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2019-2020年高三下學(xué)期開學(xué)檢測(cè) 數(shù)學(xué) 含答案 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上） 1.已知集合 . 2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第 象限. 3.向量, 若,則實(shí)數(shù)的值為 . 4．右圖是甲、乙兩名同學(xué)在五場(chǎng)籃球比賽中得分情況 的莖葉圖．那么甲、乙兩人得分的平均分 （填<,>,=） 5. 設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù) ”， 是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的 條件． 6.某程序的框圖如圖所示, 執(zhí)行該程序，若輸入的為， 則輸出的的值為 . 7. 連續(xù)拋擲一個(gè)骰子（一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）兩次，則出現(xiàn)向上點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率是 ． 8.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 。 9．?dāng)?shù)列滿足且對(duì)任意的，都有，則的前項(xiàng)和_____. 10. 已知函數(shù)，其中．若的值域是，則的取值范圍是______． 11. 一個(gè)等差數(shù)列中，是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，則此常數(shù)的集合為 ． 12. 點(diǎn)在不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)，若點(diǎn)到直線的最大距離為，則 13. 橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是______． 14. 設(shè)tR，若x＞0時(shí)均有，則t＝______________． 二、解答題：（本大題共6道題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 15. 已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是,，，,. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面積. 16.在直三棱柱中，=2 ,.點(diǎn)分別是 ,的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn). （I）求證：平面； (II)若//平面，試確定點(diǎn)的位置，并給出證明； A B C D P Q 17. 如圖所示，有一塊邊長為的正方形區(qū)域，在點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角始終為弧度（其中點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)），設(shè)，。 （1）試用表示出的長度，并探求的周長； （2）求探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積的最大值。 18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：， N*，. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若存在 N*，使得，，成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的N*，且，，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 19. 已知橢圓的離心率，一條準(zhǔn)線方程為 ⑴求橢圓的方程； ⑵設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且． ①當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求的面積； ②是否存在以原點(diǎn)為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線相切？若存在，請(qǐng)求出該定圓方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 20.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若在上為增函?shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”. 我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為. (Ⅰ)已知函數(shù)，若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (Ⅱ)已知，且的部分函數(shù)值由下表給出， 求證：； (Ⅲ)定義集合 請(qǐng)問：是否存在常數(shù)，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由. 高三（ ）班 考試號(hào)___________ 姓名_____________ 學(xué)號(hào) ………………密……………封……………線……………內(nèi)……………不……………要……………答……………題……………… 高三數(shù)學(xué)開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)附加題 1. 已知，，求曲線在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程． 2. 在極坐標(biāo)系中，圓C：和直線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長. 高一年級(jí) 高二年級(jí) 高三年級(jí) 10人 6人 4人 3.今年雷鋒日，某中學(xué)預(yù)備從高中三個(gè)年級(jí)選派4名教師和20名學(xué)生去當(dāng)雷鋒志愿者，學(xué)生的名額分配如下： （I）若從20名學(xué)生中選出3人參加文明交通宣傳，求他們中恰好有1人是高一年級(jí)學(xué)生的概率； （II）若將4名教師安排到三個(gè)年級(jí)（假設(shè)每名教師加入各年級(jí)是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到高一年級(jí)的教師人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 4．對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集 . 若對(duì)于任意，存在，使得，則稱X 具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P. （I）若，且具有性質(zhì)，求的值； （II）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式. 高三（ ）班 考試號(hào)___________ 姓名_____________ 學(xué)號(hào) ………………密……………封……………線……………內(nèi)……………不……………要……………答……………題……………… 高三開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷答題紙 xx.2.20 1． 2． 3． 4． 　5． 6． 7． 8． 　9． 10． 11． 12． 　13． 14． 15．（14分） 16．（14分） 17．（15分） 18．（15分） 19．（16分） （請(qǐng)將20題解答寫在答題紙反面） 高三開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷答卷 xx.12.22 1． 2．二 3． 4． < 5．充分不必要 6． 7． 8． 9． 10． 11．12． 13． 14． 15．（14分）解：（I）解 …………………5分 （II）由（I）知 ， ……………………7分 ∴ ∴ ……………………10分 ∴ ……………………14分 16．（14分） (I) 證明：∵在直三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， ∴ …………………………1分 ,, ∴⊥平面 ………………………3分 平面 ∴，即 …………………5分 又 ∴平面 …………………………………7分 （II）當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，//平面.……………………………8分 證明如下: 連結(jié),取的中點(diǎn)H，連接, 則為的中位線 ∴∥，…………………10分 ∵由已知條件，為正方形 ∴∥， ∵為的中點(diǎn)，∴ ………………12分 ∴∥，且 ∴四邊形為平行四邊形∴∥ 又 ∵ ……………………13分 ∴//平面 ……………………14 17．（15分）（1）設(shè)，，，，， 。………………………………………………………（2分） ∴，為定值。（7分） （2）?！?0分） 又函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，…………（12分） ∴，∴?！?4分） 所以探照燈照射在正方形內(nèi)部區(qū)域的面積的最大值為?！?5分） 18．（15分）解析：（Ⅰ）由已知可得，兩式相減可得，即，又， 所以當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列為a,0,0……,0，……；當(dāng)時(shí)，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，。 綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為： （Ⅱ）對(duì)于任意的，且，是否成等差數(shù)列，證明如下： 當(dāng)r=0時(shí)，由（Ⅰ），知， 故對(duì)于任意的，且，7成等差數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，，。 若存在，使得成等差數(shù)列，則， ，即， 由（Ⅰ），知的公比， 于是對(duì)于任意的，且，，從而， ，即成等差數(shù)列。 綜上，對(duì)于任意的，且，成等差數(shù)列。 19．（ 1）因?yàn)椋?，?………………………………2分 解得，所以橢圓方程為． ……………………………………4分 （2）①由，解得 ，……………………………………………6分 由 得 ， ………………………………………………………8分 所以，所以． ………………………………10分 ②假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為，則 因?yàn)?，故? 當(dāng)與的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為：， 由，得，所以， ………………………12分 同理可得 （將中的換成可得）………………………14分 ，， 當(dāng)與的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，可得， 故滿足條件的定圓方程為：．………………………………………………16分 20．（16分） 解：（I）因?yàn)榍遥? 即在是增函數(shù)，所以 ………………2分 而在不是增函數(shù)，而 當(dāng)是增函數(shù)時(shí)，有，所以當(dāng)不是增函數(shù)時(shí)， 綜上，得 …………4分 (Ⅱ) 因?yàn)椋? 所以，所以， 同理可證， 三式相加得 所以 ………………6分 因?yàn)樗? 而， 所以 所以 ………………8分 (Ⅲ) 因?yàn)榧? 所以，存在常數(shù)，使得 對(duì)成立 我們先證明對(duì)成立 假設(shè)使得， 記因?yàn)槭嵌A比增函數(shù)，即是增函數(shù). 所以當(dāng)時(shí)，，所以 所以一定可以找到一個(gè)，使得 這與 對(duì)成立矛盾 ………………11分 對(duì)成立 所以，對(duì)成立 下面我們證明在上無解 假設(shè)存在，使得， 則因?yàn)槭嵌A增函數(shù)，即是增函數(shù) 一定存在，，這與上面證明的結(jié)果矛盾 所以在上無解 綜上，我們得到，對(duì)成立 所以存在常數(shù)，使得，，有成立 又令，則對(duì)成立， 又有在上是增函數(shù) ，所以， 而任取常數(shù)，總可以找到一個(gè)，使得時(shí)，有 所以的最小值 為0 ………………16分 1.【解析】本題考查矩陣的乘法，MN==，………………4分 設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)，則有 于是，. ……………………………………8分 代入得， 所以曲線在MN對(duì)應(yīng)的變換作用下 得到的曲線方程為． ……………………………10分 2. 3.解：（I）設(shè)“他們中恰好有1人是高一年級(jí)學(xué)生”為事件，則 答：若從選派的學(xué)生中任選3人進(jìn)行文明交通宣傳活動(dòng)，他們中恰好有1人是高一年級(jí)學(xué)生的概率為. ………………………4分 （II）解法1：的所有取值為0，1，2，3，4.由題意可知，每位教師選擇高一年級(jí)的概率均為.所以 ; ; ;; . 隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 3 4 所以 解法2： 隨機(jī)變量服從參數(shù)為4，的二項(xiàng)分布，即～. 隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 3 4 所以 4.（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式. ……2分 所以x=2b，從而x=4. ……4分 （2）[解法一]猜測(cè)，i=1, 2, …, n. `` 記，k=2, 3, …, n. 先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P. 任取，、.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時(shí)，顯然有滿足； 當(dāng)且時(shí)，、≥1. 因?yàn)榫哂行再|(zhì)P，所以有，、，使得， 從而和中有一個(gè)是-1，不妨設(shè)=-1. 假設(shè)且，則.由，得，與矛盾.所以.從而也具有性質(zhì)P. ……6分 現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1, 2, …, n. 當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立； 假設(shè)n=k時(shí)，有性質(zhì)P，則，i=1, 2, …, k； 當(dāng)n=k+1時(shí)，若有性質(zhì)P，則 也有性質(zhì)P，所以. 取，并設(shè)滿足，即.由此可得s=-1或t=-1. 若，則不可能； 所以，，又，所以. 綜上所述，，i=1, 2, …, n. ……10分 [解法二]設(shè)，，則等價(jià)于. 記，則數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱. 注意到-1是X中的唯一負(fù)數(shù)，共有n-1個(gè)數(shù)， 所以也只有n-1個(gè)數(shù). 由于，已有n-1個(gè)數(shù)，對(duì)以下三角數(shù)陣 …… 注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ，k=1, 2, …, n.