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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 8.5 曲線與方程練習(xí) (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.方程(x2+y2-4)=0的曲線形狀是(　　) 【解析】選C.原方程可化或x+y+1=0.顯然方程表示直線x+y+1=0和圓x2+y2-4=0在直線x+y+1=0的右上方部分,故選C. 【誤區(qū)警示】本題易忽視x+y+1≥0,而誤認(rèn)為x2+y2-4=0是一個完整的圓,從而錯選A. 2.已知定點(diǎn)A(2,0),它與拋物線y2=x上的動點(diǎn)P連線的中點(diǎn)M的軌跡方程為 (　　) A.y2=2(x-1) B.y2=4(x-1) C.y2=x-1 D.y2=(x-1) 【解析】選D.設(shè)P(x0,y0),M(x,y),則 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x-2,2y), 由點(diǎn)P在拋物線y2=x上得(2y)2=2x-2, 整理得y2=(x-1).故選D. 【加固訓(xùn)練】長為3的線段AB的端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上移動,則AB中點(diǎn)C的軌跡是(　　) A.線段 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線 【解析】選B.設(shè)C(x,y),A(a,0),B(0,b), 則x=,y=, 即a=2x,b=2y. 代入a2+b2=9, 得4x2+4y2=9,即x2+y2=. 3.(xx洛陽模擬)設(shè)過點(diǎn)P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若=2,且=1,則點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.x2+3y2=1(x>0,y>0) B.x2-3y2=1(x>0,y>0) C.3x2-y2=1(x>0,y>0) D.3x2+y2=1(x>0,y>0) 【解題提示】利用點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱求得Q點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用=2, =1即可求出點(diǎn)P的軌跡方程. 【解析】選A.設(shè)A(a,0),B(0,b),a>0,b>0. 由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y), 即a=x>0,b=3y>0. 點(diǎn)Q(-x,y),故由=1, 得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1. 將a,b代入ax+by=1得所求的軌跡方程為 x2+3y2=1(x>0,y>0). 4.(xx長春模擬)設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn),Q為圓周上任一點(diǎn).線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡方程為 (　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 【解析】選D.因為M為AQ垂直平分線上一點(diǎn), 則|AM|=|MQ|, 所以|MC|+|MA| =|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故點(diǎn)M的軌跡為橢圓. 所以a=,c=1,則b2=a2-c2=, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1. 【加固訓(xùn)練】如圖所示,A是圓O內(nèi)一定點(diǎn),B是圓周上一個動點(diǎn),AB的中垂線CD與OB交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的軌跡是(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 【解析】選B.由題意知,|EA|+|EO|=|EB|+|EO|=r(r為圓的半徑)且r>|OA|,故E的軌跡為以O(shè),A為焦點(diǎn)的橢圓,故選B. 5.已知定點(diǎn)A(1,0)和定直線l:x=-1,在l上有兩動點(diǎn)E,F且滿足⊥,另有動點(diǎn)P,滿足∥,∥(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且動點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A.y2=4x B.y2=4x(x≠0) C.y2=-4x D.y2=-4x(x≠0) 【解析】選B.設(shè)P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2均不為零), 由∥?y1=y,即E(-1,y). 由∥?y2=-, 由⊥?y2=4x(x≠0). 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(-2,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足=α+β,其中α,β∈[0,1]且α+β=1,則點(diǎn)C的軌跡方程是　　　　. 【解題提示】設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),然后借助=α+β,用x,y分別表示α,β,最后利用α+β=1求點(diǎn)C的軌跡方程. 【解析】設(shè)C(x,y),則 整理得 將其代入α+β=1中整理得 2x-y+5=0, 又x=-2α-β=-2α-(1-α)=-α-1∈[-2,-1], 所以點(diǎn)C的軌跡方程是2x-y+5=0,x∈[-2,-1]. 答案:2x-y+5=0,x∈[-2,-1] 7.已知圓的方程為x2+y2=4,若拋物線過點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線,則拋線物的焦點(diǎn)軌跡方程是　　　　. 【解析】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,過A,B,O作準(zhǔn)線的垂線AA1,BB1,OO1,則|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由拋物線定義得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點(diǎn)). 答案:=1(y≠0) 8.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過A,B兩點(diǎn),則橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程是　　　　. 【解析】由題意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又因為|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2, 故點(diǎn)F的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),實軸長為2的雙曲線的下支. 又c=7,a=1,b2=48, 所以點(diǎn)F的軌跡方程為y2-=1(y≤-1). 答案:y2-=1(y≤-1) 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(xx宜賓模擬)已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),且點(diǎn)P使,, 成公差小于零的等差數(shù)列,求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),則=(x+1,y), =(x-1,y),=(2,0). 故=2(x+1), ==(x+1)(x-1)+y2 =x2+y2-1, =-2(x-1)=2(1-x). 因為,,成公差小于零的等差數(shù)列, 所以2(x2+y2-1)=2(x+1)+2(1-x). 且-=2(1-x)-2(x+1) =-4x<0, 整理得x2+y2=3(x>0). 故點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=3(x>0). 10.已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1:y=-1,過定點(diǎn)F與直線l1相切的動圓的圓心為點(diǎn)C. (1)求動點(diǎn)C的軌跡方程. (2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于P,Q兩點(diǎn),交直線l1于點(diǎn)R,求的最小值. 【解析】(1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離, 所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線, 所以動點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y. (2)由題意知,直線l2的方程可設(shè)為y=kx+1(k≠0),與拋物線方程聯(lián)立消去y, 得x2-4kx-4=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k, x1x2=-4. 又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-,-1）, 所以=(x1+,y1+1)(x2+,y2+1) =(x1+)(x2+)+(kx1+2)(kx2+2) =(1+k2)x1x2+(+2k)(x1+x2)++4 =-4(1+k2)+4k(+2k)++4 =4(k2+)+8. 因為k2+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時取等號, 所以≥42+8=16, 即的最小值為16. 【加固訓(xùn)練】如圖所示,圓O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)為兩個定點(diǎn).直線l是圓O的一條動切線,若經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線,求拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程. 【解析】過點(diǎn)A,B,O分別作直線l的垂線,垂足分別為A′,B′,O′. 因為|AO|=|BO|, 所以|AA′|+|BB′|=2|OO′|=8, 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=8, 又|AB|=4, 所以點(diǎn)F的軌跡在以點(diǎn)A,B為焦點(diǎn)的橢圓上, 設(shè)所求橢圓方程為=1(a>b>0), 則a2=42=16,b2=42-22=12, 所以拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程為=1(x≠4). (20分鐘　40分) 1.(5分)已知點(diǎn)P在定圓O的圓內(nèi)或圓周上,動圓C過點(diǎn)P與定圓O相切,則動圓C的圓心軌跡可能是(　　) A.圓或橢圓或雙曲線 B.兩條射線或圓或拋物線 C.兩條射線或圓或橢圓 D.橢圓或雙曲線或拋物線 【解析】選C.當(dāng)點(diǎn)P在定圓O的圓周上時,圓C與圓O內(nèi)切或外切,O,P,C三點(diǎn)共線,所以軌跡為兩條射線. 當(dāng)點(diǎn)P在定圓O內(nèi)時(非圓心),|OC|+|PC|=r0為定值,且r0>|OP|,所以軌跡為橢圓. 當(dāng)P與O重合時,圓心軌跡為圓. 【誤區(qū)警示】本題易因討論不全,或找錯關(guān)系而出現(xiàn)錯誤. 2.(5分)如圖所示,已知C為圓(x+)2+y2=4的圓心,點(diǎn)A(,0),P是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在CP上,且=0,=2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時,則點(diǎn)Q的軌跡方程為　　　　. 【解析】圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-,0), 半徑r=2, 因為=0, =2, 所以MQ⊥AP,點(diǎn)M為AP的中點(diǎn),即QM垂直平分AP. 連接AQ,則|AQ|=|QP|, 所以||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2. 又|AC|=2>2,根據(jù)雙曲線的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以C(-,0),A(,0)為焦點(diǎn),實軸長為2的雙曲線,由c=,a=1,得b2=1, 因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2-y2=1. 答案:x2-y2=1 【加固訓(xùn)練】動點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,則動點(diǎn)P的軌跡方程為　　　　. 【解析】由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線,設(shè)拋物線的方程為y2=2px,從而可知p=4,所以動點(diǎn)P的軌跡方程為y2=8x. 答案:y2=8x 3.(5分)設(shè)橢圓方程為x2+=1,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足=(+),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時,動點(diǎn)P的軌跡方程為　　　　　. 【解題提示】設(shè)直線l的斜率為k,用參數(shù)法求解,但需驗證斜率不存在時是否符合要求. 【解析】直線l過點(diǎn)M(0,1),當(dāng)斜率存在時,設(shè)其斜率為k, 則l的方程為y=kx+1. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由題設(shè)可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組的解, 將①代入②并化簡得,(4+k2)x2+2kx-3=0, 所以 于是=(+)= 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0,?、? 當(dāng)斜率不存在時,A,B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0. 答案:4x2+y2-y=0 【方法技巧】利用參數(shù)法求軌跡方程的技巧 參數(shù)法是求軌跡方程的一種重要方法,其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù).一般來說,選參數(shù)時要注意: ①動點(diǎn)的變化是隨著參數(shù)的變化而變化的,即參數(shù)要能真正反映動點(diǎn)的變化特征;②參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著密切的聯(lián)系;③參數(shù)要便于軌跡條件中的各種相關(guān)量的計算,也要便于消去.常見的參數(shù)有角度、斜率、點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等. 4.(12分)(xx湖州模擬)已知以C(2,0)為圓心的圓C和兩條射線y=x(x≥0)都相切,設(shè)動直線l與圓C相切,并交兩條射線于A,B,求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程. 【解析】設(shè)直線l的方程為y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由得A(,),(k≠0). 由得B(,), 所以 由①②得:k=,b=?、? 因為圓C與y=x都相切,所以圓C的半徑r=. 因為AB:kx-y+b=0與圓C相切, 所以即2k2+4kb+b2-2=0　④ 將③代入④得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0, 因為y2≠x2,所以y2-x2+4x-2=0即(x-2)2-y2=2(y≠0) 當(dāng)l⊥x軸時,線段AB的中點(diǎn)M(2,0)也符合上面的方程,其軌跡在∠AOB內(nèi). 5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,動圓C1:x2+y2=t2,1

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