圖形．故選項錯誤； C、是中心對稱圖形．故選項正確； D、不是中心對稱圖形．故選項錯誤． 故選C． 【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合． 　 3．如圖，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72，∠ACB=∠DBC=36，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點】等腰三角形的判定． 【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷解答即可． 【解答】解：△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72，∠ACB=∠DBC=36，則圖中等腰三角形的個數(shù)是 △ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC， 故選D 【點評】本題考查了等腰三角新的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關鍵是求得各角的度數(shù)，掌握等角對等邊與等邊對等角定理的應用． 　 4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組． 【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來即可． 【解答】解：， 由①得，x＞2； 由②得，x≤3， 故此不等式組的解集為：2＜x≤3． 在數(shù)軸上表示為： ． 故選C． 【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知實心圓點與空心圓點的區(qū)別是解答此題的關鍵． 　 5．下列定理中逆定理不存在的是（　　） A．全等三角形的對應角相等 B．如果在一個三角形中，兩邊相等，那么它們所對的角也相等 C．同位角相等，兩直線平行 D．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 【考點】命題與定理． 【分析】分別得出各定理的逆定理，進而判斷得出答案． 【解答】解：A、全等三角形的對應角相等的逆命題是：對應角相等，兩三角形全等，是假命題，即其逆定理不存在，故此選項正確； B、如果在一個三角形中，兩邊相等，那么它們所對的角也相等，其逆命題為：兩角對應相等，則其對應邊相等，此定理存在，故此選項錯誤； C、同位角相等，兩直線平行，其逆命題為：兩直線平行，同位角相等，此定理存在，故此選項錯誤； D、角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，其逆命題為：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，其逆定理存在，故此選項錯誤； 故選：A． 【點評】此題主要考查了命題與定理，正確掌握相關性質(zhì)得出逆命題的正確與否是解題關鍵． 　 6．現(xiàn)有43本書，計劃分給各學習小組，若每組8本有剩余，每組9本卻不足，則學習小組共有（　?。? A．4個 B．5個 C．6個 D．7個 【考點】一元一次不等式組的應用． 【分析】設有x個小組，根據(jù)“根據(jù)老師將43本書分給各小組，每組8本，還有剩余；每組9本卻又不足”列出不等式組求解即可． 【解答】解：設有x個小組，根據(jù)題意得： ， 解得：＜x＜． ∵x為正整數(shù)， ∴x=5； 故選B． 【點評】本題考查一元一次不等式組的應用，解答此題的關鍵是找出關鍵性的描述語言，列出不等式組．在求解時不要忽略x為正整數(shù)這一關鍵性條件 　 7．如圖，△ABC中，∠C=90，AC=3，∠B=30，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（　?。? A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 【考點】含30度角的直角三角形；垂線段最短． 【分析】利用垂線段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此題可解． 【解答】解：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長不可小于3； ∵△ABC中，∠C=90，AC=3，∠B=30， ∴AB=6， ∴AP的長不能大于6． 故選：D． 【點評】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AB=6． 　 8．在如圖44的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是（　?。? A．點A B．點B C．點C D．點D 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】連接PP1、NN1、MM1，分別作PP1、NN1、MM1的垂直平分線，看看三線都過哪個點，那個點就是旋轉(zhuǎn)中心． 【解答】解：∵△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1， ∴連接PP1、NN1、MM1， 作PP1的垂直平分線過B、D、C， 作NN1的垂直平分線過B、A， 作MM1的垂直平分線過B， ∴三條線段的垂直平分線正好都過B， 即旋轉(zhuǎn)中心是B． 故選B． 【點評】本題考查了學生的理解能力和觀察圖形的能力，注意：旋轉(zhuǎn)時，對應頂點到旋轉(zhuǎn)中心的距離應相等且旋轉(zhuǎn)角也相等，對稱中心在連接對應點線段的垂直平分線上． 　 二、填空題：每小題3分，共21分 9．“x的3倍與2的差是非負數(shù)”用不等式表示為　3x﹣2≥0　． 【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式． 【分析】x的3倍即3x，非負數(shù)是大于或等于0的數(shù)，按語言敘述列出式子即可． 【解答】解：“x的3倍與2的差是非負數(shù)”用不等式表示為3x﹣2≥0． 故答案為3x﹣2≥0． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學符號表示的不等式． 　 10．有一個三角形的兩邊長是4和5，要使這個三角形成為直角三角形，則第三邊長為　3或　． 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】因為沒有指明哪個是斜邊，所以分兩種情況進行分析． 【解答】解：①當?shù)谌厼樾边厱r，第三邊==； ②當邊長為5的邊為斜邊時，第三邊==3． 【點評】本題利用了勾股定理求解，注意要分兩種情況討論． 　 11．如圖，將△ABC平移到△A′B′C′的位置（點B′在AC邊上），若∠B=55，∠C=100，則∠AB′A′的度數(shù)為　25　． 【考點】平移的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥A′B′，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AB′A′=∠A． 【解答】解：∵∠B=55，∠C=100， ∴∠A=180﹣∠B﹣∠C=180﹣55﹣100=25， ∵△ABC平移得到△A′B′C′， ∴AB∥A′B′， ∴∠AB′A′=∠A=25． 故答案為：25． 【點評】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟記平移的性質(zhì)得到AB∥A′B′是解題的關鍵． 　 12．邊長相等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF如圖所示擺放，重疊部分的周長為6，等邊三角形ABC的邊長為　3?。? 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)推知重疊部分的周長為FD+BC=6，易求FD=BC=3． 【解答】解：∵△ABC和△DEF都是等邊三角形， ∴∠F=60，F(xiàn)G=FH，F(xiàn)D=BC， ∴△FHG是等邊三角形， ∴GH=FG． 同理，IJ=ID，EL=KL，JK=KA， ∴重疊部分的周長為：FD+BC=6， ∴FD=BC=3，即等邊△ABC的邊長是 3． 故答案是3． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意推知△FGH是等邊三角形是解題的難點． 　 13．已知關于x，y的方程組的解滿足x+y＞0，則a的取值范圍是　a＞?。? 【考點】二元一次方程組的解． 【專題】計算題；一次方程（組）及應用． 【分析】把a看做已知數(shù)表示出方程組的解，代入已知不等式求出a的范圍即可． 【解答】解：， ①+②得：3x=6a+3，即x=2a+1， 把x=2a+1代入①得：y=a﹣2， 代入x+y＞0得：3a﹣1＞0， 解得：a＞， 故答案為：a＞ 【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值． 　 14．一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象如圖所示，則不等式kx+b＞0的解集是　x＞﹣3?。? 【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式． 【分析】不等式kx+b＞0的解集為直線y=kx+b落在x軸上方的部分對應的x的取值范圍． 【解答】解：從圖象得知一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣3，0），并且函數(shù)值y隨x的增大而增大， 因而不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3． 故答案為x＞﹣3． 【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合． 　 15．如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標是（1，0），若點A的坐標為（a，b），將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段BA′，則點A′的坐標是　（b+1，﹣a+1）?。? 【考點】坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】過點A作AC⊥x軸，過點A′作A′D⊥x軸，垂足分別為C、D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△ABC與△A′BD全等，再結合圖形根據(jù)全等三角形對應邊相等求出OD、A′D的長度，然后根據(jù)點A′在第四象限寫出即可． 【解答】解：過點A作AC⊥x軸，過點A′作A′D⊥x軸，垂足分別為C、D， 顯然Rt△ABC≌Rt△A′BD， ∵點A的坐標為（a，b），點B的坐標是（1，0）， ∴OD=OB+BD=OB+AC=1+b， A′D=BC=OC﹣OB=a﹣1， ∵點A′在第四象限， ∴點A′的坐標是（b+1，﹣a+1）． 故答案為：（b+1，﹣a+1）． 【點評】本題考查了坐標與圖形的變化，作出全等三角形，利用全等三角形對應邊相等求出點A′到坐標軸的長度是解題的關鍵． 　 三、解答題：共9個小題，滿分75分 16．解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來． 【考點】解一元一次不等式；在數(shù)軸上表示不等式的解集． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法，去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1即可得解． 【解答】解：去分母得，8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2）， 去括號得，8﹣7x+1＞6x﹣4， 移項得，﹣7x﹣6x＞﹣4﹣8﹣1， 合并同類項得，﹣13x＞﹣13， 系數(shù)化為1得，x＜1． 在數(shù)軸上表示如下： 【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯，去分母時沒有分母的項也要乘以分母的最小公倍數(shù)． 　 17．解不等式組，并求出它的整數(shù)解的和． 【考點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解． 【分析】分別求出各不等式的解集，在數(shù)軸上表示出來，其公共部分即為不等式組的解集，在其解集范圍內(nèi)找出x的整數(shù)值，求出其和即可． 【解答】解： 解不等式①，得x＜3， 解不等式②，得x≥﹣4． 在同一數(shù)軸上表示不等式①②的解集，得 ∴這個不等式組的解集是﹣4≤x＜3， ∴這個不等式組的整數(shù)解的和是﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2=﹣7． 【點評】本題考查的是解一元一次不等式組及一元一次不等式組的整數(shù)解，能利用數(shù)形結合求不等式組的解集是解答此題的關鍵． 　 18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90． （1）用尺規(guī)在邊BC上求作一點P，使PA=PB（不寫作法，保留作圖痕跡） （2）連接AP，當∠B為　30　度時，AP平分∠CAB． 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【專題】作圖題． 【分析】（1）運用基本作圖方法，中垂線的作法作圖， （2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，運用直角三角形解出∠B． 【解答】解：（1）如圖， （2）如圖， ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠B， 如果AP是角平分線，則∠PAB=∠PAC， ∴∠PAB=∠PAC=∠B， ∵∠ACB=90， ∴∠PAB=∠PAC=∠B=30， ∴∠B=30時，AP平分∠CAB． 故答案為：30． 【點評】本題主要考查了基本作圖，角平分線的知識，解題的關鍵是熟記作圖的方法及等邊對等角的知識． 　 19．在直角坐標平面內(nèi)，已點A（3，0）、B（﹣5，3），將點A向左平移6個單位到達C點，將點B向下平移6個單位到達D點． （1）寫出C點、D點的坐標：C?。ī?，0）　，D?。ī?，﹣3）　； （2）把這些點按A﹣B﹣C﹣D﹣A順次連接起來，這個圖形的面積是　18?。? 【考點】坐標與圖形變化-平移． 【專題】計算題；作圖題． 【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，結合A、B坐標，點A向左平移6個單位到達C點，橫坐標減6，坐標不變；將點B向下平移6個單位到達D點，橫坐標不變，縱坐標減6，即可得出； （2）根據(jù)各點坐標畫出圖形，然后，計算可得． 【解答】解：（1）∵點A向左平移6個單位到達C點，將點B向下平移6個單位到達D點， ∴得C（﹣3，0），D（﹣5，﹣3）； （2）如圖， S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD， =36+36， =18． 故答案為（﹣3，0），（﹣5，﹣3）；18． 【點評】本題考查了坐標的變化﹣平移，在平面直角坐標系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數(shù)a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度． 　 20．閱讀材料： 解分式不等式． 解：根據(jù)實數(shù)的除法法則，同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為： ①，②． 解不等式組①，得：x＞3． 解不等式組②，得：x＜﹣2． 所以原分式不等式的解集是x＞3或x＜﹣2． 請仿照上述方法解分式不等式：＜0． 【考點】解一元一次不等式組；解一元一次不等式． 【分析】根據(jù)題中給出的例子列出關于x的不等式組，求出x的取值范圍即可． 【解答】解：原分式不等式可化為①，②， 不等式組①無解； 解不等式組②得，﹣1＜x＜＜， 故不等式組的解集為：﹣1＜x＜＜． 【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，根據(jù)同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負數(shù)列出關于x的不等式組是解答此題的關鍵． 　 21．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E為AC上一點，BE交AD于F，且BF=AC，F(xiàn)D=CD，AD=3，求AB的長． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形全等的判定． 【分析】先證明Rt△BDF≌Rt△ADC，得AD=BD=3，由勾股定理求AB的長． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90， 在Rt△BDF和Rt△ADC中， ∵， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）， ∴AD=BD=3， 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2， ∴AB2=32+32， AB=3． 【點評】本題考查了直角三角形全等的性質(zhì)和判定，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件；同時本題還運用了勾股定理求線段的長． 　 22．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于點D，∠DCB=∠B．若AC=10，AB=25，求CD的長． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】如圖，延長CD交AB于點E，構建全等三角形：△ADE≌△ADC（ASA）．由全等三角形的對應邊相等推知AE=AC=10，DE=DC；根據(jù)BE=CE，AB=25，得出AB=AE+BE=10+2DC=25，即可求得DC=7.5． 【解答】解：如圖，延長CD交AB于點E． ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2． ∵CD⊥AD， ∴∠ADE=∠ADC=90． ∵在△ADE與△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）． ∴AE=AC=10，DE=DC． ∵∠DCB=∠B， ∴BE=CE=2DC． ∴AB=AE+BE=10+2DC=25． ∴DC=7.5． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．注意此題中輔助線的作法． 　 23．某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用．該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價為3元，目前兩家超市同時在做促銷活動： A超市：所有商品均打九折（按標價的90%）銷售； B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球． 設在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA（元），在B超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB（元）．請解答下列問題： （1）分別寫出yA、yB與x之間的關系式； （2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？ （3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設計出最省錢的購買方案． 【考點】一次函數(shù)的應用． 【分析】（1）根據(jù)購買費用=單價數(shù)量建立關系就可以表示出yA、yB的解析式； （2）分三種情況進行討論，當yA=yB時，當yA＞yB時，當yA＜yB時，分別求出購買劃算的方案； （3）分兩種情況進行討論計算求出需要的費用，再進行比較就可以求出結論． 【解答】解：（1）由題意，得yA=（1030+310x）0.9=27x+270； yB=1030+3（10x﹣20）=30x+240； （2）當yA=yB時，27x+270=30x+240，得x=10； 當yA＞yB時，27x+270＞30x+240，得x＜10； 當yA＜yB時，27x+270＜30x+240，得x＞10 ∴當2≤x＜10時，到B超市購買劃算，當x=10時，兩家超市一樣劃算，當x＞10時在A超市購買劃算． （3）由題意知x=15，15＞10， ∴選擇A超市，yA=2715+270=675（元）， 先選擇B超市購買10副羽毛球拍，送20個羽毛球，然后在A超市購買剩下的羽毛球： （1015﹣20）30.9=351（元）， 共需要費用1030+351=651（元）． ∵651元＜675元， ∴最佳方案是先選擇B超市購買10副羽毛球拍，然后在A超市購買130個羽毛球． 【點評】本題考查了一次函數(shù)的解析式的運用，分類討論的數(shù)學思想的運用，方案設計的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關鍵． 　 24．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90，AC=BC=10cm，等腰直角三角形DEF的頂點D為AB的中點． （1）如圖（1）所示，DE⊥AC于M，BC⊥DF于N，則DM與DN在數(shù)量上有什么關系？兩個三角形重疊部分的面積是多少？ （2）在（1）的基礎上，將三角形DEF繞著點D旋轉(zhuǎn)一定的角度，且AC與DE相交于M，BC與DF相交于N，如圖（2），則DM與DN在數(shù)量上有什么關系？兩個三角形重疊部分的面積是多少？ 【考點】三角形綜合題． 【專題】綜合題；三角形． 【分析】（1）連接DC，由等腰直角三角形ABC及D為AB中點，利用三線合一得到CD垂直于AB，及兩對角相等，利用AAS得到三角形ADM與三角形CDN全等，利用全等三角形對應邊相等得到DM=DN，重疊部分面積等于三角形DNC與三角形DMC面積之和，等量代換等于三角形ADC面積，即為三角形ABC面積一半，求出即可； （2）連接DC，由等腰直角三角形ABC及D為AB中點，利用三線合一得到CD⊥AB，∠A=∠DCB=45，AD=CD，利用同角的余角相等得到∠ADM=∠CDN，利用ASA得到三星級AMD與三角形CDN全等，利用全等三角形對應邊相等得到DM=DN，同（1）求出重疊部分面積即可． 【解答】解：（1）連接DC， ∵AC=BC，D為AB的中點，∠ACB=90， ∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45，∠A=∠B=45， ∴∠A=∠DCN，AD=DC， ∵DM⊥AC，DN⊥BC， ∴∠DMA=∠DNC， ∴△ADM≌△CDN（AAS）， ∴DM=DN， 則S重疊=S△DNC+S△DMC=S△DMA+S△DMC=S△ADC=S△ABC=11=（cm2）； （2）連接CD，則CD⊥AB，∠A=∠DCB=45，AD=CD， ∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90， ∴∠ADM=∠CDN， ∴△AMD≌△CND（ASA）， ∴DM=DN， 同（1）可得S重疊=S△ABC=11=（cm2）． 【點評】此題屬于三角形綜合題，涉及的知識有：等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關鍵． 　  第24頁（共24頁）