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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 3-8 正弦定理和余弦定理的應用課時作業(yè) 文 一、選擇題 1.(xx年高考四川卷)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(　　) A．240(－1) m　　　　 B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1)m 解析：由題圖知AB＝＝，∠ACB＝30，∠BAC＝45，在△ABC中，由正弦定理得＝，可得BC＝120(－1)． 答案：C 2.要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40 m，則電視塔的高度為(　　) A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m 解析：設電視塔的高度為x m，則BC＝x，BD＝x.在△BCD中，根據(jù)余弦定理得3x2＝x2＋402－240xcos 120，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故電視塔的高度為40 m. 答案：D 3．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速率是每小時(　　) A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里 解析：如圖，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是這艘船的速度是＝10海里/小時． 答案：C 4.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速率沿東偏南50方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：由已知可得，∠BAC＝30，∠ABC＝105，AB＝20，從而∠ACB＝45.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝sin 30＝10. 答案：A 5.(xx年南昌模擬)如圖所示，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ＋30角的方向沿直線前往B處營救，是sin θ的值為(　　) A. B. C. D. 解析：連接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2ABACcos 120＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sin θ＝. 答案：A 二、填空題 6．(xx年濰坊調(diào)研)為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60，再由點C沿北偏東15方向走10米到位置D，測得∠BDC＝45，則塔AB的高是________米． 解析：在△BCD中，由正弦定理，得＝，解得BC＝10米，∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10米． 答案：10 7．已知A船在燈塔C北偏東80處，且A船到燈塔C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40處，A，B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為________ km. 解析：如圖，由已知得 ∠ACB＝120，AC＝2，AB＝3. 設BC＝x，則由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BCACcos 120， 即32＝22＋x2－22xcos 120即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1. 答案：－1 8．某路邊一樹干被臺風吹斷后，折成與地面成45角，樹干也傾斜為與地面成75角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點與樹干底部的距離是________ m. 解析：如圖，設樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A， 則∠ABO＝45， ∠AOB＝75， 所以∠OAB＝60. 由正弦定理知，＝， 解得AO＝ m. 答案： 三、解答題 9.(xx年濟南模擬)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上，此時到達C處． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 解析：(1)依題意知，∠BAC＝120，AB＝12海里，AC＝102＝20海里，∠BCA＝α， 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC＝122＋202－21220cos 120＝784. 解得BC＝28海里． 所以漁船甲的速度為＝14海里/時． (2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得＝. 即sin α＝＝＝. 10.如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速率為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？ 解析：由題意知AB＝5(3＋)海里， ∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45， ∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105， 在△DAB中，由正弦定理，得＝， ∴DB＝＝＝＝＝10海里， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60，BC＝20海里． 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－21020＝900. ∴CD＝30海里．則需要的時間t＝＝1小時． B組　高考題型專練 1．(xx年滁州調(diào)研)線段AB外有一點C，∠ABC＝60，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50 km/h的速率由B向C行駛，則運動開始多少h后，兩車的距離最小(　　) A. B．1 C. D．2 解析：如圖所示，設t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因為AB＝200，所以BD＝200－80t，問題就是求DE最小時t的值． 由余弦定理，得 DE2＝BD2＋BE2－2BDBEcos 60＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)50t ＝12 900t2－42 000t＋40 000. 當t＝時，DE最?。? 答案：C 2.(xx年高考浙江卷)如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練，已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)，若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30，則tan θ的最大值是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意，在△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，則cos∠ACB＝. 作PH⊥BC，垂足為H，連接AH，如右圖所示． 設PH＝x，則CH＝x，在△ACH中，由余弦定理得AH ＝ ＝，tan∠PAH＝ ＝＝(>0)， 故當＝時，最大值為. 答案：D 3.如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，且與它相距8n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析：設航速為v n mile/h， 在△ABS中AB＝v，BS＝8， ∠BSA＝45， 由正弦定理得＝，則v＝32. 答案：32 4.(xx年昌平模擬)如圖所示，已知樹頂A離地面米，樹上另一點B離地面米，某人在離地面米的C處看此樹，則該人離此樹________米時，看A，B的視角最大． 解析：過C作CF⊥AB于點F，設∠ACB＝α，∠BCF＝β. 由已知得AB＝－＝5米，BF＝－＝4米，AF＝－＝9米． 則tan(α＋β)＝＝，tan β＝＝， ∴tan α＝[(α＋β)－β]＝＝＝≤＝. 當且僅當FC＝，即FC＝6時，tan α取得最大值，此時α取得最大值． 答案：6 5．(xx年高考江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min 后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的長； (2)問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？ 解析：(1)在△ABC中，因為cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 由正弦定理＝，得AB＝sin C＝＝1 040 m. 所以索道AB的長為1 040 m. (2)假設乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2130t(100＋50t)＝200(37t2－70t＋50)． 因為0≤t≤，即0≤t≤8， 故當t＝ min時，甲、乙兩游客距離最短． (3)由正弦定理＝，得BC＝sin A＝＝500 m. 乙從B出發(fā)時，甲已走了50(2＋8＋1)＝550 m，還需走710 m才能到達C. 設乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)．